Теория игр в комиксах

Игра «Ястребы и голуби»

При исследовании проблем социального и генетического программирования может пригодиться игра «Ястребы и голуби». Она была введена Джоном Мейнардом Смитом и Джорджем Прайсом и по-прежнему широко применяется в эволюционной биологии как стартовая точка размышления о поведенческих шаблонах животных. Игра обращает наше внимание на важностьэволюционной стабильности, которая определяет, как поведенческие шаблоны наиболее вероятно обеспечат выживание.

Для простоты в игре условно предполагается, что существует всего два типа животных: «ястреб» и «голубь». «Ястребы» всегда дерутся за приз, будь то возможность спариться с самкой или скудный ресурс. «Голубь» демонстрирует агрессивность, но оказывается не способен на настоящий физический конфликт.

Присваивать потенциальным исходам произвольные числа, обозначающие выигрыши, практически полезно. А эволюционной биологии эти выигрыши иллюстрируютэволюционную приспособленность животного. Победа животного в борьбе за желанную добычу (под добычей можно понимать возможность спариться с самкой или завладеть скудными ресурсами) улучшает выживаемость и способность животного к воспроизводству потомства. Чем выше выигрыш, тем лучше эволюционная приспособленность животного.

Если между нашим условным «ястребом» и «голубем» завяжется конфликт, то «голубь» будет отступать и его выигрыш составит ноль, а «ястреб» получит выигрыш в размере 20, что равно ценности добычи.

Если оба животных «голуби», то у них равные возможности завладеть добычей. Так что вероятность победы каждого составляет 50 %, а ожидаемый выигрыш – 10 (20/2).

Если оба животных «ястребы», то между ними завяжется физический конфликт. Вероятность победы каждого животного составляет ½, а ценность добычи также равна 20. Побежденное животное получает увечья, его эволюционная приспособленность в этом случае равна – С. Таким образом, ожидаемые выигрыши каждого животного составят:

Эти потенциальные исходы можно записать в форме матрицы:

«Ястребы и голуби» с меньшей ценой конфликта

Давайте рассмотрим эту игру, когда цена конфликта меньше ценности добычи – предположим, что цена конфликта (С) равна 8.

Если животные выбирали бы свою линию поведения рационально, то поведение «ястреба» было бы доминирующей стратегией, так как вне зависимости от действий противника всегда лучше выбрать тактику «ястреба».

Предположим, что существует крупная популяция животных, из которых некоторые генетически или социально запрограммированы на поведение «ястреба», а некоторые – на поведение «голубя». Затем отдельные животные случайным образом распределяются по парам для проведения игры.

Животное, запрограммированное на поведение «голубя», ничего не выиграет, если в пару к нему поставят «ястреба», а в паре с другим «голубем» выиграет 10.

Животное, запрограммированное на поведение «ястреба», в паре с другим «ястребом» выиграет 6, а в борьбе против «голубя» – 20.

Когда цена конфликта меньше ценности добычи, животные, отличающиеся агрессивным поведением, показывают лучшие результаты по сравнению с менее агрессивными животными, вне зависимости от того, в паре с кем они находятся.

Игра «Ястребы и голуби» позволяет заглянуть в глубь эволюции видов. Победа в схватке и получение желанной добычи увеличивают возможности репродукции и выживания, а поражение эти возможности уменьшает. Животные, лучше приспособленные (имеющие более высокие выигрыши), имеют больше шансов на выживание и произведение потомства.

Силы эволюции подавляют «голубиное» поведение. Когда выживают только «ястребы», возможность конфликта слишком высока. Каждое животное получает выигрыш в размере 6. Если бы вместо этого животные вели себя как «голуби», каждый выиграл бы 10. Так что поведение «ястреба» не является оптимальным для всего вида животных.

Не всегда силы эволюции приводят к исходам, оптимальным для животных. Конкуренция за скудные ресурсы часто означает, что личная выгода и коллективная выгода противопоставлены друг другу. Когда так происходит, животные будут эволюционировать, чтобы увеличить личную выгоду ценой выгоды коллективной.

Противостояние коллективной выгоды и личной присутствует как в физических чертах, так и в поведенческих шаблонах. Те же эволюционные силы могут повлиять на процесс эволюции физических черт. Примером тому служитправило Коупа, названное в честь американского палеонтолога Эдварда Дринкера Коупа (1840–1997), которое гласит, что в ходе эволюции вид животных обычно становится крупнее.

Ограничением этого эволюционного процесса можно назвать увеличение размера конкурирующих видов, которые борются за те же экологические ресурсы: если один вид становится непроизводительным в силу большого размера, то через какое-то время его вытеснит более производительный конкурент.

Однако затем этот цикл может повториться, новый вид столкнется с противостоянием коллективной выгоды и личной, что впоследствии приведет к меньшей производительности.

«Ястребы и голуби» с большей ценой конфликта

Процессы эволюции еще интересней в ситуациях, где цена конфликта (С) очень высока по сравнению с ценностью желанной добычи. Предположим, что С = 24, а ценность добычи по-прежнему равна 20.

Высокая цена поражения в схватке значительно изменяет способность животного с поведением «ястреба» к выживанию и произведению потомства.

Предположим, что изначально часть популяции, условно названная «p», была запрограммирована на очень агрессивное поведение «ястреба». Оставшаяся часть популяции «(1-р)» перенимает линию поведения «голубя». Часть популяции «р» может опускаться до нуля (все животные в этой популяции – «голуби») или подниматься до единицы (все животные в этой популяции – «ястребы»).

«Голубь» ни за что не ввяжется в схватку с большой ценой, это та же самая ситуация, что и в случае с меньшей ценой конфликта. Однако было бы полезно более детально рассмотреть его ожидаемую эволюционную приспособленность.

«Голубь» вступает в схватку со случайным членом популяции. Это животное окажется «ястребом» с вероятностью «р». В этом случае противник получит добычу, а «голубь» не выиграет ничего.

Однако это животное может оказаться тоже «голубем», вероятность этого равна (1-р). В этом случае не будет физической схватки, и у животных будут равные шансы на победу. «Голубь» получает выигрыш в размере 10.

Таким образом ожидаемая эволюционная приспособленность «голубя» равняется сумме вероятности встречи с каждым из двух противников, умноженная на выигрыш в случае встречи:

Рассмотрим ситуацию с «ястребом»: это животное вступает в агрессивную схватку без страха за свою безопасность.

Вероятность того, что «ястреб» будет бороться с другим «ястребом», равна «р». Цена конфликта так высока, что перевешивает выгоду от желанной добычи, поэтому оба животных получат выигрыш в размере –2.

Вероятность того, что «ястреб» окажется в паре с «голубем», равна (1-р). Этот противник не станет вступать в схватку с агрессивным «ястребом», так что «голубь» получает весь выигрыш без физического боя и его выигрыш составляет 20.

Таким образом, ожидаемая эволюционная приспособленность «ястреба» равняется сумме вероятности встречи с каждым из двух противников, умноженная на выигрыш в случае встречи:

С помощью расчетов, приведенных на последних двух страницах, можно сказать, что ожидаемая эволюционная приспособленность «ястреба» выше, чем у «голубя», если:

20 – 22р > 10 – 10р

или

10 > 12 р

->

10/12 > р

->

5/6 > p

Если часть популяции, запрограммированная на поведение «ястреба» (р), меньше ⅚, то вероятность встречи двух «ястребов» и их схватки настолько мала, что ее перевешивает выгода от получения всего выигрыша при встрече с «голубем». Таким образом, со временем часть популяции «ястребов» (р) увеличится благодаря силам эволюции.

Если особей с поведением «ястреба» в популяции больше ⅚ (то есть, если р > ⅚), то «голуби» будут выживать и размножаться в больших количествах, чем «ястребы», так что часть популяции, запрограммированная на поведение «ястребов», (р) уменьшится.

В долгосрочной перспективе силы эволюции спровоцируют изменение в количестве особей каждого типа. Численность «ястребов» будет стремиться к ⅚ от всей популяции, а «голубей» – к ⅙. Мы имеем дело с такими точными пропорциями благодаря числам, которые мы указывали в платежной матрице. Однако как только цена конфликта станет выше ценности желанной добычи, эволюционные силы внесут свои коррективы в популяцию и заставят «голубей» и «ястребов» сосуществовать.

В долгосрочной перспективе «ястребы» и «голуби» будут сосуществовать в рамках одной популяции в соотношении 5 к 1, при этом оба вида в среднем будут нормально функционировать. При столкновении с «голубями» «ястребы» будут присваивать все ресурсы, но возможность серьезных увечий для них будет очень высока при схватке с другими «ястребами». «Голуби» не смогут удержать ресурсы, когда окажутся в паре с «ястребами», но никогда не пострадают в бою.

Такое долгосрочное эволюционное «устойчивое состояние», при котором количество «ястребов» в популяции равно ⅚, называетсяэволюционно стабильным равновесием. Это такое равновесие, которое сохраняет свою стабильность, даже если мы добавляем к одной группе животных некое количество особей, запрограммированных по-другому, в силу того, что эволюционные силы рано или поздно восстанавливают равновесие.

Вообще в эволюционных играх может быть множество исходов. В «Ястребах и голубях» наблюдается единственное эволюционно стабильное равновесие, а долгосрочное устойчивое состояние рано или поздно будет восстановлено, вне зависимости от того, сколько запрограммированных по-другому особей мы добавим.

Однако в некоторых играх возможно более чем одно эволюционно стабильное равновесие. В таких играх силы эволюции восстановят пропорции равновесия, если наблюдаются незначительные изменения в популяции. Но крупные изменения в составе популяции могут повлечь за собой совсем иное равновесие.

Некоторые игры вообще не имеют эволюционно стабильного равновесия. В таких играх популяция никогда не добьется стабильного устойчивого состояния. Наоборот, она окажется под влиянием цикличных изменений, при которых группы различных видов животных будут бесконечно то увеличиваться, то уменьшаться.

Эволюционная стабильность как усовершенствование равновесия

Интересно то, что эволюционно стабильное соотношение «ястребов» к остальной популяции (⅚) также было бы равно равновесной вероятности в равновесии Нэша в смешанных стратегиях, если бы животные выбирали стратегии рационально. И это не совпадение. Чтобы рассчитать равновесные вероятности в равновесии Нэша в смешанных стратегиях, мы должны найти такие вероятности, при которых игрокам безразлично, что выбрать – линию поведения «ястреба» или «голубя». В равновесии ожидаемые ценности обеих стратегий равны.

В «Ястребах и голубях» мы имеем дело с таким же уровнем ожидаемой эволюционной приспособленности обоих видов животных в эволюционно стабильных равновесных соотношениях. Если бы их приспособленность различалась, силам эволюции пришлось бы выделить один вид животных, существование которого было бы намного более благоприятным, чем у другого, вплоть до момента, когда было бы достигнуто устойчивое состояние.

В «Ястребах и голубях» эволюционно стабильное равновесие создает соотношение «ястребов» и «голубей» в рамках популяции, что похоже на интерпретацию равновесия Нэша в смешанных стратегиях в игре «Уклонение от уплаты налогов». В том случае равновесие создавало соотношение уклонистов и законопослушных налогоплательщиков, а решения, которые принимали игроки, были рациональными.

Когда речь идет об эволюции, концентрация на эволюционно стабильном равновесии разумна, так как она позволяет исключить равновесие, которое не выдержало бы и малейших изменений в популяции.

Игры с последовательными ходами

Часто так случается, что игроки могут проследить действия своих оппонентов перед принятием собственного решения. В некоторых играх существует порядок, в котором участники делают ходы. Они называютсяиграми с последовательными ходами. В большинстве настольных игр, вроде шахмат, игроки совершают ходы последовательно, один за другим.

К примеру, предприниматель размышляет, стоит ей открывать кафе на определенном перекрестке или нет. При этом она может учитывать, какие магазины уже открыты поблизости, а также попробует предугадать, какие еще магазины появятся там в будущем, если она все-таки откроет там кафе.

Игры с последовательными ходамидинамичны, то есть игроки могут принимать свои решения, базируясь на изучении предыдущих действий соперников и на ожиданиях их будущих действий. Участники пытаются предугадать, что их оппоненты предпримут в ответ на их возможные действия, и затем, разворачивая эту цепочку с конца, принимают решение.

Динамичная версия игры «Битва полов»

Мы можем рассмотреть трудности, которые возникают в играх с последовательными ходами, с помощью динамичной версии игры с одновременными ходами. Тут нам пригодится «Битва полов».

В обычной «Битве полов» Боб и Эми должны принять решение о планах на вечер поодиночке и одновременно. Они хотят провести вечер вместе, но им нравятся разные занятия. Помните стратегическую форму первой «Битвы полов»?

А теперь давайте немного изменим их историю. Предположим, что рабочий день Эми заканчивается на час раньше рабочего дня Боба. Она идет к месту проведения одного из занятий и звонит Бобу, чтобы сообщить, где находится. Как только она позвонила ему, у нее больше нет возможности поменять свое местоположение, но Боб пока может пойти на стадион или в танцевальный класс.

Расширенная форма игры

Эмиделает первый ход, а Боб ходит вторым и учитывает выбор Эми. Нам больше ни к чему стратегическая форма игры, ведь она нужна была нам, когда игроки делали одновременные ходы, а стратегическая форма не фиксирует порядок принятия решений. Тут нам пригодится новая диаграмма, которая послужит иллюстрацией игры с последовательными ходами: представление расширенной формы, также известное как игровое дерево.

Расширенная форма вводит порядок возможных выборов с помощьюточек принятия решения (то есть точек, которые указывают момент принятия решения).

Когда Эми принимает свое решение, она знает, что Боб проследит ее выбор до принятия своего решения. Она также знает, что ее выбор повлияет на его выбор. Поэтому она постарается предугадать, как он отреагирует на каждый из ее возможных выборов.

Равновесие, совершенное по под-играм

Если бы Эми позвонила Бобу с футбольного стадиона, то для Боба имела бы значение лишь левая нижняя ветвь дерева. Так что мы может рассмотреть игру саму по себе с этой точки, которая называется «под-игра». Начиная с этого момента, Боб просто будет стараться сделать все от него зависящее.

Эми также попробует предугадать, как поступит Боб, если она решит пойти на танцы. Если она позвонит Бобу из танцевального класса, Бобу пришлось бы играть в другую под-игру (правая ветвь расширенной формы).

Динамическая игра Эми и Боба может быть разрешена с помощью обратной индукции. Эми предугадывает, что произойдет в конце игры, и распутывает всю игровую цепочку оттуда, пытаясь понять, каким будет ее оптимальный выбор.

С точки зрения Эми было бы рациональным пойти танцевать, так как она знает, что Боб присоединится к ней. Эторавновесие, совершенное по под-играм: игроки делают оптимальные для них обоих выборы в каждой под-игре изначальной игры. Равновесие, совершенное по под-играм, означает, что игроки концентрируются на будущем. На каждой точке принятия решения они делают все возможное, не тая обид за прошлые действия.

В этой игре равновесие, совершенное по под-играм, особенно выгодно для Эми. Здесь проявляетсяпреимущество первого хода.

Однако не все игры с последовательными ходами имеют такую черту, как преимущество первого хода. Существует множество игр, в которых первый ход ставит игрока в сложное положение.

Недостоверные угрозы

Большинство людей считают, что равновесие Нэша, совершенное по под-играм, при котором оба участника идут на урок танцев, это самое вероятное равновесие, однако существуют и другие равновесия.

К примеру, Боб мог заявить, что он всегда будет ходить на футбол, вне зависимости от того, чего хочет Эми. Если Эми верит этому, то она будет ожидать провести этот вечер в одиночестве, если выберет урок танцев. Поэтому она тоже пойдет на футбол, ведь быть с Бобом ей нравится больше, чем быть одной. Это тоже равновесие Нэша, но оно основывается на вере Эми в то, что Боб действительно пойдет на футбол, даже если она позвонит ему из класса. Это не входит в интересы Боба, поэтому его угроза недостоверна.

Равновесие, совершенное по под-играм, не обращает внимания на равновесия Нэша, которые зависят от недостоверных угроз или обещаний.

Рынки кредитования

Взаимодействие между кредиторами и заемщиками могут быть смоделированы в виде игры с последовательными действиями. Это может быть полезно при анализе причин того, почему многообещающие проекты не получают финансирования.

Расширенная форма игры моделирует ожидаемые выигрыши (прибыль в миллионах фунтов) для потенциального заемщика (А) и банка (Б). Для упрощения предположим, что банк и заемщик прекрасно понимают, как работают игровое дерево и ожидаемые выигрыши.

У заемщика есть выбор: инвестировать в надежный или в ненадежный проект, но это будет возможно, только если кредит будет одобрен банком.

Банк предпочел бы, чтобы заемщик инвестировал в надежные проекты. Тем не менее он не может отслеживать ежедневную деятельность заемщика. Значит, он не может указывать, в какой проект можно инвестировать, а в какой нет. В равновесии, совершенном по под-играм, банковский работник отказывает заемщику в кредите, хотя и банк, и сам заемщик извлекли бы значительную выгоду из прибыльного надежного проекта.

Заемщик может пообещать работнику банка, что будет вкладывать средства в надежный проект. И он даже может говорит от чистого сердца, ведь в случае отклонения заявки его выигрыш составит ноль, но если кредит будет одобрен, получит выигрыш, равный 1 миллиону фунтов.

Тем не менее если бы банк одобрил этот кредит, то, как только заемщик получил бы деньги, он бы стал сравнивать ожидаемый выигрыш от надежного проекта с ожидаемым выигрышем от рискованного проекта. Так, он бы выбрал рискованный проект и тем самым нарушил бы свое обещание. Такой случай носит название «проблема несогласованности во времени»: человек, принимающий решение, не может не отступить от изначального плана действий.

Равновесие, совершенное по под-играм, при котором банк отклоняет заявку на кредит, не эффективно по Парето. И банковский работник, и заемщик извлекли бы большую выгоду, если бы в надежный проект были вложены средства.

Что, если бы заемщик смог убедить банк вложить средства в проекты, заслуживающие доверия, а они не стоили бы того? В этом случае заемщик решит не учавстовать.

На финансовых рынках часто используют залог какметод самоограничения. К примеру, заемщик может использовать свой дом как залог. Потерять свой дом для заемщика было бы достаточно неприятно (как с материальной, так и с моральной точки зрения), поэтому для заемщика залог изменяет ожидаемый выигрыш от рискованного проекта. Таким образом, он выбрал бы вкладывать деньги в надежный проект, а банк в свою очередь одобрил бы этот кредит.

Микрокредитование

Если потенциальные заемщики могут предоставить залог, чтобы подтвердить свою заинтересованность в надежном проекте, они получают доступ к рынкам кредитования и таким образом могут финансировать свои проекты. Тем не менее те, у кого нет никакого имущества, которое можно было бы использовать в качестве залога, получат отказ в кредите в равновесии, совершенном по под-играм в связи с проблемой несогласованности во времени.

Не так-то просто понять, что может сыграть роль средства самоограничения, поэтому бедняки остаются бедняками, а богачи становятся еще богаче. Отсутствие доступа к рынкам кредитования не позволяет бедным людям быть вертикально мобильными, что может спровоцировать ожесточенные общественные беспорядки.

Бангладешский экономистМухаммад Юнус (род. в 1940 г.) в 2006 году получил Нобелевскую премию за свою версию решения этой проблемы: он основал Grameen Bank и стал пионером концепции микрокредитования, нацеленного на предоставление бедным людям доступа к финансовым рынкам.

Чтобы предоставить людям доступ к рынкам кредитования, Юнус предлагает решить проблему отсутствия средства сдерживания с помощью группового микрокредитования – кредиты предоставляются объединенной группе людей, а не одному человеку. Каждый заемщик в этой группе должен удостовериться, что другие члены группы вкладывают средства в надежные проекты.