Методика преподавания математики в начальной школе

Умозаключения

I. Умозаключения.

1. Понятие «умозаключения».

2. Виды умозаключений:

а) дедуктивное,

б) неполная индукция,

в) аналогия.

II. Схемы дедуктивных умозаключений.

III. Способы математического доказательства.

1. Понятие доказательства.

2. Основные законы построения дедуктивных умозаключений.

3. Виды доказательств:

а) прямое,

б) косвенное,

в) полная индукция.

В математике знания чаще получают в процессе рассуждений. Для того, чтобы знание было истинным, рассуждение должно строится в соответствии с правилами, лежащими в основе логики. Считают, что рассуждения используют при доказательствах. Для обучения учащихся учитель должен владеть глубокими знаниями построения верных рассуждений, о структуре и способах доказательств.

В логике понятие рассуждения заменяется словом «умозаключение».

Умозаключение – это форма мышления, посредством которой из одного или нескольких высказываний, называемых посылками, выводится высказывание, содержащее новое знание, называемое заключением.

Рассмотрим образцы умозаключений, используемых в начальном курсе математики:

1) При выполнении устных вычислительных приемов с числами учащиеся применяют различные математические понятия, в том числе и понятия, связанные с десятичной системой счисления, которой мы пользуемся в современной математике. Например, в случае 42 + 6 учащиеся должны владеть разрядным составом двузначного числа. Объясняя способ вычисления, дети говорят: «Число 42 – двузначное. Все двузначные числа можно представить в виде суммы двух разрядных слагаемых – десятков и единиц. Следовательно, 42 = 40 + 2».

Это умозаключение состоит из трех предложений. Первое и второе предложение – посылки:

1-ое предложение – частная посылка, она дает характеристику числу 42;

2-ое предложение – посылка общего характера, которая указывает на особенность двузначных чисел – состоят из двух разрядов (десятков, единиц).

3-е предложение является заключением, оно формулируется после слова «следовательно», и также носит частный характер, т.к. в нем идет речь о конкретном числе – 42.

2) При ознакомлении учащихся с переместительным (коммутативным) свойством умножения создается проблемная ситуация, в процессе разрешения которой учащиеся самостоятельно формулируют свойство:

На сколько квадратов разделен каждый прямоугольник? Посчитай разными способами. Объясни свои действия.

Учащиеся с помощью системы вопросов учителя предлагают по два способа вычисления к каждому из рисунков:

             4 × 3 = 3 × 4             9 × 3 = 3 × 9.

Затем учащиеся делают вывод: для всех натуральных чисел верно равенство

а × в = в × а.

В данном умозаключении посылками являются два равенства. В них утверждается, что для конкретных натуральных чисел выполняется переместительное свойство. Заключением же в этом случае является утверждение общего характера – от перестановки множителей значение произведения не изменяется.

3) При ознакомлении младших школьников со случаями деления на однозначное число, дети должны уяснить, что деление связано с умножением. А следовательно, чтобы найти значение выражения, например 56 : 7, нужно знать табличные случаи умножения числа 7. На какое число нужно умножить 7, чтобы получить 56 – делимое:

«Мы знаем, что 7 × 8 = 56. Если произведение разделить на один из множителей, получится другой множитель. Следовательно, 56 : 7 = 8».

Таким же образом, учащиеся рассуждают, находя результат в случаях 27 : 9, 36 : 6 и т.д.

Рассмотрев эти случаи, мы видим, что умозаключения бывают разными. В логике рассмотренные нами называют дедуктивными.

Дедуктивными называют умозаключения, в которых посылки и заключения находятся в отношении логического следования.

Посылки дедуктивного следования обозначают так – А1 , А2 , …, Аn , а заключение буквой В. Схематично само умозаключение можно представить так: А1, А2, …, Аn => В. Часто используют и такую запись:

А1 , А2 , …, Аn .

В

В ней черта обозначает слово «следовательно».

В дедуктивном умозаключении при истинности посылок, истинно и заключение.

Во втором случае рассматриваются две посылки частного характера, показывающие, что некоторые натуральные числа обладают переместительным свойством при выполнении умножения. На этой основе сделан вывод, что этим свойством обладают все натуральные числа. Такие умозаключения – неполная индукция.

Неполная индукция – умозаключение, в котором на основании того, что некоторые объекты класса обладают определенным свойством, делают вывод, что этим свойством обладают все объекты данного класса.

Неполная индукция не является дедуктивным умозаключением.

Рассмотрим как образец пары выражений:

3 + 5 и 3 × 5; 2 + 7 и 2 × 7; 4 + 8 и 4 × 8. Можно с уверенностью утверждать, что сумма этих чисел меньше произведения. На основании этого можно сделать вывод, что этим свойством обладают все натуральные числа:

(Ұ а,в Є N)[а + в < а × в].

Но это утверждение ложно, т.к. можно привести контрпример: числа 1 и 2 – натуральные, но их сумма больше, чем произведение 1 + 2 < 1 × 2. Значит, к выводам, полученным с помощью неполной индукции, важно относится осторожно. Они носят характер предположения (гипотезы) и нуждаются в проверке. Их доказывают или опровергают.

Таким образом, неполная индукция и дедуктивные умозаключения взаимосвязаны. Все математические утверждения (теоремы, аксиомы, определения, правила), используемые в дедуктивных умозаключениях, часто являются результатом индуктивного обобщения. А индуктивного умозаключения расширяют математические знания.

В третьем случае используется аналогия (греч. – «сходство, соответствие»).

Аналогия – умозаключение, в котором на основании сходства объектов по некоторым признакам и при наличии другого признака у одного из них, делается вывод о наличии этого признака у другого объекта.

Термином «объект» называются реальные предметы, модели, рисунки, числовые и буквенные выражения, задачи. Аналогия помогает открывать новые и использовать усвоенные способы действия в измененных условиях. Выводы по аналогии также требуют доказательства или опровержения, т.к. носят характер предположения.

Например, при изучении понятия о десятичной системе счисления, учащиеся изучают названия классов и разрядов. Изучая класс единиц, дети знакомятся с разрядами единиц, десятков, сотен, в классе тысяч – единицами тысяч, десятками тысяч, сотнями тысяч. По аналогии они уже могут назвать разряды классов миллионов и миллиардов.

Знакомясь с дистрибутивным свойством умножения, учащиеся используют его при выполнении умножения двузначных чисел:

23 × 4 = (20 + 3) × 4 = 20 × 4 + 3 × 4 = 80 + 12 = 92

По аналогии они выполняют умножение трехзначных чисел:

123 × 4 = (100 + 20 + 3) × 4 = 100 × 4 + 20 × 4 + 3 × 4 = 400 + 80 + 12 = 492

По аналогии они выполняют умножение четырехзначных чисел:

5123 × 4 = ……………..

А далее делается обобщение: выводится алгоритм умножения многозначного числа на однозначное – неполная индукция.

Практическая работа

Выделите в перечисленных умозаключениях посылки и заключения.

а) Если запись числа оканчивается нулем, то оно кратно 10. Число 260 оканчивается нулем. Следовательно, число 260 кратно 10.

б) Если запись числа оканчивается нулем, то оно кратно 10. Если число кратно 10, то оно четное. Следовательно, если запись числа оканчивается 0, то оно четное.

в) Если запись числа оканчивается нулем, то оно кратно 10. Число 263 не кратно 10. Следовательно, оно не оканчивается нулем.

II.      Согласно определению, в дедуктивном умозаключении посылки и заключение находятся в отношении логического следования. Это означает, что в нем всегда из истинных посылок следует истинное заключение.

Важно знать, как строить такие умозаключения и проверять их правильность.

В логике считают, что правильность умозаключения определяется его формой и не зависит от его конкретного содержания входящих в него утверждений. Математика предлагает такие правила, соблюдая которые можно строить дедуктивные умозаключения. Эти правила называются правилами вывода или схемами дедуктивных умозаключений:

1. А(х) => В(х), А(а) – правило заключения;

В(а)

2. А(х) => В(х), В(а) – правило отрицания;

      А(а)

3. А(х) => В(х), В(х) => С(х) – правило силлогизма.

А(х) => В(х)

В правиле заключения обозначены две посылки: А(х) => В(х) и А(а). Первую называют общей (это может быть определение, правило, теорема), а вторую – частной (она получается из условия А(х) при х = а).

Например:

Если запись числа х оканчивается цифрой 5, то число х делится на 5. Запись числа 135 оканчивается цифрой 5. Следовательно, число 135 делится на 5.

Данное умозаключение можно записать так – А(х) => В(х), А(а), где

А(х) – общая посылка – «запись числа х оканчивается цифрой 5», а

В(х) – «число х делится на 5»;

А(а) – частная посылка – «число 135 оканчивается цифрой 5», при х = 135;

В(а) – заключение – «число 135 делится на 5».

Для правила отрицания приведем такой пример:

Если запись числа х оканчивается цифрой 5, то число х делится на 5. Число 137 не делится на 5. Следовательно, оно не заканчивается цифрой 5.

      Это умозаключение можно записать так – А(х) => В(х), В(а), где:

А(х) => В(х) – общая посылка такая же, как и в первом случае – «запись числа х оканчивается цифрой 5, то число х делится на 5»;

В(а) – частная посылка – отрицание – «число 137 не делится на 5», при х = 137;

А(а) – заключение – отрицание – «число 137 не оканчивается цифрой 5».

К правилу силлогизма приведем такой пример:

Если число х кратно 12, то оно кратно 6. Если х кратно 6, то оно кратно 3. Следовательно, если число х кратно 12, то оно кратно 3.

В этом умозаключении две посылки вида «если А(х), то В(х)» и «если В(х), то С(х)», где

А(х) – «х кратно 12»,

В(х) – «х кратно 6»,

С(х) – «х кратно 3».

Заключение представляет собой «если А(х), то С(х)».

Выполняя рассуждения по этим правилам, мы всегда будем получать истинные заключения, что и требуется в дедуктивном заключении.

В логике существуют различные способы проверки истинности заключений, но часто используются круги Эйлера.

Задача.

«Если запись числа оканчивается цифрой 5, то число делится на 5. Число125 делится на 5. Следовательно, запись числа оканчивается на 5».

Правильно ли это заключение?

Данное умозаключение выполнено по схеме А(х) => В(х), В(125)

А(125)

В общем виде ее можно представить так: А(х) => В(х), В(а)

А(а)

Такой схемы из тех, которые нами рассмотрены, нет. Для определения, является ли это умозаключение дедуктивным, воспользуемся кругами Эйлера. На теоретико-множественном языке запишем правило так

ТА c ТВ, а Є ТА

а Є ТВ

Тв

. а

      тТтттТ

Та

ТА – множество чисел, оканчивающихся на 5;

ТВ – множество чисел, делящихся на 5;

а = 125.

Мы изобразили на кругах Эйлера множества истинности ТА, ТВ и элемент а, который принадлежит множеству ТА. Но он может содержаться и в множестве ТВ, а может ему и не принадлежать. Значит, эта схема не гарантирует истинность умозаключения, т.к. оно не может быть дедуктивным. Данное умозаключение не является истинным, т.к. не выполнено по схеме.

Важно отметить, что

1) выполняя умозаключение, можно менять очередность посылок и начинать с заключения, а потом воспроизводить посылки;

2) если общие посылки рассмотренных в правилах дедуктивных умозаключений содержат более одной переменной, то это не нарушает их смысл.

Практическая работа

1. Определите логическую структуру умозаключений.

а) Во всяком прямоугольнике противоположные стороны равны. Четырехугольник АВСD – прямоугольник. Следовательно, его противоположные стороны равны.

б) Все прямоугольники являются параллелограммами. Во всех параллелограммах противоположные стороны равны. Следовательно, в любом прямоугольнике противоположные стороны равны.

в) Все числа кратные 2, являются четными. Число 17 не является четным. Следовательно, оно не делится на 2.

г) Равные треугольники имеют равные площади. Треугольники АВС и МНР имеют равные площади. Следовательно, они равны.

2. Закончите умозаключения так, чтобы они были дедуктивными.

а) Все квадраты – прямоугольники. Все прямоугольники – многоугольники. Следовательно, … .

б) В любом прямоугольнике сумма внутренних углов равна 360̊ . Четырехугольник АВСD – … .

III. Обычно, в математике, когда говорят о доказательстве, имеют в виду проверку высказанного утверждения.

Доказать какое-либо утверждение – это значит показать, что это утверждение логически следует из системы истинных и связанных с ним утверждений.

В логике считают, что если рассматриваемое утверждение логически следует из уже доказанных утверждений, то оно обоснованно и также истинно, как и они. Т.е. основным способом доказательства является дедуктивный вывод.

Доказательство – это логическая операция, в процессе которой обосновывается истинность какого-либо утверждения с помощью других истинных и связанных с ним утверждений. Для этого строится конечная цепочка умозаключений, причем заключение каждого из них (кроме последнего) является посылкой в одном из последующих умозаключений.

Доказательство в виде цепочки умозаключений выполняется в соответствии с правилами вывода и указанием всех посылок, оно не предназначено для постоянного использования на практике, где чаще пользуются свернутыми схемами умозаключений.

Применяются не только правила построения дедуктивных умозаключений, но и четыре основных закона логики:

1. Закон тождества.

Каждая мысль, повторяемая в рассуждении, должна быть тождественна самой себе. Это означает, что в процессе рассуждения нельзя подменять одну мысль другой, а одно понятие другим. Нельзя тождественные мысли выдавать за различные, а различные за тождественные.

2.Закон непротиворечия.

Высказывание и его отрицание не могут быть одновременно истинными, одно из них всегда ложно.

Если в в мышлении или речи человека обнаружено логическое противоречие, то такое мышление считается неправильным, а суждение вытекающее из него – ложным.

3. Закон исключенного третьего.

Из двух противоречивых высказываний об одном и том же предмете, одно – истинно, другое – ложное, третьего быть не может.

Этот закон требует выбора одной из взаимоисключающих альтернатив.

4. Закон достаточного основания.

Всякое истинное утверждение должно быть обосновано с помощью других утверждений, истинность которых уже доказана.

Т.е. истинность утверждения нельзя принимать на веру. В качестве аргументов для доказательств используются определения понятий, доказанные теоремы и правила.

Следовательно, при доказательстве необходимо

1) иметь то утверждение, истинность которого нужно доказывать;

2) понимать, что доказательство- это цепочка дедуктивных умозаключений, выполняемых по правилам и законам логики;

3) понимать, какие истинные утверждения можно использовать в процессе доказательства.

Доказательства существуют трех видов:

1) прямое,

2) косвенное,

3) полная индукция.

Прямое доказательство – это построение цепочки дедуктивных умозаключений, выполняемых последовательно от А => В с соблюдением правил и законов логики, истинность которых доказана.

В доказательстве об утверждении, что четырехугольник, у которого три углы прямые, то это прямоугольник, является прямым, т.к. основываясь на истинном предложении с учетом теоремы, строится цепочка дедуктивных утверждений, приводящая к истинному заключению.

Косвенное доказательство – доказательство методом от противного. При доказательстве теоремы – А => В, допускают, что заключение В – ложно, а отрицание истинно. Предложение В (не В) присоединяется к совокупности истинных посылок, и строится умозаключение до тех пор, пока не получится противоречивое утверждение для А. Устанавливают противоречие, на основании закона о непротиворечии, и делают вывод, что предположение было ложным. Значит, на основании закона исключения третьего истинно В, т.е. то, что и требовалось доказать.

Полная индукция – метод доказательства, при котором истинность утверждения следует из истинности его во всех частных случаях.

Способы определения понятий в начальном курсе математики

План:

I. Понятия, изучаемые в курсе начальной математики.

II. Объем и содержание понятия.

III. Отношения между понятиями.

IV. Определение понятий.

1. Понятие определения.

2. Виды определений.

3. Определение через род и видовое отличие.

I. Понятия, изучаемые в курсе начальной математики.

Понятия, которые изучаются в начальном курсе математики, разбивают на четыре группы:

1) арифметические понятия, связанные с числами и операциями над ними (число, цифра, сложение, слагаемое и др.);

2) алгебраические понятия (выражения, равенства, неравенства, уравнение и др.);

3) геометрические понятия (прямая, отрезок, треугольник и др.);

4) понятия, связанные с величинами и их измерением.

В логике понятие рассматривают как форму мышления, отражающую объекты (предметы или явления) в их существенных и общих свойствах. Языковой формой понятия является слово или группа слов.

Понятия не существуют в объективном мире. Они возникают в сознании человека и заменяют предметы и явления этого мира, являясь их идеальными образами.

Иметь понятие об объекте – это значит уметь выделить его существенные признаки и отличить от всех других объектов. Математические понятия, как и другие, существуют лишь в мышлении человека, отражены в математическом языке (математических знаках и символах).

Учитель должен владеть объемом и содержанием понятий, об отношениях между ними и об операциях с ними.

II. Объем и содержание понятия

Всякий математический объект обладает определенными свойствами, среди которых выделяют существенные и несущественные.

Свойства называются существенными, если без них объект существовать не может, т.е. они ему присущи.

Ярко это можно продемонстрировать на геометрических понятиях. Любой прямоугольник имеет четыре стороны, четыре угла, равные диагонали. Но без третьего свойства он существовать не может: все четыре угла – прямые. А квадрат имеет четыре прямых угла, равные диагонали, четыре стороны. Существенное свойство – все стороны равны.

Следовательно, когда говорят о математическом понятии, то подразумевают множество объектов, называемых одним словом или группой слов (термином). Если говорят о прямоугольниках, то это все те фигуры, у которых все четыре угла прямые, а квадраты – это прямоугольники, у которых все стороны равны.

Считается, что множество всех квадратов составляет объем понятия «квадрат».

Объем понятия – это множество всех объектов, которые обобщаются в понятии и обозначаются одним термином.

Любое понятие имеет содержание.

Содержание понятия – это множество всех существенных свойств объекта, отраженных в этом понятии.

Объем понятия прямоугольник – это множество различных прямоугольников, а в его содержание входят такие свойства прямоугольника:

– «иметь четыре стороны»,

– «иметь четыре прямых угла»,

– «иметь равные противоположные стороны»,

– «иметь равные диагонали».

III. Отношения между понятиями

Между объемом понятия и его содержанием существует взаимосвязь: если увеличивается объем понятия, то уменьшается его содержание, и наоборот, с уменьшением объема понятия – увеличивается его содержание.

Например, объем понятия «квадрат» является частью объема понятия «прямоугольник», а в содержании, понятия «квадрат» содержится больше свойств, чем в содержании понятия «прямоугольник» («все стороны равны», «диагонали взаимно перпендикулярны», «диагонали равны» и другие).

Любое понятие нельзя усвоить, не осознавая его взаимосвязи с другими понятиями. Поэтому важно знать, в каких отношениях могут находиться эти понятия, и уметь устанавливать эти связи.

Понятия обозначают строчными буквами латинского алфавита: а, b, c, d, …, z. Поэтому, если заданы два понятия а и b, то объемы этих понятий обозначают соответственно А и В.

Они могут находится в различных отношениях.

Если А c В (А ≠ В), то говорят, что понятие а – видовое по отношению к понятию b, а понятие b – родовое по отношению к понятию а.

Например: если а – это «прямоугольник», b – это «четырехугольник», то их объемы А и В находятся в отношении включения (А c В и А ≠ В ), т.к. каждый прямоугольник является четырехугольником. Поэтому можно утверждать, что понятие «прямоугольник» – видовое по отношению к понятию «четырехугольник», а понятие «четырехугольник» – родовое по отношению к понятию «прямоугольник».

Если А = В, то говорят, что понятия а и b тождественны.

1) Понятия рода и вида относительны: одно и то же понятие может быть родовым по отношению к одним понятиям и видовым по отношению к другим. Например: понятие «прямоугольник» – родовое по отношению к понятию «квадрат» и видовым по отношению к понятию «четырехугольник».

2) Для понятия прямоугольник существует несколько родовых понятий – «четырехугольник», «параллелограмм», «многоугольник». Среди них можно указать ближайшее – параллелограмм».

3) Видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия. Квадрат являясь видовым понятием по отношению к понятию «прямоугольник», обладает всеми свойствами, присущими прямоугольнику.

Отношения между понятиями, изображая объемы, можно показать с помощью кругов Эйлера.

Например:

а) а – «прямоугольник», b – «ромб»: объемы пересекаются, но ни одно множество не является подмножеством другого, следовательно понятия «прямоугольник» и «ромб» не находятся в отношении рода и вида.

      А             В

б) а – «многоугольник», b – «параллелограмм»: объемы данных понятий находятся в отношении включения, но не совпадают – всякий параллелограмм является многоугольником, но не наоборот. Следовательно, понятие «параллелограмм» – видовое по отношению к понятию «многоугольник», а понятие «многоугольник» – родовое по отношению к понятию «параллелограмм».

А

В

в) а – «прямая», b – «отрезок»: объемы понятий не пересекаются, т.к. ни про один отрезок нельзя сказать, что он является прямой, и ни одна прямая не может быть названа отрезком. Следовательно, данные понятия не находятся в отношении рода и вида (отрезок – часть прямой, т.е. наблюдается отношение целого и части).

А       В

IV. Определение понятий

1. Понятие определения.

Определение понятий – это логическая операция, с помощью которой раскрывается содержание понятия, либо устанавливается значение термина.