При решении сложных вопросов моделирования различных процессов всегда использует различной сложности математические методы моделирования. Это основной способ нахождения достоверного решения, точность решения которого зависит от выбранной модели и т. п.
Моделирование движения автомобиля или транспортного средства и особенно выбросов вредных веществ с отработавшими газами – очень сложная проблема, имеющая многочисленные аспекты и особенности. Поэтому известно достаточно много подходов в этой области, многие из которых имеют некоторые отличительные особенности, более или менее правильно соответствуют действительности. Различные исследователи и ученые трактуют данные проблемы исходя из своих конкретных представлений по разному, но полностью полагаясь на методы математического моделирования, анализ которых представляет определенный интерес. Таким образом, непосредственно вопросы математического моделирования в данном случае играют ключевую роль и принципиально важны даже в перспективе. Выбор наиболее правильной модели зависит от анализа уже существующих и т.п., поэтому данному вопросу необходимо уделить соответствующее внимание и особый интерес.
1.2.2.Методы расчета в теории движения
автомобиля.
Общий случай движения транспортного средства (из теории)
описывает уравнение Лагранжа второго рода, в котором учитывается переменные в профиле и плане параметры дороги, т.е. временная кривизна, что позволяет определять характеристики с учетом управляемости, однако, что достаточно сложно в виду невозможности точного определения некоторых из них. За обобщенную координату принимается угол поворота коленчатого вала, а за обобщенную силу – момент на валу двигателя, первой производной является угловая скорость вала двигателя.
Учитывая чрезвычайную сложность точного решения для данного уравнения, а также то, что более простая форма
(это математический анализ и теория)
для задач типа Коши без учета переменной кривизны в профиле и плане представляется для движения автомобиля в плане в традиционной классической форме.
Основоположником теории автомобиля в этом плане является академик Чудаков Е.А,который использовал работы Жуковского Н. Е. для анализа движения и позднее создал свою научную школу в виде последователей, но его представления не меняются уже протяжении более 70 лет.
1.2.3.Обзор аналитических методов определения
токсичности вредных выбросов.
Большой вклад в развитие представлений о токсичности двигателей внес д. т. н., профессор Варшавский И. Л. и его последователи. Им была создана основа теории токсичности двигателя и лишь частично-автомобиля, на базе которой проводятся все современные исследования и созданы многочисленные разнообразные методики расчетов..
В зависимости от коэффициента избытка воздуха, например, определяется выброс СО, а также определяется условие не токсичности воздуха в помещении. По другой методике на базе математической апраксимации можно определить выброс токсичного компонента. Необходимое и достаточное условие разбавления отработавших газов воздухом также определяется в его исследованиях, также как и токсичность газовой смеси.
Кроме этого удельную токсичность двигателя и токсичность автомобиля также можно определять в общем случае и для автомобилей с нейтрализаторами. Токсичность компонентов, приведенная к СО по критериям вредности – это также критерии в данном случае.
1.2.4.Инженерные математические методы
для расчетов.
Среди различных оптимизационных методов обычно выделяют метод исследования эксперимента. Однако это не самый лучший из подходов с точки зрения повышения точности результатов расчетов, особенно для задач движения транспортных средств. Кроме того, в расчетах обычно удобнее использовать численные методы на базе известных критериев оптимизации. В непосредственных расчетах этими методами являются такие как метод хорд, метод Симпсона, отрезков, Рунге-Кутта и др. Они также дают приближенное решение задачи с определенной точностью. Как правило, это задачи, по своей сути, на собственные значения, позволяющие определять действительное значение искомого параметра приближенным численным методом.
В задачах оптимизации при многофакторном эксперименте. когда требуется найти экстремум по многим исходным параметрам, обычно используют действительно методы исследования операций. К ним можно отнести методы покоординатного спуска, градиентного спуска, метод Эйлера, Адамса, главного критерия, обобщенного критерия, последовательных уступок, экспертных оценок, наименьших квадратов или Лежандра-Гаусса и т. п.
Некоторые из них являются более общими и могут использоваться не только для многофакторного эксперимента, поэтому четкого различия иногда не проявляется, но проблема точности решения для данных задач остается сложной. К более серьезным и совершенным, но новым методам относится численное моделирование на базе метода конечных элементов. В классе задач теории движения транспортных средств известен лишь ограниченный круг работ. Однако, в целом данный метод известен как самый серьезный и точный инженерный математический метод, обладающий фундаментальными обобщениями для различного класса задач, поэтому он может позволить решить задачи оптимизации на высоком уроне.
Существует несколько вариантов метода конечных элементов с точки зрения его математической формулировки: вариационный МКЭ в виде метода Ритца, метод Галеркина, метод коллокаций, метод наименьших квадратов, метод штрафов. метод невязок. Точность решения с помощью метода конечных элементов, как известно очень высокая и зависит от возможности уменьшения невязки решения. что в отдельных случаях, особенно, для задач на собственные значения, удается достигнуть.
Метод конечных элементов значительно глубже и точнее, чем известные методы исследования операций, поэтому он очень прогрессивен и перспективен. Различные варианты МКЭ имеют свои особенности, которые необходимо учитывать, поэтому далее дается краткая характеристика основных из них.
Метод Ритца отличается заменой величины невязки в вариационной задаче конечно-элементным пространством или последовательностью конечно-элементных подпространств и специально подобранными пробными функциями. На каждом подпространстве минимизация функционала приводит к решению системы линейных уравнений. Апроксимация Ритца—это функция, минимизирующая исходную искомую функцию на области определения. Система линейных уравнений в данном случае решается методом исключений Гаусса. Принцип мини-макса характерен для случая решения задачи на собственные значения, при котором определяются приближенные значения функции.
Метод коллокаций подобен методу Галеркина. При нем такой выбор пробных коэффициентов, что уравнение определяется точно в характерных точках. Эти определенные точки коллокаций берутся в некоторых точках полинома Лежандра, поэтому для данного случая алгебраические уравнения имеет меньшее число членов, чем в методе Галеркина.
При методе наименьших квадратов определяется рекурентная функция на базе уравнения Эйлера-Лагранжа более высокого порядка чем исходное. Экстремумы исходной и данной рекурентной функции совпадают. Вариантом этого является метод штрафов с интегральными функционалами.
Полудискретный метод Галеркина требует интегрирование функции по частям, использование граничных условий типа Дирихле и особой формы записи самой модельной задачи. Этот метод приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Параболические уравнения с частичными производными и соответствующие им системы нового порядка по времени наиболее вероятно решаются методом Кранка-Никольсона-Галеркина.
Обычная вариационная формулировка метода конечных элементов заключается в том, что для эквивалентной вариационной функции условия минимизации адекватны решению исходного уравнения при некоторых определенных условиях: пробные функции непрерывны, имеют кусочно-непрерывные первые производные и удовлетворяют главным граничный условиям. Кроме того. необходимо соблюдать критерий малости в методе невязок. Используя подход Одена можно применять в расчетах и обыкновенные дифференциальные уравнения для некоторых случаев: например, для случая движения последний вариант дает положительное решение, особенно для задачи на собственные значения. Сам вариационный принцип состоит в том, что интеграл от некоторой функции имеет меньшее или больнее значение для реального состояния системы, чем для любого возможного состояния, допускаемого основными условиями системы. Кроме того, должны соблюдаться и граничные условия, определены узловые точки, конечно-элементные формы и т. п. Поэтому данный метод может давать наиболее точные решения для задач данного класса, однако, в некоторых случаях он еще не применялся и малоизвестен.
Метод конечных элементов, т.е. его вариационный принцип, позволяет найти пробную функцию. Минимизирующую заданный функционал потенциальной энергии – это непосредственно апраксимация Ритца, а сам МКЭ – это обобщение метода Рэлея-Ритца-Галеркина. МКЭ использует вариационный принцип, а не апраксимацию отдельных членов дифференциального уравнения. В методе Ритца все бесконечномерное пространство заменяется пробными функциями с гладкими краевыми условиями. Основное уравнение МКЭ определяет ошибку апраксимаций с помощью линейных элементов Ритца можно считать минимальной. В полудискретном МКЭ задача определяется неизвестными значениями функции в узловых точках. Условие экстремума: в таких вариационных задачах функция должна удовлетворять ряду условий – ищется экстремум одного интеграла при условии, что другой интеграл сохраняется постоянным. Для случая движения, например, одномерной массы под действием силы, пропорциональной пройденному пути при условии постоянной пропорциональности равной 1,уравнение МКЭ имеет определенный вид. МКЭ характеризуется следующими особенностями :
1-физическая областъ делится на под-области или конечные элементы,
2-зависимые переменные апраксимируются функцией специального вида на каждом конечном элементе,
3-подстановка апроксимаций в уравнение дает систему уравнений с неизвестными параметрами, которую можно решить,
4-прочие функции являются непрерывными.
Граничные условия для всех типов задач бывают трех видов: условия Дирихле – первого рода. Неймана – второго рода, Коши – третьего рода, случай когда зависимая переменная и ее нормальная производная связаны точками самой функции на границе. Для первого случая иногда используются штрафные функции, во втором случае задачи имеют слой сопротивления, третий случай характерен для задач движения.
Кроме всех уже указанных вариантов МКЭ существуют и другие. Метод Канторовича-полудискретный или прямой метод апраксимаций, где неизвестные коэффициента уже не скалярны, а непосредственно функции. При этом используется дифференциальное уравнение другого рода. Метод Галеркина построен на интегральном разностном подходе и полиномных, в том числе пробных функциях. Метод наименьших квадратов – как самый простой вариант относится к классу обычных численных методов. Его же называют методом Рунге-Кутта: получаем уравнение большего порядка, чем исходное. Метод переменных направлений Галеркина: для одномерной задачи можно получить матрицу исходной системы линейных уравнений алгебраического вида ленточного типа. В методе невязок для пробной функции требуется, чго бы невязка удовлетворяла также некоторому условию малости -это взвешенный интеграл по данной области.
В общем виде решение системы частных диференциальных уравнений с помощью МКЭ является обычной вариационной задачей с приближениями, которые так же являются невязками решения. особенно для уравнений в частных производных для задач типа Коши, т.е. задач движения. Невязка решения – фактическое расхождение между истинным и апраксимированым значением оптимального решения, поэтому это более общее понятие, которое определяет точность решения. На нее существен-но влияют допущения функционален. В частности, ошибка (из математического анализа и исследования операций):
апраксимация, например, по вариационному методу Ритца, с помощью линейных элементов должна быть минимальна. При этом следует учесть. что это лишь один из исходных моментов, влияющих на точность решения задачи, В дальнейшем необходимо записать условия минимизации, т.е. оптимизации всего функционала в матричном виде на базе системы уравнений Гаусса, Однако. можно решать эту задачу иначе в формулировке на собственные значения, тогда подход будет существенно изменен, Эго более простой способ оптимизации без определения экстремумов функции основных параметров транспортного средства, смысл которого излагается несколько иначе.
При расчетах возникает проблема как глобальной так и локальной оптимизации, поэтому можно использовать различные оптимизационные методы. Причем предпочтение дается данному новому подходу на базе МКЭ. При этом можно говорить или об оптимальном решении или об оптимальных значениях. В области теории движения автомобиля в частности и теории движения транспортного средства вообще могут быть использованы любые простые и сложные математические методы, что нашло очень широкое распространение, Однако они часто не дают подходящего точного решения, а, кроме того, не найдены наиболее эффективные способы. Поэтому, например, для поиска глобальной оптимизации в данном случае можно использовать различные методы исследования операций, но МКЭ – более универсальньй и гибкий метод в этом плане, позволяющий с высокой точностью проводить любые расчеты и находить экстремумы любого рода. В связи с этим предпочтение отдается исследованию его всесторонних возможностей.
2.ТЕОРИЯ ДВИЖЕНИЯ АВТОМОБИЛЯ, КАК
ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ НАЗЕМНОГО
ТРАНСПОРТНОГО СРЕДСТВА.
2.1.Формулировка задачи движения автомобиля
на базе дифференциального уравнения дви-
жения.
Движение автомобиля является частным случаем движения наземного транспортного средства, так как характеризуется наличием тяговой силы и сил сопротивления движению консервативного типа. Поэтому уравнение движения автомобиля аналогично уравнению движения другого вида наземного транcпортного средства и может рассматриваться как частный случай, а действующие в системе силы-как обобщенные факторные
Теория движения автомобиля включает в себя много аспектов, однако, в первую очередь сводится к формализации и определению тягово-скоростных свойств, топливной экономичности и пр. Такие параметры, как устойчивость, управляемость, безопасность и пр. в данной работе не рассматриваются, так как являются отдельными самостоятельными задачами. Кроме того, рассматривается упро-щенный случай курсового движения, т.е. движение с собственной относительной системой координат. Этот фактор упрощает методику и расчеты, но не снижает точности, а, кроме того, позволяет создать базовую имитационную модель, которая может пригодиться и в дальнейших исследованиях в разных задачах.
2.2.Уравнение движения автомобиля и
функционалы интегрирования.
Уравнение движения автомобиля, как и наземного транспортного средства, может быть представлено в виде тягового баланса (2.1) – (2.8),на основании чего получаются данные интегральные зависимости.
В данных выражениях приняты следующие обозначения исходных параметров:
Ga – полная масса автомобиля, н,
fo – статический коэффициент сопротивления качению,
i – продольный уклон дороги, или величина подъема
или спуска,%,
Cx – коэффициент лобового сопротивления,
pв – плотность воздуха, кг/м3,
F – лобовая площадь автомобиля, м2,
bвр – коэффициент учета вращающихся масс при раэгоне,
Jа – ускорение автомобиля, м/с2,
Me – эффективный крутящий момент двигателя, нм,
