Домино
Осознанное мышление начинается тогда, когда перед человеком встает вопрос, на который необходимо найти ответ. Сложный и многогранный процесс мышления можно разбить на ряд более простых операций. Самые главные из них: сравнение, анализ, синтез, абстрагирование, конкретизация, обобщение, классификация. Рассмотрим по порядку каждую из перечисленных мыслительных операций. Вполне наглядно их можно выделить, продолжив наше знакомство с домино.
Сравнение. В детском домино с картинками ребенок сравнивает нарисованные образы, учится оперировать понятиями «разное» и «одинаковое». Играя в стандартное домино с очками, мы постоянно сравниваем очки на имеющихся у нас косточках, с очками на концах выложенной цепи. Если есть две кости, которые можно выложить в данный момент игры, выбираем лучший вариант, сравнивая суммы очков на них. Выполняя ранее приведенные упражнения, приходилось постоянно сравнивать очки на отдельных косточках, суммы очков в группах по четыре, по семь косточек, используя сравнительные понятия «равно», «больше», «меньше».
Анализ – это мысленное расчленение целого на составные части. Игра домино состоит из 28 косточек, каждая из которых представляет собой прямоугольник, разделенный на два квадрата. На половинках кости проставлены точками очки: от нуля до шести во всех различных взаимных комбинациях. Каждое значение очков встречается восемь раз. Из всех косточек особо следует выделить дубли, те кости, на обеих половинках которых стоит одно и то же число очков. Дублей в комплекте 7 штук. Приведенные рассуждения демонстрируют анализ комплекта для игры, расчленение его на отдельные кости, выделение особенностей. Решая второе упражнение, мы проводили именно такой анализ: мысленно разбивая цепь на отдельные кости, искали закономерность в распределении очков на концах цепи. Анализ – операция неисчерпаемая, углубляясь в детали, человек познает что-то новое. Если бы не третье упражнение, разве знали бы вы, что общее число очков в комплекте домино совпадает с числом часов в неделе и с числом месяцев, содержащихся в 14 годах. Стоило задержаться на этой задаче подольше, и вскрылись бы какие-то новые, скорее всего интересные, факты и особенности.
Синтез – операция противоположная анализу, это соединение частей в целое. Синтез и анализ – взаимосвязанные операции. Невозможно заниматься одной из них, не занимаясь другой. Упражнения, в которых требовалось выложить целую цепь, а потом разделить ее на части с равной суммой очков, тому наглядное подтверждение.
Абстрагирование более сложная операция, означающая мысленное отделение какого-либо признака, свойства от самого предмета. Основная идея игры домино – построение цепи из отдельных косточек, прикладывая их друг к другу одинаковыми значениями очков. Отделим эту идею от конкретного предмета – прямоугольной кости домино. Почему бы ни сделать кость в виде равностороннего треугольника, разделенного на три части, или квадрата, разделенного на четыре части, или шестиугольника, разделенного на шесть частей. Получатся совершенно новые игры. Можно абстрагироваться от числа очков на каждой части фигуры и заменить их, например, разноцветной окраской.
В этих новых играх будет выкладываться не цепь, а какая-то плоская фигура, но идея прикладывания косточек друг к другу одинаковыми частями сохранится. Интересно провести расчеты количества косточек в таких играх в зависимости от формы кости и количества цветов окраски. К примеру, игра «цветные квадраты» с тремя цветами окраски будет состоять из 24 различных квадратов. Абстрагирование выводит на создание новых объектов или использование уже известного в нестандартной форме, нестандартной ситуации. Это творческая мыслительная операция.
Обобщение – это выделение общего признака у большого количества предметов и сведение их в общую группу. Кости домино с одинаковым количеством очков на обеих половинках объединены понятием «дубли». У всех цепочек, выложенных из полного комплекта домино, есть общее свойство: на концах цепи стоят половинки с одинаковым количеством очков. Это примеры обобщений. В дальнейшем мы специально рассмотрим различные обобщения и расширения игры домино, основанные на выходе из привычных рамок в плоскость или в пространство.
Операция противоположная абстрагированию и обобщению называется конкретизация. При ее выполнении какой-то абстрактный признак соотносят с конкретным предметом. Математическое понятие обыкновенной дроби можно отнести к косточкам домино, рассматривая их как дробь, в которой одна половинка – это числитель, а другая – знаменатель дроби, а между ними дробная черта. Такая конкретизация позволяет придумать много интересных арифметических примеров с косточками домино
Классификация – это распределение объектов изучения по нескольким группам в соответствии с каким-либо признаком. Различают классификацию естественную, в основе которой лежат существенные признаки объектов. Примером естественной классификации может служить Периодическая система химических элементов. Другая разновидность классификации – искусственная классификация, проводимая на основе несущественных, косвенных признаков. Например, распределение объектов по алфавиту, по возрастанию номеров. Классификацию часто называют систематизацией, то есть наведением определенного порядка в некотором множестве элементов на основе каких-то признаков, объединение группы объектов в целостную систему, рассматриваемую как нечто единое. Эти два понятия иногда трудно различить. Так систематика животного и растительного мира проводится на основе существенных признаков и в принципе ее можно назвать классификацией. Тонкое различие между этими понятиями в том, что классификация предполагает только разбиение объектов на группы, а систематизация продолжает работу уже с группами и понимается как упорядочение этих групп в линейный ряд, таблицу и так далее. Все мыслительные операции тесно взаимосвязаны и в естественном процессе мышления переплетаются и взаимодействуют.
Для тренировки проведем классификацию косточек домино в зависимости от суммы очков на них. Кости распределятся на группы от нулевой суммы до, максимально возможной, равной 12. Количество косточек в группах меняется от одной до четырех.
Проводя классификацию по сумме очков на отдельной кости домино, мы естественно сравнивали эти суммы. Анализируя далее, приходим к выводу, что костей с суммой очков равной шести больше, чем с другими суммами, а косточек с четной суммой очков больше, чем с нечетной. Мы взяли конкретный признак (конкретизация), распределили по нему кости (классификация), упорядочили группы по возрастанию суммы (сравнение и систематизация), увидели в этом распределении некоторые особенности (анализ), сделали вывод (обобщение). В повседневной жизни человек не задумывается, какую мыслительную операцию ему применить, это происходит интуитивно, но чтобы применять их успешно, нужны понимание происходящих процессов и постоянная тренировка. Решение различных головоломок дает такую тренировку нашему мозгу, поэтому не ленитесь, занимайтесь гимнастикой ума.
В следующей группе упражнений специально проследите, как вы используете различные мыслительные операции. К выше перечисленным операциям добавится еще одна – действие по аналогии.
Аналогия – это сходство в каком-либо отношении между предметами, явлениями или понятиями. Действие по аналогии есть форма умозаключений, использующая это сходство. В частности, опираясь на сходство математических операций сложения и умножения, можно получить иную классификацию косточек домино.
9. Классифицируйте кости домино по значению произведения очков на их половинках.
10. Из полного комплекта домино берем наугад одну кость. Что более вероятно:
а) сумма очков четная,
б) сумма очков нечетная?
11. Что общего у пяти косточек, изображенных на рисунке?
12. Какую косточку из двух, показанных на рисунке, и почему лучше иметь в игре?
13. Чтобы показать примеры обобщения и действия по аналогии, вернемся к ранее рассмотренным задачам. Задачу 7 придумал американский изобретатель головоломок Генри Дьюдени: выбрать из полного комплекта домино четыре косточки так, чтобы можно было получить последовательные числа от 1 до 23, объединяя между собой группы очков, на половинках непосредственно прилегающих друг к другу.
Ставя задачу, он сразу от примера с двумя косточками перескочил на четыре, пропустив случай с тремя косточками. Поэтому, лучше поздно, чем никогда, предлагаем решить аналогичную задачу для трех косточек. Выбрать из полного комплекта домино три косточки так, чтобы можно было получить все последовательные натуральные числа от 1 до максимально возможного без пропусков, складывая очки на соседних половинках. С другой стороны, задача допускает и дальнейшее обобщение: для 5, 6 и так далее косточек.
14. В первой задаче мы рассмотрели, сколькими способами из 28 костей домино можно выбрать две кости так, чтобы их можно было приложить друг к другу. Сделаем еще один шаг усложнения задачи. Из полного комплекта удалим все косточки содержащие пять или шесть очков. Сколькими способами можно выложить цепочку из оставшихся 15 косточек домино, соблюдая основное правило, если две цепочки, получающиеся из одной и той же цепи при чтении ее один раз слева направо, а другой раз справа налево, считаются различными.
15. Сразу мы не решились поставить перед читателями задачу сосчитать, сколько существует различных вариантов выкладки цепочки из 28 косточек домино по основному правилу. Теперь сделано несколько шагов, приближающих нас к этой старинной задаче, попробуйте взяться и за нее.
16. Если вам удалось решить предыдущую задачу и найти количество различных цепочек, которые можно сложить по основному правилу из стандартного европейского комплекта домино, то теперь можно попробовать ответить на этот же вопрос для расширенного комплекта из 55 косточек с очками от 0 до 9. Можно ли из этого комплекта выложить цепочку по правилам домино, и если вы отвечаете «да», то сколько различных вариантов таких цепочек существует?
Часть 2. Игры
Veni, vidi, vici – Пришел, увидел, победил.
Стандартный комплект домино из 28 косточек разного достоинства значительно сложнее набора простых игральных костей, и уж если с игральными костями существует много игр, то все игры с косточками домино просто сложно перечислить. Тем более что мы хотим рассмотреть не только различные игры, но и большое количество разнообразных головоломок, задач и упражнений с домино.
Наличие большого количества игр для стандартного комплекта домино – это разнообразие и его можно считать плюсом, но есть в этом и минус. Классические шахматы – это одна игра, с четкими и давно устоявшимися правилами. Несколько вариантов игры есть у шашек. В домино несколько десятков различных игр. Минус в том, что раньше других стали проходить чемпионаты мира по шахматам, позднее по шашкам и гораздо позже удалось договориться о единообразии правил и устроить чемпионат мира по домино.
В описании игр с комплектом домино не будем придерживаться алфавитного распределения по их названиям, а возьмем в качестве определяющих признаков упорядочения распространенность игры, ее оригинальность и увлекательность.
«Доминошные» игры
Игры, основанные на «доминошном» принципе прикладывания одной косточки домино к другой с равным количеством очков на соприкасающихся половинках и выстраивании, таким образом, некоторой цепочки из косточек.
Традиционное домино
На первой игре остановимся подробнее в деталях. У опытных игроков существует своя терминология и свои тонкости игры, поэтому здесь мало будет сухого перечисления правил.
Играют от 2 до 4 человек обычным комплектом из 28 костей. Два или три игрока – это всегда соперники, а четыре игрока могут играть либо каждый за себя, либо парами – два на два, тогда за столом они рассаживаются через одного. При игре парами будет несколько иная стратегия, нежели при индивидуальной игре, но тонкости вы поймете, поиграв достаточное количество партий.
Начинается игра с «замеса» – все кости переворачивают тыльной стороной и тщательно перемешивают. При замесе руки совершают вращательные движения. Когда перемешиваете костяшки, следите за тем, чтобы движение рук было уверенным, но не резким, иначе костяшки под действием центробежных сил улетят со стола. Для двух игроков сдают по 7 косточек, для трех или четырех – по 5. Точнее, кости не сдают, это вам не карты, здесь каждый игрок свободно и произвольно набирает себе нужное количество косточек из «замеса». Остальные косточки остаются в закрытом резерве, который называют «базар».
Внимательно осмотрите полученные кости. Обязательно пересчитайте все доставшиеся вам одинаковые номера. Возможно, одинаковых слишком много и нужно сделать «перезамес», иначе соперники могут опротестовать результат партии. Пять дублей или шесть одинаковых номеров у одного игрока означают «перезамес», то есть кости снова возвращают в общую кучу, переворачивают и перемешивают. После чего каждый игрок снова набирает себе нужное количество.
Начинает игрок, выкладывающий дубль 6-6. Следующие игроки выставляют костяшки с соответствующими очками (6-1, 6‑2, 6-3…) с любой стороны цепочки, а при отсутствии таковых тянут из резерва, сколько потребуется. Ходят по кругу, по часовой стрелке от игрока, начавшего игру. Когда в процессе игры нет подходящей кости и резерва уже нет – пропускают ход.
Если в начале игры ни у кого нет дубля 6-6, то игра начинается с 5-5 или 4-4 и т. д., при отсутствии у всех игроков дублей на «базар» не ходят, а начинают игру с кости, имеющей наибольшее число очков (например, 6-5). Это называется «зайти с горбатого».
Помните, что по теории вероятности и просто по определению, кто первый выставил костяшку, тот первый и закончит. При условии, что он ни разу не пропустит свой ход. Поэтому вам нужно стремиться прокатить соперников и не дать прокатить себя. Для этого постоянно считайте, сколько одинаковых номеров выставлено на стол, сколько у вас на руках и прикидывайте, сколько на руках у каждого из игроков. Чем больше выставлено, тем меньше на руках. Тем больше вероятность, что у соперников не окажется нужной костяшки. Это еще один шаг к выигрышу. Следите за тем, какие номера не нравятся сопернику.
Поскольку одинаковых номеров на половинках костяшек может быть только восемь, выставляя седьмой и имея восьмой на руках, вы получаете, по крайней мере, один гарантированный ход. При этом лишая выбора остальных игроков. Это называется «взять конца». Взять конца можно как в конце игры, так и в середине. В конце вы пытаетесь этим обеспечить себе выигрыш, в середине – надавить на соперников.
Игра заканчивается, когда один из игроков выложит последнюю костяшку, или когда весь резерв выбран, на руках есть еще кости, а к выкладке нечего доложить, игра заблокирована. Эта ситуация называется «рыба».
«Рыба» получается, если по обоим концам цепочки стоят костяшки с одинаковым количеством очков, а на руках у игроков не осталось ни одной костяшки с тем же количеством очков, то есть все восемь подобных половинок находятся в цепи. Закончить игру «рыбой» выгодно, когда у игроков на руках много костяшек, а у тебя меньше и они содержат малое количество очков.
Если один из игроков закончил игру, то остальным придется сосчитать все очки на костяшках, что остались у них на руках. Если у вас на руках осталась одна единственная кость «пусто-пусто» – она оценивается в десять очков. При наличии на руках других косточек «пусто-пусто» вообще не засчитывается. Выигравшему партию игроку, в качестве выигрыша, записывается сумма очков всех костяшек, оставшихся на руках проигравших. При «рыбе», выигрывает игрок, имеющий на руках наименьшее число очков. В выигрыш ему записывается разность между суммой очков всех соперников и его очками. Для учета очков лучше взять листок бумаги, расчертить его по количеству игроков и вести запись. Количество очков после каждой партии суммируется и записывается столбиком. Победитель – тот, кто быстрее наберет 100 очков.
Рассмотрим одну гипотетическую игру, которая в принципе может сложиться в реальности, но для этого нужен ряд специфических факторов. Во-первых для четырех игроков, играющих каждый сам за себя, нужно раздать все косточки домино не оставляя базара, то есть по семь штук. Во-вторых, игра должна начинаться с дубля 0-0. Тем самым мы делаем два отступления от правил традиционного домино: обычно для четырех игроков раздают по пять косточек, оставляя базар, и игра начинается с дубля 6-6 или с дубля 1-1 (в козла). Хотя многие играют и при таких условиях, заранее обговаривая правила. Перед началом игры косточки перемешиваются, и вариантов первоначального деления всех 28 косточек между четырьмя игроками очень большое количество. Сейчас мы рассмотрим один интересный частный случай расположения косточек после раздачи их на руки игрокам. Пусть, например, у первого игрока будут четыре первых «пустышки» и три последних «единицы», то есть косточки 0-0, 0-1, 0-2, 0-3, 1-4, 1-5, 1-6, а у четвертого игрока пусть будут остальные «единицы» и «нули», то есть косточки 1-1, 1-2, 1-3, 0-4, 0-5, 0-6 и еще какая-нибудь косточка. Остальные косточки домино окажутся поделенными между вторым и третьим игроками. При таком раскладе получится интересная ситуация – первый игрок выигрывает, после того как им и четвертым игроком будут выложены 13 косточек, а второй и третий игрок просидят, даже не вступив в игру.
Действительно, первый игрок начнет игру дублем 0-0. Второй и третий, не имея пустышек, вынуждены пропустить ход, а четвертый игрок может выставить одну из трех, имеющихся у него косточек с «пустышкой»: 0-4, 0-5, 0-6. В ответ первый положит 4-1 или 5-1 или 6-1. Второй и третий опять не смогут ничего положить, а четвертый поставит 1-1 или 1-2 или 1-3. На что первый ответит 1-0 или 2-0, или 3-0. Так игра будет продолжаться, и первый игрок выиграет, выложив все свои косточки. При этом второй и третий игрок останутся со всеми косточками, а у четвертого останется одна косточка. Сколько же очков выиграет первый при таком раскладе? Сумма очков в тринадцати выложенных косточках, перечисленных вначале равна 48, а число очков на всех косточках комплекта домино 168. Значит, первый игрок выигрывает 120 очков за одну игру. Это наибольшее возможное количество выигранных очков.
Можно составить и другие партии подобные этой, когда второй и третий игроки сидят без дела, а первый непременно выигрывает. Для этого нужно «пустышки» и «единицы» заменить косточками с иными двумя цифрами. Число подобных «искусственно созданных» партий, равно числу сочетаний из семи цифр по две, то есть равно 21. Ясно, что вероятность случайно получить такую партию весьма мала. Кроме того, все остальные двадцать подобных партий дадут меньшее, чем 120 количество очков выигрыша.
Козёл
В нашей стране чаще играют не в традиционное домино, а в игру, которая почему-то называется «козёл». Проигравшие в ней объявляются «козлами». Различают две разновидности игры: простой козел и морской. Отличий от традиционного домино не так уж много, а терминология, которую мы изложили ранее, взята скорее из этой игры. Всегда раздается по семь костяшек. Возможна игра вдвоем или два на два. Начинают при игре в простого козла с дубля 1-1, а если при игре вдвоем его нет, то с дубля 2-2 и т. д. При отсутствии соответствующей кости, чтобы продолжить игру, берут одну или несколько костяшек из базара. Если играют два на два, при отсутствии нужной костяшки, пропускают ход. Игра идет до 101 очка. Выигрывает кон тот, у кого не осталось на руках костяшек; при парной игре партнер, избавившийся от костей, приносит также победу паре. Запись очков идет только в том случае, если их сумма у проигравшего или проигравших будет не менее 13 очков. Следующий кон начинает выигравший с любого дубля, а при игре парами – любой из выигравших партнеров. Если у проигравшего или одного из них осталась на руках только одна кость 6-6, то ему записывается не 12, а 25 очков, а если осталась одна костяшка 0-0 («пусто-пусто»), то ему записывается 50 очков.
При игре в морского козла игра идет до 125 очков. Подсчет идет с 25 очков при игре парами, а при игре вдвоем так же с 13 очков. При наличии двух дублей на руках у одного игрока, которые соответствуют двум концам цепочки, можно выставлять их одновременно за один ход. Если проигравшая первый кон пара игроков выигрывает второй кон, то ранее записанные на нее очки списываются. При окончании кона на дубль 6-6 или 0-0 игра заканчивается полным поражением соперника или соперников, вне зависимости от количества очков на их счету. Если игрок остался с одной костяшкой достоинством 6-6, то ему засчитывается 50 очков, а если это «пусто-пусто», то 75 очков. Все остальные правила у двух этих вариантов игры «в козла» полностью совпадают.
В силу их повсеместной распространенности, в реальной жизни вместо фразы «играть в домино» говорили «забивать козла», соответственно проигравший назывался «козлом». Кости при игре не просто выкладывались на стол, а с силой вбивались в его поверхность. До «перестройки» в домино играли практически везде: на стройках и заводах во время обеденного перерыва или просто отлынивая от работы; азартно бились, презрев свои прямые обязанности, сантехники и электрики в ЖЭКах; забивали «козла» шоферы госучреждений; стучали костяшками пенсионеры в парках. Сегодня игроков в домино почти не встретишь. Традиция забивания «козла» по выходным незаметно умирает, уходит поколение доминошников. «Коммуналок» в городах почти не осталось, их жильцы переехали в новые спальные районы. Новая архитектура микрорайонов уничтожает такое понятие как уютный городской дворик, вместо которого повсеместно получается нечто открытое со всех сторон, пересеченное дорогами и заставленное машинами. Домино – игра, сплачивающая людей, развивающая чувство коллективизма, а новое время выдвигает индивидуалистов, одна часть которых до умопомрачения занимается бизнесом, а другая «страдает» у своих телевизоров, просматривая нескончаемые сериалы. У молодежи другие интересы и иное понимание жизни.
Но домино не умерло окончательно и в последние годы пробивает себе дорогу не столько как дворовая, но уже как спортивная игра. В связи с этим отметим некоторую неприспособленность традиционного домино или игры в «козла» для использования на спортивных турнирах. Во-первых: партии длятся неопределенное время. Одна партия может закончиться за три минуты, другая растянутся на полчаса. (Партией называется время от начала игры до достижения проигравшей парой оговоренного числа очков.) Этот недостаток есть в шахматах и шашках, но там легко устраняется введением строго регламентированного учета времени. Во-вторых: заход в игре делает пара, выигравшая предыдущую раздачу. Таким образом, при игре в «козла» в продолжение всей партии может заходить одна и та же пара. Это не совсем справедливо. Заход в домино – это как игра белыми фигурами в шахматах. Простое решение – определять первый заход жеребьевкой, а последующие чередовать. В результате подобных размышлений в Санкт-Петербурге был создан Клуб спортивного домино «Пусто-Шесть», члены которого разработали правила спортивного домино. У этого клуба есть свой сайт в Интернете sport-domino.narod.ru.
Книгу о домино написал давно, и она лежала без движения. Готовя ее теперь к Самиздату, проверяю приведенные в ней факты, ведь время течет неумолимо. С сожалением, вынужден констатировать, что на сайте в разделе Новости деятельность клуба заканчивается 2011 годом. Сайт еще есть, но деятельность остановилась. Мне, постороннему наблюдателю, не известны причины.
Спортивное домино
Чтобы объяснить правила новой игры необходимо договориться о терминах. Вот основные.
Игровая линия – набор косточек домино выставляемых игроками на игровой стол по очереди после набора семи каждым игроком. Право хода переходит по часовой стрелке.
Ход – добавление игроком косточки в игровую линию.
Раздача – игра после набора игроками семи косточек до выставления одним из играющих последней кости или закрытия игровой линии (боя).