Конспект к учебнику И.В.Савельева «Основы теоретической физики», т. 2

1.05.Уравнение Шредингера(16)

∇2 ≡ ∆

U = U(x,y,z) не зависит от t:

ψ(x,y,z,t) = φ(x,y,z)f(t)

левая часть равенства – функция координат, правая –времени,

следовательно, равны константе

f = e−(i/ћ)Et

стационарное уравнение Шредингера:

ψ(x,y,z,t) = φ(x,y,z) e-(i/ћ)Et

|ψ|2 = |φ|2

уравнение Шредингера для стационарных состояний

(φ заменяем на ψ !!!)

уравнение Шредингера для свободной частицы:

U = 0

k2 = 2mE/ћ2 = p2/ћ2 E = mv2/2 = p2/2m

∆ψ + k2ψ = 0

1)одна координата x:

k2 = kx2

∆ψ = ∂2ψ /∂x2

∂2ψ /∂x2 + k2ψ = 0

ψ(x) = e±ikx

ψ(x,t) = e±ikxe− (i/ћ)Et = e −(i/ћ)(Et ∓ ћkx) = e −(i/ћ)(Et ∓ px)

ω = E/ћ k = p/ћ -для волны

2)все координаты:

k2 = kx2 + ky2 + kz2

∆ψ = ∂2ψ/∂x2 + ∂2ψ/∂y2 + ∂2ψ/∂z2

kr = kxx + kyy + kzz

ψ(x,y,z) = e±ikr

ψ = C1eikr + C2e−ikr

формула Эйлера:

eikr = cos(kr) + isin(kr)

e−ikr = cos(kr) ‒ isin(kr)

C1 = C2 = A/2 => ψ = Acos(kr)

C1 = −C2 = −iB/2 => ψ = Bsin(kr)

ψ(x,y,z,t) = e±ikre− (i/ћ)Et = e −(i/ћ)(Et ∓ ћkr) = e −(i/ћ)(Et ∓ pr)

∎ ∂eikr/∂x = ikxeikr

∂2eikr/∂x2 = ∂(ikxeikr)/∂x = ‒ kx2eikr

∆eikr = ‒( kx2 + ky2 + kz2)eikr = ‒ k2eikr

∆eikr + k2eikr = 0 ∎

В соответствии с принципом суперпозиции пси-функция частицы может быть представлена как наложение состояний со значениями импульса, заключенными в интервале от p0–Δp до p0+Δp

ω = E/ћ

k = p/ћ

ω(k) ≃ ω0 +(dω/dk)0(k − k0)

c(k) ≃ c(k0)

ξ = k – k0

∆ξ = ∆k

максимум A(x,t):

xмах – (dω/dk)0t = 0

xмах = (dω/dk)0t

vгр = (dω/dk)0

E = p2/2m

p = ћk

ω = E/ћ = ћk2/2m

минимум A(x,t):

[xмин − (dω/dk)0t]∆k = ±π

xмин = (dω/dk)0t ± π/∆k

1.06.Плотность потока вероятности(22) можно пропустить пока !!!

∎

2.07.Основные постулаты квантовой механики (25)

Будем использовать Q вместо для операторов !!!

Первый постулат утверждает, что каждую физическую величину можно представить линейным оператором

Второй постулат квантовой механики гласит, что в результате измерения физической величины Q, представляемой оператором , может получаться лишь одно из собственных значений qm оператора

Третий постулат квантовой механики утверждает, что при измерениях, осуществляемых над системой, находящейся в состоянии ψ, для определения значения величины Q, по функциям которой осуществлено разложение , вероятность получить значение qm равна (при надлежащей нормировке функций) квадрату модуля коэффициента cm

Qφ = f

линейный оператор:

Q(φ1 + φ2) = Q(φ1) + Q(φ2)

Q(cφ) = cQφ

QΣcmφm = ΣcmQφm

пример:

∂Σcmφm/∂x = Σcm∂φm/∂x

собственные значения и собственные функции:

Qψ = qψ

q1, q2, … , qm, …

ψ1, ψ2, … , ψm, …

ψ = Σcmψm

Σ|cm|2 = Σcm*cm = 1

∫ψm*ψndV = δmn

скалярное произведение функций:

<φ|ψ> ≡ ∫φ*ψdV (1)

<φ|φ> = ∫φ*φdV = ∫|φ|2dV

= ∫(aφ)*ψdV = a*∫φ*ψdV = a*<φ|ψ>

<φ|bψ> = ∫φ*(bψ)dV = b∫φ*ψdV = b<φ|ψ>

= a*b<φ|ψ>

<φ|ψ>* = (∫φ*ψdV)* = ∫ψ*φdV = <ψ|φ>

<φ|ψ>* = <ψ|φ> (2)

<φ|Qψ>* = (∫φ*QψdV)* = ∫(Qψ)*φdV =

<φ|Qψ>* =

* = (∫(Qφ)*ψdV)* = ∫ψ*(Qφ)dV = <ψ|Qφ>

* = <ψ|Qφ>

ψ = Σcmψm

<ψn|ψm> = ∫ψn*ψmdV = δnm

<ψn|ψ> = <ψn|Σcmψm> = Σcm<ψn|ψm> = Σcmδnm = cn

cn = ∫ψn*ψdV = <ψn|ψ> (3a)

cn* = (∫ψn*ψdV)* = ∫ψ*ψndV = <ψ|ψn>

cn* = ∫ψ*ψndV = <ψ|ψn> (3b)

= Σqm|cm|2 = Σqmcm*cm = Σqm(∫ψ*ψmdV)cm = Σ(∫ψ*qmψmdV)cm =

= Σ(∫ψ*QψmdV)cm = ∫ψ*QΣcmψmdV = ∫ψ*QψdV

= ∫ψ*QψdV = <ψ|Qψ> (4)

через скалярное произведение функций (наглядней):

= Σqm|cm|2 = Σqmcm*cm = Σqm<ψ|ψm>cm = Σ<ψ|qmψm>cm =

= Σ<ψ|Qψm>cm = <ψ|QΣcmψm> = <ψ|Qψ>

Мы получили одну из важных формул квантовой механики. Она позволяет, зная пси-функцию состояния, находить среднее значение результатов измерений любой физической величины. Для этого нужно знать также вид оператора, соответствующего данной величине.

2.08.Линейные операторы(30)

комплексно сопряженный оператор:

(Qφ)* = Q*φ* (5)

транспонированный оператор:

QT ≡ Q̃

<ψ|Qφ> =∫ψ*Qφdq ≡ ∫φQ̃ψ*dq = <φ*|Q̃ψ*>

<φ*|Q̃ψ*> ≡ <ψ|Qφ> (6a)

<φ|Q̃ψ> = <φ**|Q̃ψ**> = <ψ*|Qφ*> (6b)

<φ|QТТψ> = <ψ*|QТφ*> = <φ|Qψ>

QТТ = Q (6c)

эрмитово сопряженный оператор:

≡ <φ|Qψ> (7a)

<Ô+φ|ψ> = <φ|Qψ> =∫φ*QψdV = ∫ψQ̃φ*dV = ∫(Q̃*φ)*ψdV =

Q+ = Q̃* (7b)

через скалярное произведение функций:

<φ|ψ>* = <ψ|φ>

<φ|ψ>* = (∫φ*ψdV)* = ∫φ**ψ*dV = < φ*|ψ*>

= <φ|Qψ> = <ψ*|Q̃φ*> = * = <(Q̃φ*)*|ψ> =

Qψn = qnψn <ψn|ψn> = 1

∫ψn*QψndV = ∫ψn*qnψndV = qn∫ψn*ψndV = qn

<ψn |Qψn> = <ψn |qnψn> = qn<ψn|ψn> = qn

1) qn = ∫ψn*QψndV = <ψn |Qψn>

qn* = (∫ψn*QψndV)* = (∫ψnQ̃ψn* dV)* =∫ψn*Q̃*ψndV = ∫ψn*Q+ψndV

qn* = <ψn|Qψn>* = = <ψn|Q+ψn>

2) qn* = ∫ψn*Q+ψndV = <ψn|Q+ψn>

qn = qn* ⇔ <ψn |Qψn> = <ψn|Q+ψn> ⇔ Q = Q+

короче:

qn = qn*

< Q+ψn|ψn> = <ψn|Qψn> = qn = qn*= <ψn|Qψn>* =

Q+ = Q

Определение. Оператор, для которого выполняется условие Q = Q+, называется сопряженным или эрмитовым.

Итак, мы пришли к выводу, что физические величины, для которых собственные величины вещественны, должны изображаться самосопряженными (эрмитовыми) операторами Q, для которых справедливы соотношения

<φ|Qψ> =

∫φ*QψdV = ∫(Qφ)*ψdV = ∫Q*φ*ψdV

Покажем, что собственные функции эрмитовых операторов

взаимно ортогональны:

Q+ = Q

= <ψm|Qψn>

Qψm = qmψm qm* = qm

Qψn = qnψn qn* = qn

1) = qm*<ψm|ψn> = qm<ψm|ψn>

2) <ψm|Qψn> = qn<ψm|ψn>

qm<ψm|ψn> = qn<ψm|ψn>

(qm − qn)<ψm|ψn> = 0

<ψm|ψn> = δmn

Q+ = Q ⇔ <ψm|ψn> = δmn

1 = ∫φ*φdV = ∫(Σcmψm)*(Σcnψn)dV = (ΣΣcm*cn)∫ψm*ψn)dV =

= (ΣΣcm*cn)δmn = Σcm*cm = Σ|cm|2

2.09.Представление операторов в матричной форме(35)

f = Qφ

φ = Σanψn

f = Σbkψk

<ψm|ψn> = δmn

an = <ψn|φ>

bk = <ψk|φ>

Σbkψk = QΣanψn = ΣanQψn

Σbk <ψm|ψk> = Σan< ψm|Qψn>

Qmn ≡ < ψm|Qψn> = ∫ψm*QψndV

Σbkδmk = ΣanQmn

bm = ΣQmnan

полагаем суммирование по повторяющимся индексам !!!

(при этом упрощаются записи)

bm = Qmnan

Qψn = qnψn <ψm|ψn> = δmn

Qmn = <ψm|Qψn> = qn<ψm|ψn> = qnδmn

(Q*)mn = (Qmn)*

(Q̃)mn = Qnm

(Q+)mn = (Q̃*)mn = (Qnm)*

ψ = Σcnψn

= <ψ|Qψ> = <Σcmψm|QΣcnψn> = cm*cnΣΣ<ψm|Qψn> = ΣΣcm*Qmncn

= cm*Qmncn

можно рассматривать как произведение матрицы строки на матрицу и на матрицу столбец

Qψ = qψ

QΣcnψn = qΣcnψn

< ψm|QΣcnψn> = <ψm|qΣcnψn>

Σcn< ψm|Qψn> = qΣcn<ψm|ψn>

ΣcnQmn = qΣcnδmn

Σ(Qmn − qδmn)cn = 0

(Qmn − qδmn)cn = 0

уравнение для собственных значений:

| Qmn − qδmn| = 0

2.10.Алгебра операторов(44)

C = A + B

Cφ = (A + B)φ = Aφ + Bφ

Cmn = Amn + Bmn

C = AB

Cφ = (AB)φ = A(Bφ)

Cmn = AmkBkn

C = (AB)* = A*B*

Cmn = A*mkB*kn

C = (AB)T = BTAT

Cmn = BTmkATkn = BkmAnk = AnkBkm = (AB)nm

C = (AB)+ = B+A+

Cmn = (B+A+)mn = B+mkA+kn = B*kmA*nk = A*nkB*km = (A*B*)nm

A+ = A & B+ = B => (AB)+ = B+A+ = BA

A+ = A & B+ = B & AB = BA => (AB)+ = BA = AB

(iA)* = −iA*

(iA)+ = −iA+

bm = Qmnan

b*m = Q*mna*n = Q̃*nma*n = a*nQ̃*nm = a*nQ+nm

AB ≠ BA (не коммутирующие)

∎ A = ∂/∂x & B = x

ABφ = (∂/∂x)xφ = φ + x∂φ/∂x

BAφ = x(∂/∂x)φ ∎

AB = BA (коммутирующие)

AB = −BA (антикоммутирующие)

коммутатор:

[A, B] ≡ AB − BA

∎ [(∂/∂x), x] = (∂/∂x)x − x(∂/∂x) = 1 ∎

Qψn = qnψn

Rψn = rnψn

(Q + R)ψn = (qn + rn)ψn

(QR)ψn = Q(Rψn) = Q(rnψn) = rnQψn = rnqnψn

(RQ)ψn = R(Qψn) = R(qnψn) = qnQψn = qnrnψn

[QR] = QR – RQ = 0

AB = BA

Aψ(a)n = anψ(a)n

Bψ(b)n = bnψ(b)n

ABψ(a)n = BAψ(a)n = Banψ(a)n = anBψ(a)n

A(Bψ(a)n) = an(Bψ(a)n)

Bψ(a)n –собственный вектор A

BAψ(b)n = ABψ(b)n = Abnψ(b)n = bnAψ(b)n

B(Aψ(b)n) = bn( Aψ(b)n)

Aψ(b)n –собственный вектор B

2.11.Соотношение неопределенности(51) -можно пока пропустить !!!

∎

∆A = A − ∆B = B −

A+ = A B+ = B

∆A+ = A+ − = A − = ∆A

∆A+ = ∆A ∆B+ = ∆B

<∆A2> = <(A − )2> = −2 + 2 = −2

<∆A2> = − 2

<∆B2> = − 2