– Медиана.
– Дисперсия (несмещенная).
– Стандартное отклонение.
– Коэффициент вариации.
Ответы округлите до двух знаков после запятой.
Диаграмма накопленной частоты
Кроме гистограммы, классическим вариантом диаграммы, характеризующей выборку, считается также диаграмма накопленной частоты. Диаграмма накопленной частоты может быть построена как на сгруппированных данных, так и на не сгруппированных.
При построении диаграммы накопленных частот по сгруппированным данным выполняется разбиение всего диапазоны на классы (аналогично тому, как это делается для гистограммы), классы ранжируются по возрастанию, затем для каждого класса суммируется количество данных, попавших в этот класс с количеством данных, попавших во все классы, «ниже» данного. То есть частота данных в каждом классе накапливается от «низов» выборки до ее «верха». В качестве примера рассмотрим некоторую величину, распределенную следующим образом:
Пример распределения
В табличном виде это распределение можно представить следующим образом:
Выполним расчет накопленной частоты для приведенного примера:
И теперь – построение графика:
Диаграмма накопленных частот
При построении диаграммы накопленных частот по не сгруппированным данным последовательность действий чуть другая:
– Данные ранжируются по возрастанию.
– Составляется ранжированный ряд уникальных значений.
– Для каждого уникального значения подсчитывается частота встречаемости.
– Для каждого уникального значения подсчитывается накопленная частота: частота встречаемости этого значения плюс частоты всех значений более низкой величины. То есть в данном случае в качестве классов значений (как в варианте со сгруппированными данными) выступают уникальные значения исследуемой величины.
График накопленных частот для того же распределения, что и выше по не сгруппированным данным, представлен на рисунке ниже.
График накопленных частот по не сгруппированным данным
Коэффициент асимметрии
При построении гистограмм можно получить график как симметричный, в котором больших и малых значений «примерно поровну», так и асимметричный – с преобладанием высоких или низких значений. Для условий данных опробования цветных или драгоценных металлов асимметричный график встречается намного чаще симметричного. Логично, что нужна некая точная характеристика асимметрии, которая позволила бы избежать волюнтаризма в определении степени асимметричности выборки. Так давайте же сконструируем такую характеристику.
Итак, у нас есть набор выборочных значений, основная масса которых группируется «слева» или «справа». Логично задать себе вопрос: слева или справа от чего? Видимо, от среднего арифметического. То есть, если мы попытаемся рассчитать разность (X
– X
), то среднее подобных разностей должно бы нам показать направление и величину отклонений выборочных данных от среднего. Возможно, должно, но не будет: сумма подобных разностей всегда будет нулевой – по механизму расчета среднего. Казалось бы, можно возвести в квадрат – как это делалось для расчета дисперсии. Но проблема в том, что знак разности (X
– X
) нужен (мы ж хотим понимать – значение ушло «влево» или «вправо» от среднего), а при возведении в квадрат знак «потеряется». Логично тогда использовать нечетную степень – она позволит избежать обнуления суммы разностей, с одной стороны, и «не потеряет знак» разностей – с другой. Первая нечетная степень – 3. То есть логично рассчитать среднее арифметическое кубов разностей. Также хотелось бы, чтобы конструируемая величина допускала сравнение асимметрии распределений разнородных данных, возможно, даже измеренных в разных единицах. То есть эта величина должна быть безразмерной – как сконструированный ранее коэффициент вариации. И кажется вполне логичным, что наше среднее должно быть нормировано на стандартное отклонение – т. е. показывать, во сколько раз асимметрия выборки больше, чем характеристика ее размаха. Ну, а учитывая то, что:
– хочется получить безразмерную величину,
– стандартное отклонение имеет те же единицы измерения, что и выборочные данные,
– мы уже рассчитали среднее из кубов разностей,
становится понятным, что необходимо выполнить возведение в куб также и величины стандартного отклонения. Итоговая величина будет рассчитываться по формуле:
Полученная величина называется коэффициентом асимметрии или простоасимметрией. Коэффициент асимметрии показывает, куда и насколько сильно смещено среднее выборки относительно максимальной частоты распределения. В случае нулевого (или близкого к нулю) коэффициента асимметрии распределение симметрично и «высоких» значений примерно столько же, сколько «низких». В этом случае среднее и медиана выборки близки либо вообще равны.
Распределение с близким к нулю коэффициентом асимметрии
В случае отрицательного коэффициента асимметрии «высоких» значений больше, чем «низких». Среднее ниже медианы, то есть по оси значений смещено влево. В этом случае говорят, что распределение случайной величины имеет левую или отрицательную асимметрию.
Распределение с отрицательным коэффициентом асимметрии
В случае положительного коэффициента асимметрии картина прямо противоположна: «низких» значений больше, чем высоких, среднее смещено относительно медианы вправо (помните пример с жадным директором предприятия? – добавьте к этому «нехорошему» человеку его зама, главбуха, еще парочку топ-менеджеров и получите правоасимметричное распределение зарплат).
Распределение с положительным коэффициентом асимметрии
Отобразим графически все виды асимметрии по отдельности.
Гистограммы различных видов асимметрии
Диаграммы накопленной частоты будут выглядеть следующим образом.
Диаграммы накопленной частоты различных видов асимметрии
Сведем гистограммы на один график.
Гистограммы различных видов асимметрии
Кроме характеристики степени асимметрии, также существует характеристика того, насколько полученная гистограмма «острая» или «тупая».
Гистограммы различных видов асимметрии
Характеристика, которая позволяет судить о степени «резкости» или «экстремальности», носит название коэффициента эксцесса. На практике коэффициент эксцесса используется значительно реже, поэтому в настоящей главе его смысл подробно не раскрывается.
Виды распределений
Нормальное распределение
В статистике существуют некоторые «стандартные» типы распределений, одним из которых является так называемое «нормальное» распределение. Этому распределению соответствуют распределения многих «бытовых» величин: рост и вес определенной группы людей, во многих случаях – распределение ошибок измерения и т. д. Поскольку это распределение является широко распространенным, его параметры хорошо изучены. Коэффициенты асимметрии и эксцесса нормального распределения равны нулю (точнее, неотличимы от нуля). Среднее арифметическое равно медиане.
Кроме того, для нормального закона существует так называемое «правило трех сигм», которое гласит, что:
