Хаос. Создание новой науки

8

Шлезингер.

9

Шлезингер.

10

Форд.

11

Ford J. «What Is Chaos, That We Should Be Mindful of It?», preprint. Georgia Institute of Technology. P. 12.

12

Именная позиция в Кембридже (одна из самых престижных научных должностей в мире), названная по имени благотворителя Генри Лукаса, завещавшего в 1663 году средства для ее финансирования. Вторым лукасовским профессором был сэр Исаак Ньютон, с тех пор ее часто неформально называют «ньютоновской». – Здесь и далее, если не указано иное, прим. науч. ред.

13

Boslough J. Stephen Hawklng's Universe. Cambridge: Cambridge University Press, 1980; см. также: Shaw R. The Dripping Faucet as a Model Chaotic System. Santa Cruz: Aerial, 1984. P. 1.

14

Cray – название компании, производящей суперкомпьютеры. Macintosh – название персональных компьютеров, выпускавшихся компанией Apple.

15

Лоренц, Малкус, Шпигель, Фармер. По сути, Лоренц создал три ключевые работы, центральная из которых: «Deterministic Nonperiodic Flow» // Journal of the Atmospheric Sciences. 1963. Vol. 20. P. 130–141. Она дополнена еще двумя: «The Mechanics of Vacillation» // Journal of the Atmospheric Sciences. 1963. Vol. 20. P. 448–464; «The Problem of Deducing the Climate from the Governing Equations» // Tellus. 1964. Vol. 16. P. 1–11. Вместе они составляют обманчивое в своей легковесности исследование, которое и двадцать лет спустя продолжало влиять на умы математиков и физиков. Некоторые погодные модели, построенные лично Лоренцем с помощью его первого компьютера, см.: «On the Prevalence of Aperiodicity in Simple Systems» // Global Analysis / Ed. by M. Marsden and J. Marsden. New York: Springer-Verlag, 1979. P. 53–75.

16

Примерно 24 градуса по Цельсию.

17

Современное описание проблемы использования уравнений в погодном моделировании, изложенное Лоренцем, см.: «Large-Scale Motions of the Atmosphere: Circulation» // Advances In Earth Science / Ed. by P. M. Hurley. Cambridge, Mass.: The M. I. T. Press, 1966. P. 95–109. Одно из самых ранних и вдохновляющих исследований этой проблемы: Richardson L. F. Weather Prediction by Numerical Process. Cambridge: Cambridge University Press, 1922.

18

Лоренц. Как в его мышлении сочетались математические и метеорологические основания, см.: «Irregularity: A Fundamental Property of the Atmosphere», Crafoord Prize Lecture presented at the Royal Swedish Academy of Sciences, Stockholm, Sept. 28, 1983 // Tellus. 1984. Vol. 36A. P. 98–110.

19

Уже восьми: в 2006 году Плутон переведен в статус «карликовых планет».

20

Laplace P. S. de. A Philosophical Essay on Probabilities. New York: Dover, 1951.

21

Уинфри.

22

Лоренц.

23

«On the Prevalence». P. 55.

24

Из всех классических физиков и математиков, которые размышляли над динамическими системами, лучше всех возможности хаоса осознавал Жюль Анри Пуанкаре. В работе «Наука и метод» он писал: «Таким образом, совершенно ничтожная причина, ускользающая от нас по своей малости, вызывает значительное действие, которого мы не можем предусмотреть, и тогда мы говорим, что это явление представляет собой результат случая. Если бы мы знали точно законы природы и состояние Вселенной в начальный момент, то мы могли бы точно предсказать состояние Вселенной в любой последующий момент. Но даже и в том случае, если бы законы природы не представляли собой никакой тайны, мы могли бы знать первоначальное состояние только приближенно. Если это нам позволяет предвидеть дальнейшее ее состояние с тем же приближением, то это все, что нам нужно. Мы говорим, что явление было предвидено, что оно управляется законами. Но дело не всегда обстоит так; иногда небольшая разница в первоначальном состоянии вызывает большое различие в окончательном явлении. Небольшая погрешность в первом вызвала бы огромную ошибку в последнем. Предсказание становится невозможным…» (Пуанкаре А. О науке. М.: Наука, 1990. – Прим. ред.) С переходом из XIX века в XX его предупреждение было забыто; единственным математиком в США, который продолжал следовать заветам Пуанкаре в 1920–1930-е годы, был Джордж Биркгоф. Так случилось, что он недолгое время был наставником Эдварда Лоренца в Массачусетском технологическом институте.

25

Лоренц; а также см.: «On the Prevalence». P. 56.

26

Лоренц.

27

Вудс, Шнейдер; см. также большой обзор экспертных мнений того времени: «Weather Scientists Optimistic That New Findings Are Near» // The New York Times. 1963. 9 September. P. 1.

28

Дайсон.

29

Боннер, Бенгтссон, Вудс, Лейт.

30

Medawar P. В. «Expectation and Prediction» // Pluto's Republic. Oxford: Oxford University Press, 1982. P. 301–304.

31

Изначально Лоренц использовал для описания эффекта образ чайки, а тот образ, который используется сейчас, по-видимому, позаимствован из его работы «Predictability: Does the Flap of a Butterfly's Wings in Brazil Set Off a Tornado in Texas?» и связан с выступлением на ежегодном собрании Американской ассоциации содействия развитию науки в Вашингтоне 29 декабря 1979 года.

32

Йорк.

33

Лоренц, Уайт.

34

«The Mechanics of Vacillation».

35

Перевод С. Я. Маршака.

36

Джордж Херберт; в этом контексте цит. по: Wiener N. «Nonlinear Prediction and Dynamics» // Collected Works with Commentaries / Ed. by P. Masani. Cambridge, Mass.: The M. I. T. Press, 1981. P. 3:371. Винер не был согласен с Лоренцем как минимум в признании наличия «самостоятельных колебаний незначительных деталей на погодной карте». Он отмечал: «Торнадо – в высшей степени локальный феномен, и его точный путь могут определять мелочи, не влияющие глобально больше ни на что».

37

Тут имеется в виду следующее. Пусть есть линейное уравнение типа ẍ + x= = a (t) + b (t) + c(t). Это уравнение описывает динамику колебательного процесса, и здесь a (t), b (t) и c (t) – слагаемые, отвечающие за различные внешние воздействия. например, можно представить себе ребенка, качающегося на качелях в ветреную погоду. тогда a (t) будет обозначать усилия самого ребенка, b (t) – усилия его родителей, помогающих раскачиваться, и c (t) – силу ветра. можно разобрать исходное уравнение на кусочки, а именно – решить три отдельных уравнения, каждое из которых учитывает только один из трех эффектов (то есть ẍ + х = a (t), ẍ + x = b (t) и ẍ + x = c (t)). Если теперь сложить решения этих уравнений, результат будет решением исходного уравнения. Эта аддитивность и является как раз следствием линейности – нелинейные уравнения таким свойством не обладают.

38

Neumann J. von. «Recent Theories of Turbulence» (1949) // Collected Works / Ed. by A. H. Taub. Oxford: Pergamon Press, 1963. P. 6:437.

39

«The predictability of hydrodynamic flow» // Transactions of the New York Academy of Sciences. 1963. Vol. 11:25:4. P. 409–432.

40

Ibid. P. 410.

41

Этот набор из семи уравнений для описания конвекции был разработан Барри Сольцменом из Йельского университета, с которым Лоренц был знаком. Обычно уравнения Сольцмена описывают периодическое поведение, но, как заметил Лоренц, имелось одно исключение, при котором жидкость «отказывалась приходить в состояние покоя». Тогда Лоренц понял, что значение четырех из уравнений в ситуации хаоса сводится к нулю, поэтому их можно не учитывать. Saltzman В. «Finite Amplitude Convection as an Initial Value Problem» // Journal of the Atmospheric Sciences. 1962. Vol. 19. P. 329.

42

Появление конвективных валов в жидкости из уравнений Навье – Стокса, непрерывности и теплопроводности подробно описано в монографии Ланда П. С. Нелинейные колебания и волны. М: Либроком, 2010.

43

Подобную модель можно найти в статье: Cook A. E., Roberts P. H. «The Rikitake twodisc dynamo system» // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1970. Vol. 68. P. 547–569.

44

Малкус; хаотичность магнитного поля Земли до сих пор остается горячо обсуждаемой темой, и некоторые ученые продолжают искать объяснения этому явлению, в том числе не исключая возможности внешнего воздействия, например потоков воздуха, идущих от огромных метеоритов. Одно из первых предположений, что изменения обусловлены хаосом, встроенным в саму систему, см.: Robbins К. A. «A moment equation description of magnetic reversals in the earth» // Proceedings of the National Academy of Science. 1976. Vol. 3. P. 4297–4301.

45

Малкус.

46

Подобное вращение можно наблюдать на видео: www.youtube.com/watch?v=Gu50alrmzNA.

47

Эта классическая модель, обычно называемая системой Лоренца, выглядит так:

dx/dt = 10 (у − х)

dy/dt = −xz + 28х − у

dz/dt = ху − (8/3) z

С момента ее появления в «Deterministic Nonperiodic Flow» система Лоренца много исследуется; см., например, авторитетную техническую работу: Sparrow C. The Lorenz Equations, Bifurcations, Chaos, and Strange Attractors. Springer-Verlag, 1982.

48

См. русский перевод: Лоренц Э. «Детерминированное непериодическое течение» // Странные аттракторы. М.: Мир, 1981. С. 88–117. – Прим. науч. ред.

49

Малкус, Лоренц.

50

«Deterministic Nonperiodic Flow» в середине 1960-х в научном сообществе цитировалась с периодичностью раз в год, а двумя десятилетиями позже – больше чем сто раз в год.

51

Предложенное Куном понимание научной революции широко критиковалось и обсуждалось спустя четверть века после того, как он его высказал, примерно в то время, когда Лоренц пытался построить с помощью компьютера первые погодные модели. В рассказе о взглядах Куна я полагался в первую очередь на его работу: The Structure of Scientific Revolutions, 2nd ed. enl. Chicago: University of Chicago Press, 1970; а также: The Essential Tension: Selected Studies in Scientific Tradition and Change. Chicago: University of Chicago, 1977; «What Are Scientific Revolutions?» // Occasional Paper. No. 18. Center for Cognitive Science, Massachusetts Institute of Technology; и интервью с Куном. Еще один полезный и важный источник, который содержит размышления о предмете: Cohen I. В. Revolution in Science. Cambridge, Mass.: Belknap Press, 1985.

52

Structure. P. 62–65, со ссылкой на: Bruner J. S., Postman L. «On the Perception of Incongruity: A Paradigm» // Journal of Personality. 1949. Vol. XVIII. Р. 206.

53

Structure. P. 24.

54

Tension. P. 229.

55

Structure. P. 13–15.

56

Tension. P. 234.

57

Свитанович.

58

Форд, интервью, а также: «Chaos: Solving the Unsolvable, Predicting the Unpredictable» // Chaotic Dynamics and Fractals / Ed. by M. F. Barnsley and S. G. Demko. New York: Academic Press, 1985.

59

Но Майкл Берри отмечает, что в Оксфордском словаре есть редко употребляемое слово «хаология», которое означает «историю или описание хаоса». Berry M. «The Unpredictable Bouncing Rotator: A Chaology Tutorial Machine», preprint, H. H. Wills Physics Laboratory, Bristol.

60

Рихтер.