Здесь или нигде
Но сам способ построения основного магического квадрата я смогла найти только в энциклопедии Брокгауза и Ефрона в статье «Волшебные квадраты». Способ оказался достаточно простым и состоял из двух этапов. Первый шаг – из верхнего левого угла квадрата пишутся по порядку цифры от 1 до 16 в клетки, лежащие на диагоналях. Второй шаг – из нижнего правого угла также в порядке от 1 до 16 в оставшиеся пустыми клетки записываются соответствующие цифры. И магический квадрат готов! Все дальнейшие варианты магического квадрата, в том числе и квадрат, изображенный Дюрером, получаются методом перестановки строк как горизонтальных, так и вертикальных.
Но у «магического квадрата» Дюрера есть еще одна интересная особенность, которая стала очевидной после проведения по клеткам квадрата линий геометрических построений: цифры, вписанные в клетки квадрата, имеют такую форму своего начертания, которая повторяет сквозные линии геометрических построений. И мои дальнейшие исследования магического квадрата показали, что это была не единственная его тайна.
Через несколько дней в своем дневнике я сделала новую запись – о находке еще одного слоя построений.
17 февраля. «Обратила внимание, что основное содержание и завязка находится в нижней части гравюры. И как всегда – вдруг – в глаза бросилось, что лестница и весы вверху симметричны по расстоянию от центральной оси. Проверила, так и есть, две точки совпали. Провела через них линии, посмотреть, куда это приведет. Линия со стороны лестницы внизу прошла точно через шляпку гвоздя на молотке, а вверху через гусек карниза, в точке, лежащей на линии симметрии. С правой стороны – через нижний край пояса Ангела и ту же точку на карнизе. Далее мое внимание привлекли гвозди в ряд на ручке молотка (молоток всегда вызывал у меня подозрение, больно он правильно лежит)».
Линия, проведенная по ручке молотка, прошла по ровной части подола платья и через точку «усечения» развертки куба. Симметрично ей простроилась и вторая линия, прошедшая через другую точку усечения. Когда я провела и соединила все линии, у меня получились два треугольника, или ромб, по форме почти аналогичный ромбу в «Автопортрете. 1500». И если в «Автопортрете» горизонтальная линия проходит по верху белой сорочки в вырезе кафтана, то в гравюре по нижней вершине многогранника и по точке циркуля в руке. Верхушка ромба оказалась зафиксирована линией, проходящей по основанию коромысла колокола, верху песочных часов и по гвоздю, на котором висят весы. Проведя эту горизонталь, я нашла ответ на вопрос: почему все эти предметы сидели на одной линии.
Дойдя в своих поисках до этого места, я подумала, что пришло время систематизировать мои открытия – пошагово описать построения с приложением соответствующих графических листов. И с этих листов я решила дополнительно снять кальки, чтобы четко видеть полученный результат. Все это, кроме фиксации уже найденного материала, поможет увидеть, на что еще не было обращено внимание.
Итак… Первую вертикальную сквозную линию мы проводим, соединив точку перспективы и точку, образуемую наложением наугольника на шар (построение 1 и калька 1). Она проходит также через центр шара и букву «С» в той точке, куда упирается «линия» взгляда Ангела. Вторую вертикальную сквозную линию проводим через центр колокола и по центральной линии магического квадрата. Первую горизонтальную линию мы проводим, соответственно, через точку центра шара и по нижней линии ступени, на которой сидит Ангел. Вторая горизонтальная линия у нас проходит по точке наложения наугольника на шар, по точке пересечения рубанка и наугольника, по верхнему краю горизонтально лежащего гвоздя. Через шляпку этого же гвоздя проходит линия продления правой ножки циркуля. А также через точку пересечения этой линии с линией, идущей через центр магического квадрата, пройдет линия продления ребра многоугольника. Горизонталь, идущая по верхней точке шара, фиксируется ободом светильника и подогнутой правой лапой собаки.
Аналогичные горизонтальные линии мы можем простроить и в верхней части гравюры, но уже на основе магического квадрата. Верхняя линия фиксируется носом мыши, шариком стрелки весов и верхней стороной самого магического квадрата. Нижняя – нижней стороной магического квадрата и четвертой ступенькой лестницы.
Кроме основных вертикальных линий мы можем простроить и дополнительные. Крайняя правая вертикальная линия пройдет вверху по тени магического квадрата, а внизу пересечет шляпку гвоздя в точке, через которую проходит линия удлинения правой ножки циркуля. Крайняя левая вертикальная линия фиксируется краем колесика, верхушкой лампы, загнутым кончиком пинцета, ручкой жаровни, левым краем плавильного тигля и засечкой наклонной стойки буквы «М».
И по ходу своих описаний я совершила «небольшое открытие»:
18 марта. «Я уже давно заметила, что левая стойка лестницы, в отличие от правой стойки, имеет ярко выраженную тень. Если провести линию по границе светотени, то внизу она пройдет через центр сферы. Я решила проверить, есть ли ей подобная линия на правой стороне гравюры. Есть! Эта линия проходит через кончик гвоздя, на котором повешены весы, через точку наложения одного гвоздя на два других (эта группа гвоздей также вызывала у меня вопросы, а теперь есть и ответы), по кончику шляпки отдельно лежащего гвоздя и через центр простроенных квадратов. P. S. Длина отдельно лежащего гвоздя равна радиусу сферы!».
Вертикальные линии, проходящие через центр шара и центр магического квадрата, будем называть «центральными» линиями. Относительно их мы можем простроить и боковые линии. Крайние линии справа и слева уже описаны. Линия, идущая справа от «центральной» линии шара, фиксируется вверху насечкой на стойке буквы-цифры «I» и коленным суставом лапы собаки. Линия, идущая слева, «центральной» линии магического квадрата, закреплена пальцами правой руки Ангела и угловой складкой его платья. И в результате этих построений мы получаем подоснову четырех подобных друг другу квадратов в четырех углах гравюры.
Далее, если продлить диагональ магического квадрата «4-13» вниз, то она пройдет через две точки, лежащие на окружности шара, в местах ее пересечения с «центральной» и крайней левой линиями. А вверху она пересечет крайнюю правую вертикальную линию в точке, где эта линия пересекает так странно отклоненную веревку от колокола. И если из этой точки пересечения провести горизонталь, то она пройдет ровно по низу обвода колокола и по границе светотени второй ступени лестницы.
Если параллельно этой диагонали провести диагональ через центр шара до магического квадрата, то это линия пересечет сам квадрат по стороне вписанного квадрата, стоящего на вершине. В результате мы получим по дополнительному квадрату, который упирается углами в стороны внешнего квадрата.
Во время этих описаний я решила, во избежание путаницы между этими квадратами, дать им условные названия. Так квадрат, который простроен на основе шара, я назвала квадрат «сферы», на основе магического квадрата – квадрат «М.К», на основе гвоздей – квадрат «гвоздей» и, соответственно, на основе летучей мыши – квадрат «мыши».
Далее… Проверив два других квадрата: «мыши» и «гвоздей», мы видим, что там можно провести аналогичные построения. В итоге мы получили четыре квадрата, расположенных в четырех углах гравюры, в каждый из которых вписан еще один квадрат, стоящий на вершине. И дополнительно – линию симметрии всей этой композиции, которая проходит по отверстию в линейке, по краю выщерба на мельничном жернове, правому глазу Путти и по центру гуська карниза.
При внимательном изучении каждого из квадрата в отдельности, мы обнаруживаем еще один вписанный квадрат.
В квадрате «сферы», кроме двух уже простроенных (один описывает шар, другой вписан в шар по диагонали) мы простраиваем еще один квадрат, вписанный в шар. Он выстраивается на основе трех точек. Первая фиксируется пересечением окружности и нижнего обода лампы, две другие – пересечением окружности диагональной линией, идущей от магического квадрата.
Если далее мы продлим стороны этого квадрата до квадрата «мыши», то левая сторона подобного ему квадрата пройдет по левой наклонной стойке буквы «М», а правая – по правой наклонной стойке буквы «А». Также подобную фигуру мы можем простроить в квадрате «М.К.», эти построения будут фиксироваться свойствами самого магического квадрата. При сносе горизонтальных линий от квадрата «сферы» и вертикальных от квадрата «М.К.» до их пересечения, мы получаем еще один квадрат, вписанный в квадрат «гвоздей». И через нижний левый угол этого квадрата проходит «указующая» линия, идущая через отдельно висящий ключ. При детальной проверке оказывается, что длина отдельно лежащего гвоздя равна не только радиусу шара, но и половине стороны основного квадрата.
Далее на себя обращает внимание колокол. Длина его коромысла равна длине самого магического квадрата, а размер нижнего обвода колокола равен размеру внутреннего квадрата «2х2» с магической константой 34. Этот квадрат также можно снести на три остальные квадрата, и точки новых квадратов будут зафиксированы линиями пересечения сквозных диагоналей и квадратов, стоящих на вершинах. Линии сноса этих квадратов также имеют точки фиксации. Вертикальная линия сноса стороны квадрата «10-6» фиксируется затылком Ангела и локоном ее волос, нижняя горизонталь – точкой наложения подола платья на правую туфлю и подошвой левой туфли. И крайняя левая вертикальная линия, идущая от квадрата «сферы» к букве «Е», зафиксирована наложением окружности на широкий обод лампы, а внизу листа – изгибом наугольника.
Интересный момент наблюдается в квадрате «мыши»: в этот квадрат попадают четыре буквы «E», «N», «C», «O». С буквой «Е» вместо «А», так как слово «МЕЛАНХОЛИЯ» на латыни пишется «MELANCHOLIA». Описка Дюрера, прекрасно знавшего латынь, в этом слове помогла мне в дальнейшем найти важные ключи к его загадкам, в том числе и в других «Мастерских гравюрах».
Следующий слой построений у нас базируется на самой надписи «MELENCOLIA’I». С самого начала мне «бросилось в глаза» несоответствие друг другу межбуквенных интервалов в надписи, а также несимметричный наклон самих букв. В дальнейшем это частично объяснилось вписанием данного слова в квадрат. Дюрер использовал основные стойки букв в качестве фиксирующих элементов построения. А также тем, что надпись со своей опечаткой являлась подсказкой о скрытом содержании самой гравюры. Это подтверждается тем, что если через основные стойки букв «E», «N», «L», «I», и через центр букв «C», «O», «A», провести линии, то все они пройдут сквозь вершины изображенного многогранника (фрагмент 3).
И следствием этих построений в надписи является следующий слой, который мы простраиваем на основе самого многогранника. Если продлить четыре грани многогранника, то эти линии упрутся в вершины простроенных основных квадратов «сферы», «мыши», «гвоздей» и «М.К.». Еще одна грань пройдет через точку усечения развертки самого многогранника, а другая грань, при своем продлении пройдет через центр основания ключа, через эту же точку проходят еще четыре линии, активно участвующие в построении.
Дневник, 29 марта. «Сегодня снова описываю новое открытие, сделанное мною в гравюре «MELENCOLIA’I». Касается оно магического квадрата и колокола. На их симметричность и совпадение размеров я обратила внимание раньше, и использовала это в построениях. Сегодня решила проверить расстояние от самого магического квадрата до уключины, так как намедни мне на глаза попался лист с графическим построением «золотого сечения». Я решила проверить (построение 7). Результат полностью подтвердил мою догадку. Все элементы из группы магического квадрата и колокола участвуют в этом построении, даже тень от самого квадрата».
Но это еще оказалось не все. Параллельные линии, идущие как продолжение магического квадрата к коромыслу колокола, пересекаются в двух местах с двумя диагональными линиям. Первая точка – это пересечение вертикали с диагональю веревки. Вторая точка – пересечение второй вертикали с линией, образующейся при продлении стрелки циферблата песочных часов. Через эти две точки можно провести горизонтальную линию (построение 7). Эта линия проходит через стрелку весов, в той же точке, где и линия, симметричная линии, идущей по тени на стойке лестницы и центр шара. Это вторая точка фиксации, первая точка располагается внизу – это шляпка отдельно лежащего гвоздя.
За время своих открытий в гравюрах Дюрера я находила им подтверждения иногда и неожиданным способом. Например, во время прочтения книги Михаила Яковлевича Либмана «Дюрер и его эпоха», я задержала свое внимание на гравюре «MELENCOLIA’I», приведенной в этой книге. Там эта гравюра на пару сантиметров меньше оригинала и более контрастна по тону. И благодаря этому контрасту, я обратила внимание на небольшой выщерб, находящийся на одной из граней многогранника. И вспомнив, что на верхушку выщерба на мельничном жернове приходит вершина развертки многогранника, решила проверить и этот. И да! Через мысок-носок-уголок выщерба проходит центральная линия, идущая от буквы «С» в надписи до точки центра шара.
Еще в начале своих построений я заметила, что низ жернова и центр основания отдельно висящего ключа лежат на одной горизонтали. Но до поры до времени эта линия мне ни о чем не говорила.
Во времена учебы на архитектурном факультете у нас особым шиком считалось в архитектурных чертежах продлевать линию дальше, чем это требовалось по размерам чертежа. В результате получались как бы усики, торчащие в стороны. Эта привычка так у меня и осталась, и она помогла мне найти у Дюрера одно из самых элегантных, на мой взгляд, его геометрических построений.
На одном из листов, с моими вариантами построений в гравюре, я продлила линию, идущую через заклепку, которая фиксирует соединение молотка с ручкой, за пределы границы листа. И именно за границей листа эта линия пересекла горизонталь, проходящую по низу жернова и основание ключа. Это мне показалось подозрительным, и я решила проверить, что из этого может получиться дальше. В результате, я обнаружила, что в эту же точку приходит и линия, если продлить сторону квадрата, вписанного в шар и стоящего на вершине. На этой же линии базируется квадрат развертки многогранника. Также на правой стороне гравюры я смогла осуществить аналогичные построения. Итогом моих изысканий стал чертеж квадрата в ромбе, соединяющий в себе и основание, то есть квадрат, развертки многогранника и линии, усекающие этот квадрат до нужной фигуры пятигранника (построение 3).
11 мая. «Простроила на отдельном листе ромбо-квадрото-развертку. Гармоничное решение. Также перевела линии на кальку и для наглядности заштриховала саму развертку».
Но, отложив в сторону заштрихованную кальку, я четко поняла, что это не единственный вариант. В самом начале построения данной развертки, я обратила внимание, что можно простроить еще один квадрат, аналогичный данному квадрату, но он пройдет не по диагонали, идущей через центр шара, а параллельно ей (построение 6). Второй квадрат образовывается диагоналями, проходящими по центру магического квадрата наверху и по боковой грани вписанного в круг квадрата внизу. Но этот вариант был мною отброшен, так как размер этого квадрата не был чем-либо зафиксирован у Дюрера. А вернуться к этому варианту меня заставил лежащий рядом с плавильным тиглем пинцет. Решив составить для себя список всех предметов участвующих в построении, я заметила отсутствие в нем пинцета, чье расположение в композиции Дюрера подобно расположению молотка. Если сказать более точно, пинцет лежит параллельно молотку. И если на основе молотка строится целый слой построений, то почему такого же не может быть и на основе пинцета? Задав себе этот вопрос, я решила найти или попытаться найти на него ответ.
6 июня. «Сегодня совершила еще одно «открытие» в «MELENCOLIA’I». Пинцет, лежащий рядом с плавильным тиглем, до сего дня не участвовал в построении – но оказывается, на его основе строиться еще один ромбо-квадрат, основа еще одной развертки многогранника».
Для этого проводим линию – изгиб кончика пинцета, светотень нижней ступеньки лестницы, макушка циркуля и складка на рукаве (построение 6). Взяв эту линию за основание треугольника, боковые стороны этого треугольника мы проводим справа по плечу и голове Ангела и через точку вхождения гвоздя для весов в стену. А слева по контуру загиба пинцета и через точку пересечения плавильного тигля с ребром многогранника. Вершина этого треугольника (точка) совпадет с точкой, через которую проходит и линия, идущая по светотени левой стойки лестницы.
Линии, идущие вдоль пинцета от основания этого треугольника вниз, при своем пересечении так же образуют треугольник. С левой стороны композиции эта линия фиксируется выщербом на нижней грани многогранника и точкой пересечения зада собаки и низа мельничного жернова. Справа эта линия фиксируется сгибом локтя Ангела. А при дальнейшем продлении эти линии усекают квадрат, простроенный на основе верхних диагоналей, до пятиугольника, лежащего в основе развертки многогранника. Как и предыдущий вариант развертки многогранника, этот вариант построения также подтверждается линейкой. Размер стороны данного квадрата равен размеру внешней стороны линейки. А линия усечения лежит на той же горизонтали, что и вписанный в круг квадрат, зафиксированный точкой пересечения светильника и шара.
Все время, пока я вычерчивала свои варианты построений Дюрера в гравюре «MELENCOLIA’I», я искала хоть какое-то их теоретическое обоснование. Но до поры до времени ответ от меня ускользал. Например, я долго не могла найти, как называется изображенная Альбрехтом Дюрером фигура многогранника. Понятие «усечения» я взяла условно из курса «Морфологического анализа», который нам читали на архитектурном факультете. Так как усечение, используемое в так называемых телах Архимеда, к данному многограннику не подходило. В одной из статей в интернете я прочитала о бипирамидах. Их определение звучит так: «Бипирамида или дипирамида является трехмерным многогранником, сформированным из двух пирамид, одна из которых является зеркальным отражением другой. Место соединения пирамид образует общую фигуру в виде многоугольника. Простая бипирамида формируется при сложении двух тетраэдров. При основании пирамиды в виде квадрата формируется бипирамида, известная как октаэдр».
Кроме этого в этой статье приводились рисунки бипирамид – трапецоэдров: «тригональный трапецоэдр», «тригональный скаленоэдр», «тетрагональный трапецоэдр», «гексагональный трапецоэдр». И рассматривая эти рисунки, я увидела, что если отсечь вершины у «тригонального трапецоэдра», то получится фигура, чем-то похожая на изображенный Дюрером многогранник. А ромб, лежащий в основе развертки этого «тригонального трапецоэдра», по форме был аналогичен ромбам, которые я выстроила в «MELENCOLIA’I» на основе молотка и пинцета, а также и в его, Альбрехта Дюрера, «Автопортрете. 1500». Это наблюдение заставило меня снова возвратиться к моим построениям, но посмотреть на них уже под другим углом – это построение 3, калька 3, построение 5, калька 5, построение 6, калька 6.1 и калька 6.2. Что пятиугольник, лежащий в основе развертки этого многогранника, может быть получен не только усечением квадрата, но и усечением ромба, аналогичного вычерченным Дюрером в его гравюре. Эту теорию можно было проверить только одним способом – попробовать склеить многогранники из бумаги, взяв за их основу фигуры из гравюры (фото 3 и фото 4).
За точки усечения этих ромбов я взяла точки пересечения сторон этих ромбов с диагоналями, идущими через всю гравюру и являющиеся основаниями для квадратов, – первыми вариантами основы развертки. И чтобы по ходу дела не возникли искажения, я решила их клеить по размерам точно взятых с моих построений в гравюре Дюрера.
11 июня – «Сегодня доклеила второй многогранник, развертка которого строится на основании пинцета. Он очень низкий, приплюснутый, но если смотреть на нижние ребра в нужном ракурсе они совпадают с рисунком на гравюре».
В результате за несколько дней я склеила три фигуры многогранника Дюрера, одну на основе усеченного квадрата и две на основе усеченного ромба. Ни один из них не имел полного совпадения с изображенным многогранником. Но как часто и бывает, эта неудача помогла мне найти в дальнейшем не только ответы на загадку «MELENCOLIA’I», но и найти скрытые построения в других «Мастерских гравюрах» Альбрехта Дюрера.
По ходу своих изысканий в гравюре «MELENCOLIA’I» я находила все новые линии, подтверждающие мои выводы о точках усечения квадратов. В моем списке неиспользованных в построении предметов после пинцета на первое место вышли песочные часы. Они имеют строго направленную форму и занимают значительное пространство в композиции, но в моих чертежах они задействованы не были, не считая линии, идущей по циферблату гномона. Их роль была мною обнаружена только после находки второго варианта куба-развертки и места его усечения (построение 6). Случайно я решила проверить свою идею именно на листе с этой разверткой. И, опустив линию через центр песочных часов вниз до конца гравюры, я обнаружила, что она прошла ровно через точку усечения куба в пятиугольник. А проверив левую сторону композиции на наличие подобной, зафиксированной какими-либо предметами, линии, я нашла обоснование необычной угловато-геометрической формы и наклона головы собаки. Вторая линия усечения прошла по краю кусачек (щипцов), по центру морды собаки и кончику транспаранта с надписью «MELENCOLIA’I», который держит в своих лапах мышь.
Как я уже писала в предисловии, в результате моих теоретических изысканий о жизни Альбрехта Дюрера у меня сложилась теория о влиянии, которое оказало на мастера его пребывание в Венеции. Во время изучения материалов, относящихся к этому периоду, в примечаниях к его письмам я нашла сноску, которая меня очень заинтересовала. Это был комментарий к последнему, десятому, письму Дюрера из Венеции, отправленному им осенью 1506 года: «Дюрер уехал из Венеции в 1507 году. Последнее известие о пребывании его в Венеции сохранила надпись на некогда принадлежавшем ему экземпляре латинского издания «Элементов» Эвклида, хранящемся в библиотеке в Вольфенбюттеле: «Эту книгу я купил в Венеции за один дукат в 1507 году. Альбрехт Дюрер». (Нессельштраус)
Мои дальнейшие рассуждения никак нельзя назвать вершиной дедукции. Вывод, который я сделала, прочитав эту надпись, звучал приблизительно так: человек не будет записывать спустя много лет время и цену покупки книги, если она не была для него очень важной и запоминающейся. О том, что эта надпись была сделана спустя энное количество времени после покупки, говорит стиль надписи. А что было важным для Дюрера, было не менее важным и для меня.
Также моему стремлению уделить пристальное внимание сочинению Эвклида предшествовало событие, которое в корне изменило направление моих поисков. В самом начале, мое внимание было сосредоточено исключительно на гравюре «MELENCOLIA’I», но после прочтения сборника, включающего в себя трактаты, автобиографические материалы, письма и дневники Альбрехта Дюрера, я поняла, что эта гравюра является только частью общего замысла великого художника.
Многие исследователи творчества Дюрера и до меня объединяли гравюры «MELENCOLIA’I», «Святой Иероним в келье» и «Рыцарь, Смерть и Дьявол» в единый цикл, связанный общим содержанием. Вот как пишет об этом Ц. Г. Нессельштраус в монографии «Дюрер»: «Давно уже сложилось мнение, что три названные гравюры связаны между собой. Некоторые были склонны видеть в них незавершенную серию четырех темпераментов, на что как будто указывает надпись на одном из листов: «MELENCOLIA’I». Однако теперь полагают, что гравюры не являются серией в собственном смысле слова, но образуют единство в ином отношении: они воплощают представление того времени о различных сторонах духовной деятельности человека. «Рыцарь, Смерть и Дьявол», «Св. Иероним» и «MELENCOLIA’I» символизируют три различных жизненных пути, которые соответствуют разработанной еще схоластами классификации добродетелей – моральных, интеллектуальных и теологических, а также распространенному среди гуманистов восходящему к античной философии учению о трех ступенях духовной жизни человека – ступени морали и долга, разума и науки и, наконец, теологии, познания божественных истин. В таком случае «Рыцарь» является воплощением жизни человека в практическом мире решений и действий, в сфере морали и долга, «MELENCOLIA’I» – интеллектуальной жизни в сфере науки и искусств, а «Св. Иероним» – жизни отрешившегося от мирских соблазнов затворника, посвятившего себя постижению высших истин».
К этим трем вышеперечисленным гравюрам некоторые исследователи присоединяют и более раннюю по времени гравюру «Адам и Ева», выполненную Дюрером еще до его отъезда в Венецию, приписывая ей также один из видов темперамента. Но мое мнение на этот счет также не совпадало с общепринятым.
В сборнике литературного наследия Альбрехта Дюрера, под редакцией Ц. Г. Нессельштраус, в том числе приведены планы и наброски к его книге о живописи, которую он планировал написать. Идея этой книги возникла у него во время пребывания в Венеции, после ознакомления с трактатами итальянских мастеров. А после возвращения в Нюрнберг было так же вызвано желанием издать подобное сочинение на Родине, в помощь немецким художникам, лишенных возможности изучения теоретических трудов мастеров Италии.