Квантовая химия в примерах
Игорь А. Мерзляков
В первой книге серии «Путешествие в квантовую механику» были рассмотрены основные положения, связанные с общим аналитическим решением уравнения Шрёдингера. На данном этапе, не прибегая к помощи компьютера, мы научимся прогнозировать кристаллические структуры, молекулы, а также химические реакции.
Квантовая химия в примерах
Игорь А. Мерзляков
© Игорь А. Мерзляков, 2023
ISBN 978-5-4498-2768-5
Создано в интеллектуальной издательской системе Ridero
1. Введение
В основу методики, разобранной в этой книге, было положено общее аналитическое решения уравнения Шрёдингера, с помощью которого можно описать явления и процессы, происходящие на уровне мельчайших взаимодействий.
Термин «кристаллография» впервые был предложен швейцарским ученым Капеллером в 1723 году. На сегодняшний день исследователи, работающие в области кристаллографии, продолжают изучать симметрии в структурах химических веществ, пытаясь решить в общем виде задачу «компактной упаковки шаров». Исходя из условий данной задачи, шары необходимо поместить в ящик. Вместе с тем свободное пространство, существующее между рассматриваемыми геометрическими фигурами, должно быть минимальным. Цель научных исследований, направленных на решение поставленной задачи, состоит в том, чтобы выделить основные типы кристаллических структур. Часто для неоднородных структур остаётся открытым вопрос о диаметрах шаров и размерах упаковки, куда они помещаются, поскольку именно диаметр определяет вид атома, а линейные размеры упаковки дают информацию о будущих свойствах кристаллической решётки.
В данной работе мы рассмотрим ряд методов, с помощью которых возможно прогнозировать кристаллические и молекулярные структуры, а также предсказывать процессы, связанные с возникновением и протеканием химических реакций. На последней стадии моделирования того или иного химического соединения нам останется лишь с заданной точностью определить параметры окружающей среды, в которой может образоваться исследуемое вещество на практике. Если полученную квантовую систему не удастся обосновать теоретически, тогда рассматриваемую кристаллическую решётку или молекулу нельзя будет синтезировать в природе.
2. Общие сведения из квантовой механики
Полную энергию E
заряженной частицы, расположенной в трёхмерном пространстве декартовых координат, можно представить в виде тождества:
где x,y,z – координаты пробного отрицательного заряда (см. раздел 5 [1]), x? [0, R
], y? [0, R
], z? [0, R
]; F (x,y,z) – произвольно заданная функция; U
(x,y,z) – потенциальная энергия; R
, R
, R
– коэффициенты, определяемые из граничных условий Дирихле; ? – индекс, соответствующий той или иной оси координат x
. Величины m
/R
, m
/R
, m
/R
должны зависеть от функции распределения внутренней энергии u в веществе (см. раздел 9 «Принцип суперпозиции. Квантовая запутанность. Квантовый компьютер» [1]). Если в квантовой системе будет находиться только одна частица, то коэффициент a примет значение a=h
/ (2M), здесь h – приведённая постоянная Планка; M – масса электрона; n
, n
, n
– квантовые числа, с помощью которых возможно вычислить дискретные значения полной энергии.
Допустим, что нелинейное уравнение Шрёдингера задаётся в сферической системе координат (r,?,?). Отсюда следует, что полная нормированная энергия полученной в этом случае квантовой системы будет определяться по формуле:
Функцию распределения потенциальных ям, построенную в заданном координатном базисе (r,?,?), возможно свести к виду: A``=sin (?m
r/R
) sin (?m
?/R
) sin (?m
?/R
). В точках, где величина A`` окажется отрицательной A`` <0, вероятность обнаружения электронов будет выше, чем в точках, где A``> 0.
Атомы, существующие в пространстве потенциальных ям, могут иметь любую форму, но для простоты их изображения выберем модель куба. Представим прямо перед собой несколько потенциальных ям, в центре которых возможно зафиксировать отрицательно заряженные частицы, расположенные на внешней оболочке куба (атома). Исходя из выражений (2.1) и (2.2), можно вычислить полное количество исследуемых потенциальных ям.
Примечательно, что с изменением внутренней энергии u в веществе пространство синусоидальной функции П
sin (?m
x
/R
) начнёт трансформироваться.
Обозначим символом h номер заполняемого уровня. Величина 2h-1 будет соответствовать числу полупериодов синусоидальной функции, приходящихся на одну сторону куба.
Квантовым уровнем называется каждая новая оболочка атома, построенная как следующий слой, состоящий из потенциальных ям, вокруг куба предыдущего уровня, за исключением 1-го, толщиной в один полупериод синусоидальной функции.
Количество потенциальных ям, в которых могут существовать электроны, расположенные на оболочке куба, определяется из выражения D`.
