Диверсификация инвестиционного портфеля. Теория Марковица-Шарпа

1.1.1. Опасность для инвестора

Инвесторы хотят купить какие-нибудь биржевые активы, которые приносят им доходы в течение срока владения и/или приносят доход при продаже этих активов в конце срока владения.

Цены биржевых активов меняются не монотонно. Это явление называется волатильностью. Волатильность приводит к тому, что некоторые активы у инвестора во время всего или части срока владения активом показывают отрицательную доходность.

Возникает риск того, что инвестор может купить какой-то актив и вместо ожидаемой прибыли он получит убытки.

1.1.2. Идея защиты от убытков с помощью диверсификации

Иногда можно встретить утверждение, что будто бы идея теории Гарри Марковица состоит в том, чтобы, как говорится, "не класть все яйца в одну корзину", то есть распределять финансы по разным активам.

На самом деле, эта идея о распределении средств инвестора по разным «корзинам» была известна задолго до появления теории Марковица. Финансовые консультанты всегда рекомендовали вместо вложения в один актив, провести диверсификацию своих инвестиционных средств.

Диверсификация, это мера разнообразия распределение средств инвестора по разнородным активам. Например, инвесторам рекомендуется часть средств вложить в акции, другую часть в облигации, третью часть в иностранные валюты, четвертую в банковский депозит, пятую часть в недвижимость, шестую в драгоценные металлы, и т. д.

Акции, облигации, банковские депозиты, и т. п., это всё примеры разнородных активов. Но даже разные акции являются в какой-то мере разнородными активами, особенно, если они соответствуют разным отраслям экономики.

Такая диверсификация финансов по разным активам приводит к понятию инвестиционного портфеля, как совокупность инвестиционных вложений инвестора.

Однако, распределение финансов инвестора в портфеле "на глаз" по интуиции часто очень плохо защищает инвестора от убытков.

Рассмотрим очень простой пример. Допустим, инвестор разделил свои средства на 2 части и на эти части купил иностранные валюты, которые ему показались хорошо растущими относительно его национальной валюты. Допустим, это евро и британский фунт.

Здесь есть диверсификация средств, но эта диверсификация очень плохая. Дело в том, что если евро начнет падать относительно национальной валюты инвестора, то с очень большой вероятностью будет падать и британский фунт. И таким образом весь инвестиционный портфель потеряет свою первоначальную стоимость.

Может вместо британского фунта надо было вложиться в швейцарский франк? Или добавить швейцарский франк к этим двум валютам в качестве третьего актива для подстраховки?

Обе эти идеи очень плохие, так как швейцарский франк в среднем статистически ведет себя также, как евро и британский фунт. Все 3 валюты с большой вероятностью одновременно растут и с большой вероятностью одновременно падают. Если начнет падать одна из этих трех валют, то с очень большой вероятностью упадет стоимость всего инвестиционного портфеля, так как другие валюты тоже упадут.

По аналогии с яйцами и корзинами, эта ситуация соответствует такой, когда все яйца хотя и разложили по двум или трем корзинам, но все эти корзины несет в руках один человек. Если этот человек запнется и упадет, то одновременно разобьются яйца во всех его корзинах. Разложение по разным корзинам тут ничем не поможет.

Понятно, что в портфель с евро надо включить не британский фунт и не швейцарский франк, а какие-то другие валюты, которые при падении евро не стали бы падать вместе с евро. Нужен какой-то актив, поведение которого не зависит от поведения валюты евро.

Есть много других валют, которые можно попробовать сочетать в одном портфеле с евро. Но сразу же возникают 2 вопроса:

1. А какая из этих валют лучше всего будет сочетаться с евро? То есть, что в первую очередь надо добавить к евро?

2. А если добавить к евро не одну валюту, а несколько, то как они будут сочетаться уже между собой? Не получится ли, например, с долларом США и канадским долларом такая же ситуация, как с евро и британским фунтом?

Если продолжать нашу аналогию с корзинами и яйцами, то получается, что все корзины надо не просто раздать нескольким людям. Нужно, чтобы все эти люди не пошли бы одновременно одной компанией и не поскользнулись бы на одном и том же месте. Чтобы донести максимальное количество яиц, все эти люди должны идти разными дорогами в разное время в разной обуви. Тогда какая-нибудь случайность, плохо повлиявшая на одного человека, не скажется на других людях.

Так вот теория Марковица все эти качественные рассуждения переводит в строгие числа. В результате мы получаем инструмент для оценки того, на сколько хорош наш инвестиционный портфель. Мы можем сравнивать друг с другом разные инвестиционные портфели не по качественным рассуждениям, а по количественным параметрам и выбирать более лучший портфель, сравнивая между собой уже числа.

Инвестиции, это вложение капитала с целью получения прибыли. Инвестиции, это рискованное занятие, так как можно не получить прибыль или даже потерять все средства, направленные на инвестирование.

В инвестициях существуют разного рода риски. Теория Марковица, это не какая-то универсальная теория, которая рассматривает все риски, какие только бывают. В портфельной теории Марковица рассматриваются только риски, связанные с волатильностью доходности инвестиционного актива (см. ранее раздел 1.1.1.). Чем выше волатильность доходности инвестиционного актива, тем выше у него риск получения убытков. И, наоборот, чем ниже волатильность доходности актива, тем инвестиции в этот актив более надежные.

Гарри Марковиц заметил, что если купить не один, а несколько активов, то их риски, понимаемые именно, как волатильность доходности, в общем случае, складываются нелинейно. И результат общего риска зависит от взаимной корреляции доходности этих активов.

Здесь уже не обойтись без небольшого введения в математику.

1.2.1. Количественные показатели

Доходностью в теории Марковица считается возврат на инвестицию:

Допустим, инвестор купил актив стоимостью Pm-1, а вернул себе (например, продал этот актив) стоимость Pm. Значит, инвестор заработал разницу Pm – Pm-1. Эту разницу надо разделить на сумму вложений, то есть на стоимость актива Pm-1, по которой он приобрел этот актив. Эта формула и выражает определение понятия доходности инвестиции (возврата на инвестицию).

Получается, что доходность, это безразмерная величина, которая выражается в виде десятичной дроби. Но часто для удобства доходности выражают в процентах. Для этого безразмерную доходность умножают на 100 % и получают процентную доходность. Например, доходность 0.2, это то же самое, что и доходность 20 %, а доходность 2.3, это доходность 230 %. В этой книге, в основном, используется безразмерная доходность.

Рассмотрим пример. Пусть инвестор положил в банк 1000 рублей на 10 лет под 10 % годовых с ежегодной капитализацией дохода. На рис. 1 показано, как в течение 10 лет меняется величина его вклада по схеме сложных процентов. А на рис. 2 показано, какая была каждый год доходность банковского вклада.

Рис. 1. Рост вложения 1000 руб. на банковском вкладе за 10 лет по схеме сложных процентов.

Рис. 2. Поведение годовой доходности вложения 1000 руб. на банковском вкладе за 10 лет по схеме сложных процентов.

Рассмотрим случай, когда инвестор положил в банк 1000 рублей на 10 лет под 12 % годовых, но с начислением простых процентов на сумму вклада. На рис. 3 показано, как в течение 10 лет меняется величина его вклада по схеме простых процентов. А на рис. 4 показано, какая была каждый год доходность его банковского вклада.

Рис. 3. Рост вложения 1000 руб. на банковском вкладе за 10 лет по схеме простых процентов.

Рис. 4. Поведение годовой доходности вложения 1000 руб. на банковском вкладе за 10 лет по схеме простых процентов.

Пусть на каком-то интервале ежедневные цены закрытия какого-то биржевого актива в торговые дни представляют собой следующий временной ряд из M+1 цен закрытия:

Представим себе ситуацию так, что инвестор каждый раз покупает этот актив по цене закрытия текущего дня, а на следующий день продает его по цене закрытия следующего дня, и тут же снова покупает этот актив по цене закрытия этого следующего дня, чтобы послезавтра снова повторить все эти операции. Если не учитывать всякие расходы на комиссии брокера, то это в точности эквивалентно тому, как если бы инвестор купил бы этот актив по цене P0 и держал бы его все эти M дней, а затем в M-й день продал бы его по цене PM. В этом можно убедиться просуммировав все доходности за каждый торговый день.

Поэтому, для анализа того, как вела себя доходность в эти M торговых дней, мы будем рассматривать временной ряд доходностей длины M для ежедневных доходностей:

Еще раз обратите внимание, хотя мы рассматриваем ежедневные доходности, это не означает, что инвестор ежедневно инвестирует и ежедневно фиксирует прибыли/убытки. Он инвестирует только в начале интервала из M дней, а прибыль/убыток фиксирует через M дней. При этом инвестор в конце интервала получает доходность равную сумме ежедневных доходностей, хотя никакой торговли ежедневно он не вел.

Понятно, что вместо дневных цен закрытия мы можем взять какой-нибудь другой временной ряд, например, временной ряд вычисленный по часовым ценам закрытия, или по недельным ценам закрытия. Но для анализа поведения биржевых активов на дистанции от одного квартала до 20 лет чаще всего используют временные ряды доходности, вычисленные именно по дневным ценам.

Недельные и месячные цены закрытия чаще используют, когда хотят проанализировать поведение активов за много десятилетий. А часовые цены закрытия чаще используют для анализа поведения активов за несколько недель или дней.

Но это не наши случаи. Данная книга предназначена для инвесторов, которые занимаются портфельными биржевыми инвестициями с горизонтом примерно 5–20 лет. Поэтому везде далее, по умолчанию, будем считать, что рассматриваются временные ряды дневных цен закрытия и соответствующие им временные ряды дневных доходностей.

Мерой рискованности вложения в актив в теории Марковица является стандартное отклонение доходности от средней доходности за период владения. То есть величина риска S, это квадратный корень из дисперсии D доходности за период владения (см. Приложение П.4):

Здесь , это средняя доходность за период владения активом (см. Приложение П.2.3):

Обратите внимание, что существуют доходности в каждый конкретный день, и эти доходности могут не совпадать со средней доходностью за весь рассматриваемый интервал. В то время, как риск вычисляется только на интервале в несколько торговых дней (минимум 2 дня). Значит, риск уже сам по себе является средним на заданном интервале.

Но мы не будем здесь в формулах вместо буквы S обозначать риск в угловых скобках , так как у нас нет понятия риска за один торговый день. И соответственно в данной книге не применяются обозначения, типа Sm, в качестве риска в m-й день.

Это не означает, что не существует риска Sm в пределах одного торгового дня. Но такой риск не вычисляется по дневным ценам закрытия. Его можно вычислить, например, по часовым ценам закрытия внутри торгового дня. Но, как уже было сказано выше, мы минимальной единицей времени в этой книге считаем торговый день.

Чтобы у читателя сложилась правильная интуиция по теории Марковица, посмотрим очень простые синтетические примеры. Начнем с портфеля, который содержит только 2 актива.

1.2.2. Пример с двумя активами

Допустим, есть какие-то 2 актива, назовем их A и B, у которых вычислили средние доходности и риски на каком-то интервале времени.

A: Более доходный с доходностью A = 0.2045, но и более рискованный с риском SA = 0.083.

B: Менее доходный с доходностью B = 0.0144, но и менее рискованный с риском SB = 0.061.

На графике «Риск-Доходность» эти активы на рис. 5 изображены крупными синими точками. По горизонтальной оси графика отложены риски S, а по вертикальной оси средние доходности .

Рис. 5. График "Риск-Доходность для двух активов.

Оба актива на рассматриваемом интервале времени имеют свои временные ряды ежедневных доходностей:

Здесь M, это количество торговых дней, за которые анализируется поведение этих двух активов, то есть M торговых дней, это тот интервал, за который вычислены доходности и риски активов A и B.

А портфель из этих двух активов, в свою очередь, сам тоже имеет свой ряд доходностей в эти же самые M дней:

А значит, портфель, состоящий из этих активов, имеет свою среднюю доходность и свой риск на этом же интервале M дней. И мы можем на графике «Риск-Доходность» нарисовать точку, которая соответствует этому портфелю. Положение этой точки зависит от того, как инвестор распределил свои средства по активам A и B.

Если инвестор распределил свой начальный капитал по активам A и B так, что на долю своих средств WA он купил актив A, а на долю WB купил актив B, то этой покупкой инвестор зафиксировал количество активов A и B в своем портфеле. Так как цены этих активов могут изменяться, то в портфеле могут изменяться и доли финансов инвестора между активами A и B. Но количество купленных активов и их соотношение не меняются, так как инвестор ничего не продает из портфеля и ничего не докупает в свой портфель в течение M дней.

Так как доходность, это относительная величина и она не зависит от количества купленных активов, то доходность портфеля в m-й день линейно зависит от доходностей двух активов в m-й день с коэффициентами пропорциональности равными долям начального распределения средств инвестора по активам:

Подставив, это выражение в две последние формулы предыдущего раздела, получаем:

Здесь CAA, CBB и CAB, это элементы матрицы ковариаций доходностей (см. Приложение П.5.2) активов A и B.

Как уже говорилось выше, WA, это доля финансов, которая пошла на покупку актива A, а WB, это доля средств, которая была вложена в актив B. Эти доли принято называть весовыми коэффициентами или просто весами активов.

Все эти веса могут меняться только в пределах от 0 до 1:

Это правило выполняется не только, когда в портфеле всего 2 актива, но и когда в портфеле любое количество активов. Если вес какого-то актива равен нулю, то это означает, что в рассматриваемом портфеле данный актив отсутствует.

В теории отрицательные веса соответствуют шортовым продажам. В данной книге такие ситуации не рассматривается, так как книга посвящена не трейдингу, а инвестированию.

Сумма всех весов обязательно всегда должна быть равна единице:

Последнее условие называется условием нормировки на единицу.

Если вес какого-то актива равен 1, значит, веса всех других активов должны быть равны 0. То есть портфель состоит только из одного актива, а все другие рассматриваемые активы в нет отсутствуют.

По диагоналям ковариационной матрицы С всегда стоят дисперсии активов. Стандартные отклонения (риски) активов, это, как раз, корни квадратные из дисперсий. Значит, формулу риска для портфеля с двумя активами можно переписать так:

Связь коэффициента корреляции CorrAB со взаимной ковариацией CAB следующая (см. Приложение П.5.3):

Поэтому формулу для риска портфеля из двух активов, в общем случае, можно еще переписать так:

Посмотрим, какой будет риск портфеля с этими активами в зависимости от того, как коррелируют между собой доходности этих активов.