Всемирная библиотека. Non-Fiction. Избранное

Вечное состязание Ахилла и черепахи

Понятия, связанные со словом «драгоценность» – дорогая безделушка, изящная, но некрупная вещица, удобство перемещения, прозрачность, не исключающая непроницаемости, утеха в старости, – оправдывают его употребление в данном случае. Не знаю лучшего определения для парадокса об Ахилле, столь устойчивого и настолько не поддающегося никаким решительным опровержениям – его отменяют на протяжении более двадцати трех веков, – что мы уже можем поздравить его с бессмертием. Повторяющиеся наплывы тайны ввиду такой прочности, тщетные ухищрения разума, к которым он побуждает человечество, – это щедрые дары, за которые мы не можем не благодарить его. Насладимся же им еще раз, хотя бы для того, чтобы убедиться в своей растерянности и его глубокой загадочности. Я намерен посвятить несколько страниц – несколько минут, разделенных с читателем, – его изложению и самым знаменитым коррективам к нему. Известно, что придумал его Зенон Элейский, ученик Парменида, отрицавшего, что во Вселенной может что-либо произойти.

В библиотеке я нашел несколько версий этого прославленного парадокса. Первая изложена в сугубо испанском Испаноамериканском словаре, в двадцать третьем томе, и сводится она к осторожному сообщению: «Движения не существует: Ахилл не сумеет догнать ленивую черепаху». Подобная сдержанность меня не удовлетворяет, и я ищу менее беспомощную формулировку у Дж. Г. Льюиса, чья «Biographical History of Philosophy»[25] была первой книгой по философии, которую я стал читать то ли из тщеславия, то ли из любопытства. Попробую изложить его формулировку. Ахилл, символ быстроты, должен догнать черепаху, символ медлительности. Ахилл бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и дает ей десять метров форы. Ахилл пробегает эти десять метров, черепаха пробегает один метр, Ахилл пробегает этот метр, черепаха пробегает дециметр, Ахилл пробегает дециметр, черепаха пробегает сантиметр, Ахилл пробегает сантиметр, черепаха – миллиметр, Ахилл пробегает миллиметр, черепаха – одну десятую долю миллиметра, и так до бесконечности – то есть Ахилл может бежать вечно, но не догонит черепаху. Таков бессмертный парадокс.

Перейду к известным опровержениям. Самые старые – Аристотеля и Гоббса – включены в опровержение, сформулированное Стюартом Миллем. По его мнению, эта проблема – всего лишь один из многих примеров заблуждения из-за ложной аргументации. Стюарт Милль уверен, что может его опровергнуть следующим анализом:

В заключении софизма слово «вечно» означает любой мыслимый промежуток времени; в предпосылке предполагается любое число временны́х отрезков. Это означает, что мы можем делить десяток единиц на десять, частное – опять на десять, сколько раз нам вздумается, и делениям пройденного пути, а следовательно, и делениям времени состязания конца нет. Однако бесконечное количество делений может осуществляться с чем-то конечным. В содержании парадокса не дана иная бесконечность длительности, чем та, что содержится в пяти минутах. Пока эти пять минут не прошли, частное можно делить на десять и еще раз на десять сколько нам вздумается, что вполне осуществимо с тем фактом, что общая длительность составляет пять минут. В результате доказывается, что для того, чтобы преодолеть это конечное пространство, требуется время, бесконечно разделяемое, но не бесконечное. (Милль, «Система логики», книга пятая, глава седьмая.)

Я не могу предвидеть мнение читателя, но чувствую, что предложенное опровержение Стюарта Милля есть не что иное, как изложение парадокса. Достаточно установить скорость Ахилла в одну секунду на метр, чтобы найти требуемое время.

Предел суммы этой бесконечной геометрической прогрессии будет двенадцать (точнее, одиннадцать и одна пятая; еще точнее, одиннадцать с тремя двадцатипятыми), но он никогда не достигается. То есть путь героя будет бесконечен, и он будет бежать вечно, но его маршрут закончится, не достигнув двенадцати метров, и его вечность не достигнет двенадцати секунд. Это методичное разложение, это конечное падение в бездны все более мелкие на самом деле не уничтожают проблему, а просто хорошо ее представляют. Не будем также забывать, что и бегуны уменьшаются – не только вследствие визуального уменьшения перспективы, но вследствие волшебного уменьшения, к которому их вынуждает то, что они занимают все более микроскопическое пространство. Представим себе также, что эта лестница бездны разрушает пространство при все более ускоряющемся беге времени, – этакий отчаянный двойной бег наперегонки неподвижности и экстатической быстроты.

Другой попыткой опровержения была сделанная в тысяча девятьсот десятом году Анри Бергсоном в его известном «Опыте о непосредственных данных сознания» – само название книги является предвосхищением основания. Вот страница из нее:

«С одной стороны, мы предписываем движению такую же делимость, какую имеет преодолеваемое пространство, забывая о том, что можно делить предмет, но не действие; с другой стороны, мы привыкаем проецировать это самое действие на пространство, применять его к линии, по которой движется предмет, – короче, делать движение вещественным. Из такого смешения движения и пройденного пространства и рождаются, на наш взгляд, софизмы Элейской школы; поскольку интервал, разделяющий две точки, бесконечно делим и если бы движение состояло из частей, подобных частям интервала, этот интервал никогда бы не был преодолен. Но суть в том, что каждый из шагов Ахилла – это простой неделимый акт и после некоего данного числа таких актов Ахилл должен был бы догнать черепаху. Заблуждение элеатов происходило из отождествления этого ряда отдельных актов sui generis[26] с гомогенным пространством, на котором они совершаются. Поскольку это пространство может быть делимо и разложено согласно любому избранному закону, они сочли себя вправе переосмыслить движение Ахилла в целом уже не в шагах Ахилла, но в шагах черепахи. Догоняющего черепаху Ахилла они в действительности подменили двумя черепахами, действующими согласно, двумя черепахами, сговорившимися делать шаги одного рода или одновременные действия, чтобы никогда одна не догнала другую. Почему Ахилл обгоняет черепаху? Потому что каждый из шагов Ахилла и каждый из шагов черепахи, будучи движениями, неделимы: таким образом, весьма быстро набирается сумма пространства, преодоленного Ахиллом, как длина, превосходящая сумму пространства, пройденного черепахой, и данной ей форы. Вот чего не учитывает Зенон, разлагая движение Ахилла по тому же закону, что и движение черепахи, забывая, что только пространство поддается произвольному сложению и разложению, и смешивая его с движением» («Непосредственные данные», испанский перевод Барнеса, с. 89, 90. По ходу дела исправляю некоторые явные огрехи переводчика). Суть фрагмента несложна. Бергсон допускает, что пространство бесконечно делимо, но отрицает такую делимость во времени. Чтобы развлечь читателя, он выводит двух черепах вместо одной. Он хотел бы сочетать время и пространство, являющиеся несочетаемыми: неровное, прерывистое время Джеймса с его неизменным бурлением обновления и делимое до бесконечности пространство нашего обычного восприятия.

Делая пропуски, я перехожу к известному мне опровержению, по вдохновенности единственно достойному оригинала, – как того требует эстетика мышления. Это опровержение, сформулированное Расселом. Я нашел его в благороднейшем труде Уильяма Джеймса «Some Problems of Philosophy»[27], а концепцию в целом, которую он выдвигает, можно изучить в последующих книгах ее изобретателя – «Introduction to Mathematical Philosophy»[28], 1919; «Our Knowledge of the External World»[29], 1926, – книгах нечеловеческой ясности, возбуждающих жажду знания и насыщенных. Согласно Расселу, операция счета является (по внутренней своей сущности) операцией сопоставления двух рядов. Например, если ангел смерти умертвил всех первенцев в Египте, кроме тех, что находились в домах, где дверь была помечена кровью, то, очевидно, спаслось столько, сколько было красных меток, не надо и пересчитывать их. Тут количество неопределенное; есть другие операции, в которых оно также неопределенное. Ряд натуральных чисел бесконечен, однако мы можем доказать, что нечетных там столько же, сколько четных.

Доказательство столь же безупречно, сколь примитивно, но оно не отличается от следующего доказательства того, что для числа 3018 существует столько же множителей, сколько есть чисел.

То же можно утверждать о степенях этого числа, с тем различием, что дистанция между ними будет все более возрастать.

Гениальное признание этих фактов вдохновило философа на формулу, что бесконечное множество – например, ряд натуральных чисел – есть множество, члены которого могут в свой черед раздваиваться на бесконечные ряды. На подобных высоких широтах счисления часть не менее обильна, чем целое: точное количество точек, имеющихся во Вселенной, равно тому, которое имеется в одном метре Вселенной, или в одном дециметре, или в самой огромной траектории звезды. Задача Ахилла оказывается включенной в этот героический ответ. Каждое место, занятое черепахой, сохраняет пропорциональное отношение с местом, которое занято Ахиллом, и скрупулезного соответствия, точка к точке, обоих симметричных рядов достаточно, чтобы объявить их равными. Не остается никакого периодического остатка начальной форы, данной черепахе: конечная точка ее пути, конечная точка пути Ахилла и конечная точка времени состязания – математически совпадают. Таково решение Рассела. Не оспаривая технического превосходства противника, Джеймс все же предпочитает не соглашаться. Заявления Рассела (пишет Джеймс) уклоняются от истинной трудности, касающейся категории бесконечного «растущее», а не категории «постоянное», – Рассел имеет в виду только последнюю, предполагая, что путь уже пройден и что задача состоит в том, чтобы уравновесить обе траектории. Между тем обе они не уточняются: определение пути каждого из бегунов или просто промежутка затраченного времени связано с трудностью достижения некой цели, когда каждый предыдущий интервал возникает раз за разом и перекрывает путь («Some Problems of Philosophy», 1911, с. 181).

Я подошел к концу моей заметки, но не наших размышлений. Парадокс Зенона Элейского, как указал Джеймс, покушается не только на реальность пространства, но и на самую неуязвимую и тонкую реальность времени. Добавлю, что жизнь в физическом теле, неподвижное пребывание, текучесть каждого дня жизни восстают против такой опасности. Подобный беспорядок вносится посредством одного слова «бесконечное», слова (а за ним и понятия), внушающего тревогу, которое мы отважно произносим и которое, превратившись в мысль, взрывается и убивает ее (существуют другие древние кары за общение со столь коварным словом – есть китайская легенда о скипетре императоров династии Лян, который укорачивается с каждым новым правителем наполовину: изувеченный многими династиями, скипетр этот существует и поныне). Мое мнение, после приведенных мною столь квалифицированных суждений, подвержено двойному риску показаться дерзким и тривиальным. Все же я его выскажу: парадокс Зенона неопровержим, разве что мы признáем идеальную природу пространства и времени. Так признаем же идеализм, признаем же конкретное увеличение воспринимаемого – и мы избегнем головокружительного умножения бездн этого парадокса.

Поколебать нашу концепцию Вселенной из-за этой крохи греческого невежества? – спросит мой читатель.

1929

Продолжительность ада

Среди плодов человеческого воображения ад больше других потерял с годами. Даже вчерашние проповедники позабыли его, оставшись без нищенской, но услужливой отсылки к святым кострам инквизиции, подстерегающим нас уже в посюстороннем мире, – муке, конечно, краткосрочной и все-таки вполне способной в границах земного стать метафорой бессмертия, той абсолютной и беспредельной муки, которую навек навлекли на себя наследники Господня гнева. Удовлетворительна моя гипотеза или нет, одно бесспорно: неустанная реклама этого божественного установления в конце концов утомила всех. (Не надо пугаться слова «реклама», оно вовсе не из коммерческого, а из католического обихода, где означает «собрание кардиналов».) Карфагенянин Тертуллиан во II веке нашей эры еще мог вообразить преисподнюю и рисовал ее так: «Нам по душе видения, представим же себе самое безмерное – Страшный суд. Какая радость, какой восторг, какой праздник, какое счастье – видеть стольких горделивых царей и ложных богов томящимися в гнуснейшем застенке мрака; стольких судей, гонителей имени Христова, – плавящимися на кострах много лютее тех, что насылали они на головы христиан; стольких угрюмых философов – рдеющими в багряном огне вместе с их призрачными слушателями; стольких прославленных поэтов – дрожащими перед престолом не Мидаса, а Христа; стольких трагических актеров – небывало искусными сегодня в изображении неподдельных мук!» («De spectaculis»[30], 30; цитирую по труду и переводу Гиббона). Но уже Данте в своей исполинской попытке анекдотически представить нескольких приговоренных божественной справедливостью на фоне Северной Италии, увы, не нашел в себе подобного энтузиазма. Позднейшие же литературные преисподние Кеведо (не более чем занятное собрание анахронизмов) и Торреса Вильяроэля (не более чем собрание метафор) – всего лишь проценты с обесценивающейся догмы. Ад переживает в их творчестве решительный упадок, равно как и у Бодлера, настолько разуверившегося в вечных муках, что разыгрывает упоение ими. (Интересно, что бесцветный французский глагол «gêner» (докучать) этимологически восходит к мощному слову Писания «gehenna».)

Теперь к самому аду. Любопытная статья о нем в Испаноамериканском энциклопедическом словаре полезна, пожалуй, даже не столько необходимыми справками или теологией напуганного пономаря, сколько своей очевидной растерянностью. Начинается с оговорки, что понятие ада не принадлежит исключительно католичеству; предосторожность, единственный смысл которой – «дабы масоны не толковали, будто подобным жестокостям учит святая церковь». Далее следует напоминание, что понятие это всегда входило в церковную догматику, после чего – беглая реплика: «Неувядаемая слава христианства в том, что оно вобрало в себя множество истин, рассеянных по различным ложным вероучениям». Связывать ли ад с религиями природы или всего лишь откровения, важно, что ни один другой богословский предмет не обладает, по-моему, такой притягательностью и мощью. Речь не о бесхитростной мифологии монастырских келий – всем этом навозе, жаровнях, огне, клещах, которые буйно произрастают в сени обителей и до сих пор, к стыду для их воображения и достоинства, повторяются то тем, то иным автором[31]. Речь об аде в самом строгом смысле слова – о месте вечной кары для грешных, про которое из догматов известно лишь то, что оно находится in loco reali (в надлежащем месте), a beatorum sede distinto (удаленном от обители избранных). Извращать сказанное – смертный грех. В пятидесятой главе своей «Истории» Гиббон старается умалить притягательность ада и пишет, будто двух простейших представлений об огне и тьме вполне достаточно, чтобы почувствовать бесконечную боль, которая ведь и должна быть бесконечно тяжела, поскольку по самому замыслу не имеет конца. Может быть, эта безнадежная попытка и доказывает, что смастерить ад – дело нехитрое, но ей не под силу умерить манящий ужас выдумки. Страшнее всего здесь вечность. Сама длящаяся мука – беспрерывность Божьей кары, когда грешники в аду не смыкают глаз, – пожалуй, еще страшнее, но ее невозможно представить. О вечности мук и пойдет дальше наш разговор.

Два веских и точных аргумента практически сводят эту вечность на нет. Самый старый – условность бессмертия (или уничтожения). Бессмертие – гласит этот глубокий довод – несвойственно греховной природе человека, оно ниспослано Богом Христу. А лишенный его, понятно, не может им и располагать. Оно – не проклятие, а дар. Заслужившего удостаивает Небо, а отверженный умирает, как выражался Беньян, «до самой смерти», целиком и бесповоротно. Ад, согласно данной благочестивой теории, – это человеческое и предосудительное имя для забвения человека Богом. Одним из ее защитников был Уэйтли, автор некогда знаменитых «Сомнений историка по поводу Наполеона Бонапарта».

Занятнее, пожалуй, рассуждение евангелического пастора Роте, относящееся к 1869 году. Его довод – смягченный, помимо прочего, тайным сочувствием, отвергающим даже мысль о бесконечной каре для осужденных, – состоит в том, что, наделяя вечностью муку, мы увековечиваем зло. Господь, утверждает Роте, не согласился бы на такую вечность для созданного Им мира. Отвратительно думать, что грешник и дьявол вечно смеются над благим помыслом Творца. (Мир, как известно теологам, сотворен любовью. Предопределение означает предназначенность для рая, осуждение же – попросту его изнанку, причиняющую адские муки неизбранность, но никак не особое действие Божественной благодати.) Жизнь грешника, согласно этому доводу защиты, всего лишь изъян, ущерб… Его удел – скитаться по окраинам мира, ютясь в пустотах беспредельных пространств и питаясь отбросами существования. Завершает Роте следующим: поскольку демоны, безусловно, чужды Богу и враждебны Ему, их действия противны Царству Божию и составляют особое бесовское царство, у которого, естественно, должен быть свой глава. Правитель демонского государства – дьявол – изменчив ликом. Воссевшие на трон этого царства гибнут от призрачности своего бытия, но возрождаются к жизни по мере умаления в себе дьявола («Dogmatik»[32], 1, 248).

Подхожу к самому невероятному – к доводам человечества в пользу вечности ада. Расположим их по возрастающей значимости. Первый, вероучительный, гласит, что ужас наказания как раз и кроется в его вечности, а сомневаться в этом – значит сводить на нет действенность догматов и заигрывать с дьяволом. Есть в этом аргументе что-то неуловимо полицейское, и я не стану его даже опровергать. Второй таков: боль должна быть бесконечной, поскольку бесконечна вина покусившегося на величие Бога, чье бытие бесконечно. По-моему, такой способ доказательства ровным счетом ничего не доказывает, кроме одного: простительной вины не бывает и никакой грех не заслуживает снисхождения. Добавлю, что перед нами образчик схоластического самоуправства: подвох здесь в многозначности слова «бесконечный», которое применительно к Создателю означает «несотворенный», к боли – «безысходная», а к вине – вообще неизвестно что. Кроме того, считать провинность бесконечной из-за покушения на Бога, чье бытие бесконечно, все равно что считать ее святой, поскольку Бог свят, или думать, будто обращенные к тиграм проклятия должны быть поэтому полосатыми.

И вот надо мною высится третий, единственно значимый довод. Он таков: есть вечность рая и вечность ада, ибо этого требует достоинство нашей свободной воли; либо труд человека воистину вечен, либо он сам – всего лишь пустая химера. Сила этого аргумента не в логике, она в драматизме, а это куда сильней. Он предлагает безжалостную игру, даруя нам жестокое право губить себя, упорствовать во зле, отвергать дары милосердия, предаваться неугасимому огню и собственной жизнью наносить поражение Богу, раболепствуя перед телом, не знающим просветления даже в вечности и detestabile cum cacodemonibus consortium[33]. Твоя судьба, предупреждают нас, нешуточна, и вечное проклятье, как вечное спасение, подстерегает тебя в любую минуту, – эта ответственность и есть твое достоинство. Похожее чувство можно найти у Беньяна: «Бог не тешился, убеждая меня, как не тешился и дьявол, соблазняя, и сам я – погружаясь в бездонную пропасть, где все горести ада завладели мною, – так тешиться ли мне теперь, их пересчитывая?» («Grace abounding to the Chief of Sinners», the Preface)[34].