Кубик Рубика. За гранями головоломки, или Природа творческой мысли

Танграм мне понравился потому, что в нем скрывалась абсолютная свобода. В каком-то смысле эта головоломка почти искусство, ведь результат зависит от способностей и творческого видения собирающего. Я был из тех детей, которые часами могли чертить и рисовать, – прекрасный способ отвлечься во время уроков, когда надоедали какие-то предметы или некоторые учителя. Иногда я рисовал на деталях танграма, чтобы, соединив их, получить нечто абстрактное и красивое.

Когда мне было лет пять или шесть, я получил в подарок головоломку «15». Думаю, первоначальная цель подарка заключалась в том, чтобы занять меня на несколько часов в поезде по дороге из Будапешта до озера Балатон, где отец построил коттедж и где мы проводили лето.

Оригинальные пятнашки представляют собой плоскую коробку с квадратами, пронумерованными от 1 до 15 и расположенными рядами, по четыре штуки в каждом ряду, кроме последнего: так остается свободное место, благодаря чему квадратики можно передвигать.

Задача игрока состоит в том, чтобы, не вынимая квадраты, придумать варианты их перестановки внутри коробки и расставить по порядку от 1 до 15. Вы можете только передвигать костяшки одну за другой, занимая пустой квадрат. Таким образом, это игра в закрытой системе. Сегодня можно купить пластмассовые пятнашки с пазогребневым соединением, которые не вываливаются из коробки. Мне по душе старая модель, которая была у меня тогда. Я мог вынуть детали из коробки и вставить их обратно в произвольном порядке. Особенно мне нравился металлический звук, который издавали эти пятнашки во время игры.

Итак, элементы, расположенные случайным образом, нужно было уложить в правильной последовательности. Сложность вопроса заключалась в порядке и правилах их перемещения. Для меня же это был легкий процесс. Если у вас есть последовательность чисел, каждое из которых уникально и не повторяется, их можно разместить от наименьшего к наибольшему. Важно не перемещать отдельные элементы, а понять систему движения целого. Мои родители надеялись, что это занятие займет у меня в поезде несколько часов, но были разочарованы. Мне быстро удалось найти нужное решение.

Несомненно, я учился на классических играх, таких как танграм и пятнашки, а еще сильнее на меня повлияла игра под названием «пентамино», идея которой принадлежит американскому математику Соломону Голомбу. Пентамино – это фигура из пяти квадратов, соединенных общими гранями. Есть 12 способов соединить пять квадратов. В чем суть игры? Основная цель – уложить фигуры в прямоугольник, который может иметь различные размеры. Поскольку один элемент состоит из пяти квадратов, площадь 12 различных пентамино составляет 60 квадратов (60 = 3 × 4 × 5, поэтому вы можете сложить прямоугольники 3 × 20, 4 × 15, 5 × 12 или 6 × 10, используя имеющийся набор фигур, причем для каждого прямоугольника существует более одного решения). Из пентамино можно составлять и другие формы. Вы можете сложить большой квадрат 8 × 8 с четырьмя пустыми маленькими квадратами в центре либо по углам большого квадрата или множеством разных фигур, и все это новые задачи, для которых нужно искать решения.

Составление различных форм таит в себе как огромный потенциал, так и большие сложности. Математики называют это «тайлингом», что означает заполнение формы фигурами, которые не перекрывают друг друга. Сложной задачей, которая может показаться неразрешимой, является заполнение прямоугольника квадратами разного размера. Чрезвычайно трудной работой становится создание «простого совершенного квадрированного квадрата».

Пентамино было моим первым шагом в мир занимательной математики и решения интересных геометрических задач. Геометрия очень эвристична, очень наглядна. Для меня визуальный аспект мира был и остается самым важным, самым формирующим опытом.

В пентамино скрыты и другие возможности: можно сделать трехмерную версию, используя кубики, а не квадраты. Они называются пентакубами и применяются в качестве строительных блоков для более сложных структур или конструкций. Один из базовых вариантов игры – выбрать один элемент из двенадцати и увеличить его размер вдвое или втрое относительно остальных элементов. Еще одна прекрасная задача – заполнить элементами коробку 3 × 4 × 5 для их хранения.

С помощью этой головоломки я узнал, например, какими способами можно сложить соединенные кубики. Пентамино отличается прекрасной наглядностью!

Я, разумеется, был не первым, кто оценил богатые возможности кубической формы. Нельзя не упомянуть двух предшественников моего Куба. Первый из них – Кубики со́ма, которые создал датский ученый и поэт Пит Хейн. Он стал героем Второй мировой войны, участвовал в датском движении Сопротивления, прожил долгую жизнь, получив известность как писатель, а также как изобретатель головоломок. Я считаю изобретение Хейна, как и многие головоломки, произведением искусства. Интересно, что сам он определял свое восприятие искусства как «решение задач, которые невозможно сформулировать до их решения, где формулировка вопроса – это часть ответа».

Кубики сома напоминают трехмерную версию пентамино. Головоломка включает семь частей: шесть состоят из четырех маленьких кубиков каждая, а одна – из трех. Но все они разной формы: есть прямоугольные и Г-образные. Маленькие кубики соединены между собой общей гранью. Из этих семи частей можно собрать куб 3 × 3 × 3. Существует 1 105 920 решений головоломки.

То, что седьмая часть составлена из трех маленьких кубиков, а не из четырех, как все другие, означает, на мой взгляд, что игре не хватает однородности. Эта трехмерная форма, заполняющая пространство 3 × 3 × 3, выглядит как куб, вы можете сделать ее сами. Кубики сома – это не открытая головоломка, как танграм или пентамино, где есть набор элементов, а что делать дальше, вы решаете сами. Кубики сома – это классическая головоломка, суть которой – ответить на вопрос, поставленный ее создателем. Это трехмерная задача.

Я создал собственную версию задолго до того, как начал задумываться о своем Кубе. Используя только элементы, содержащие три одинаковых маленьких кубика, я пытался собрать большой куб 3 × 3 × 3. В нем было девять элементов, в которых количество маленьких кубиков одинаково, но способы их соединения – разные. Я использовал все возможные комбинации, чтобы соединить три кубика, которые могли соприкасаться гранями и/или ребрами. Два элемента соединялись только гранями, пять – только ребрами. И два имели оба типа соединений. Для головоломки нашлось 880 решений. (Эта версия появилась на рынке примерно в 1990 году под названием Rubik’s Bricks.)

Другой важный предшественник моего Куба известен как куб Мак-Магона, состоящий из кубиков, очень похожих на детские цветные строительные блоки, у которых все грани имеют разные цвета и ни одна не повторяется. Но расположение цветов на кубиках разное, и существует тридцать вариантов куба с шестью разноцветными гранями. Эта головоломка не так широко известна, как другие, но все же представляет собой интересную математическую задачу. Есть тридцать кубов с гранями шести цветов во всевозможных комбинациях. Суть задачи заключается в том, чтобы взять один маленький куб, а затем, используя восемь других, создать из них большой куб 2 × 2 × 2, который имел бы такое же расположение цветов, как у первого куба. При этом каждая большая грань должна быть одного цвета и маленькие кубики также должны соприкасаться внутри гранями одного цвета. Наибольший размер куба, который можно создать, придерживаясь того же правила, – 3 × 3 × 3. С точки зрения комбинаторики существует тридцать возможных способов расположить цвета на шести гранях куба.

Улавливается очевидное сходство с Кубом, но есть и очень важное отличие: все эти кубики разделены. Их элементы не связаны физически. И опять это комбинаторная задача, которая состоит в том, чтобы выяснить, сколько существует способов собрать их вместе. Природа задачи заключается в том, чтобы в определенном смысле распознать образ, силой воображения найти нужные элементы и соединить их между собой.

Сноски