Заключение
На этом наш первый урок завершен. Рекомендуем ознакомиться с дополнительными материалы, которые можно скачать по ссылке https://gitverse.ru/dmitrypavlov74/DMBook. В папке L1 вы найдете два проекта: первый Chart2D посвящен построению графиков, второй Interpolation2D – интерполяционным методам.
Урок 2. 3D моделирование
Цифровые модели в пространстве
Введение
Создание компьютерных игр и CAD-систем невозможно без глубокого понимания того, как устроены трехмерные цифровые модели, как они создаются, трансформируются и освещаются. Все это (создание, трансформирование и освещение трехмерных объектов) мы подробно разберем в этом уроке. Также мы научимся строить поверхности, накладывать текстуры на объекты, рисовать тени и моделировать туман.
3D-моделирование
Цифровое 3D-моделирование – это процесс создания трехмерного представления объекта путем манипулирования ребрами и вершинами в моделируемом трехмерном пространстве. Вы наверняка видели результаты трехмерного моделирования в фильмах, анимациях и видеоиграх, которые наполнены фантастическими существами и структурами.
3D-моделирование используется в самых разных областях, включая инженерию, архитектуру, развлечения, кино, спецэффекты, разработку игр и коммерческую рекламу.
Сама тема 3D-моделирования необычайно интересна и очень востребована в современном мире. В IT-индустрии существует даже профессия 3D-дизайнера (например, 2D-дизайнеров не существует). Справедливости ради нужно отметить, что к разработчику 3D-систем предъявляются повышенные требования в области математики. Наш второй урок направлен как раз на то, чтобы читатель научился понимать основные этапы, связанные с работой в 3D-моделировании. Хочется сразу успокоить читателя: в математическом аппарате, необходимом для работы с 3D-моделями, нет ничего сложного, хотя знаний здесь понадобится больше, чем при построении графиков.
Преобразование точек в трехмерном пространстве
Поскольку трехмерные модели так или иначе задаются набором точек, чтобы изменять положение и размер объекта в пространстве, достаточно уметь изменять положение точки. Мы рассмотрим следующую группу преобразований: поворот, масштабирование и параллельный перенос. Именно к этим трем действиям и сводится трансформация трехмерной модели. Существует унифицированный подход к этим преобразованиям, а именно все эти операции можно свести к умножению матрицы на вектор. Для преобразования точек в трехмерном пространстве используются матрицы порядка 4x4.
рис. 2.1
Вращение
Далее для каждого преобразования укажем матрицу, которая ему соответствует. Сначала рассмотрим матрицы, которые соответствуют вращению.
Поворот вокруг оси Х:
Поворот вокруг оси Y:
Поворот вокруг оси Z:
? – угол поворота, заданный в радианах. Поворот осуществляется против часовой стрелки, если смотреть навстречу оси.
Мы рассмотрели матрицы поворота точки вокруг координатных осей. Также на практике может потребоваться повернуть точку вокруг произвольной оси. Пусть ось вращения задана единичным вектором v (x, y, z). Тогда матрица поворота вокруг этого вектора имеет вид:
Масштабирование
Матрица масштабирования (изменения размеров объекта с сохранением подобия) имеет вид:
Где с – это коэффициент масштабирования. Если коэффициент с> 1, то точка удаляется от начала координат, если 0 <с <1, то приближается. Если же с <0, то происходит зеркальное отражение точки относительно начала координат. С помощью масштабирования можно управлять размером модели, увеличивая или уменьшая его.
Параллельный перенос
Матрица, соответствующая параллельному переносу точки на вектор с координатами (a, b, c), имеет вид:
Для вращения и масштабирования можно было бы использовать матрицы порядка 3x3, но параллельный перенос уже не может быть описан как матричное преобразование в пространстве этой размерности – для этого требуются матрицы размерности на единицу больше. Использование матриц 4x4, прежде всего, дает нам возможность унифицировать подход к преобразованиям в пространстве – все трансформации модели всегда сводятся к умножению матрицы на вектор. Сами по себе матричные преобразования просты и во многих прикладных библиотеках хорошо оптимизированы. Чтобы иметь возможность умножать матрицу 4x4 на трехмерный вектор, к вектору добавляют формальную четвертую координату w, равную 1: (x, y, z) -> (x, y, z, 1).
Поскольку наши рассуждения привязаны к конкретному языку программирования, то отметим, что в среде NET уже реализован необходимый функционал для работы с объектами в трехмерном пространстве. В частности, пространство имен System.Numerics содержит матрицы и векторы различных размерностей, а также разнообразные методы для работы с ними. Листинг ниже демонстрирует поворот точки с координатами (1, 0, 2) на угол в 90 градусов. В результате мы получаем точку с координатами (1, -2, 0).
Перспективные преобразования
Перспективные преобразования обеспечивают отображение пространственных моделей на какой-либо поверхности в соответствии с теми, кажущимися сокращениями их размеров, изменениями очертаний и форм, которые наблюдаются в природе. Использование перспективных преобразований делает отображение моделей на экране более реалистичным. Близкие объекты кажутся большими, а далекие маленькими, дорога сужается к горизонту и т. п (рис. 2.2).
рис. 2.2
Смысл перспективных преобразований представлен на рисунках ниже. Пусть нам необходимо отобразить на экране треугольник ABC. Если проекция не используется (рис. 2.3), то берутся обычные ортогональные проекции точек этого треугольника на плоскость проектирования (как правило, это плоскость Z=0),
рис. 2.3
При использовании проекции (рис. 2.4), образ точки на плоскость проектирования получается как точка пересечения луча, выходящего из центра проекции, проходящего через исходную точку и плоскости проекции.
рис. 2.4
Если мы отображаем точку (x, y, z) без использования проективных преобразований, то, по сути, мы просто игнорируем третью координату. При использовании перспективы координата z будет влиять на координаты x и y.
Существует несколько типов проекций. Рассмотрим одноточечную проекцию как пример наиболее простого перспективного преобразования. Нашей задачей будет вычислить новые координаты точки для отображения с учетом перспективы. Для примера рассмотрим плоскость XOZ и вычислим координату X с учетом перспективного преобразования.
рис. 2.5
Воспользовавшись подобием треугольников (Z
, Pr
, 0) и (Z
, P, P
) и выразив значение для Pr
получаем:
Аналогичные рассуждения можно провести и в плоскости YOZ. Таким образом, если центр проекции находится в точке (0, 0, -Zc), то новые координаты точки с учетом перспективного преобразования можно вычислить по формуле ниже.
x’, y’ – координаты точки с учетом перспективы; x, y, z – исходные координаты точки.
При одноточечной проекции учитывается только Z-координата. При удалении точки по оси Z от центра проекции его координаты по X и Y будут стремиться к нулю.
Перспективные преобразования, в отличии от, например, вращения и масштабирования, являются мнимыми, они не влияют на форму и положение предметов, а являются лишь кажущимися. Это означает, например, что если к 3D-модели перед отображением были применены перспективные преобразования, то после отображения они должны быть отменены.
Посмотрите, как выглядит цифровая модель куба в приложении Advanced3DModels (см. дополнительные материалы) с применением одноточечной проекции:
рис. 2.6
Полигональные модели
