Чудеса арифметики от Пьера Симона де Ферма

38

В «Началах» Евклида есть нечто похожее на эту аксиому:

«1. Единица есть <то>, через что каждое из существующих считается единым. 2. Число же – множество, составленное из единиц», (Книга VII, Определения.).

39

Итак, считалка – это именованные начальные числа в готовом, (сосчитанном), виде, чтобы на их основе стало возможно, используя аналогичный метод, именовать также любые другие числа. Всё это, конечно, совсем не сложно, но почему же этому не учат в школе, а просто заставляют всё заучивать без объяснений? Ответ очень простой – потому что наука просто не знает, что есть число, а признаться в этом никак не может.

40

Аксиомы действий, которые до сих пор отдельно не выделялись, также являются прямым следствием определения сущности понятия числа. Они, как способствуют обучению, так и устанавливают определенную ответственность за обоснованность любых научных изысканий в области чисел. В этом смысле последняя 6-я аксиома выглядит даже слишком категоричной. Но без такого рода ограничений в систему знаний можно протаскивать любую тарабарщину и затем называть это «прорывом в науке».

41

В этом реконструированном доказательстве Ферма исключается ошибка, допущенная у Евклида. Однако, начиная с Гаусса, другие известные доказательств основной теоремы арифметики повторяют эту же самую ошибку. Исключением является доказательство, которое получил немецкий математик Эрнст Цермело, см. Приложение I.

42

Факсимиле издания с доказательством ЗТФ Коши опубликовано Google под названием MEMIRES DE LA CLASSE DES SCIENCES MATHTÉMATIQUES ET PHYSIQUES DE L’INSTITUT DE France. ANNEES 1813, 1814, 1815: https://books.google.de/books?id=k2pFAAAAcAAJ&pg=PA177#v=onepage&q&f=false. То, что нам нужно находится на стр. 177 под названием DEMONSTRATION DU THÉORÉME GÉNÉRAL DE FERMAT, SUR LES NOMBRES POLYGONES. Par M. A. L. CAUCHY. Lu à l’Académie, le 13 novembre 1815 (см. рис. 34, 35). Общее доказательство Коши занимает 43 (!!!) страницы, и только одно это обстоятельство указывает на то, что ни в один учебник оно не влезает. Аналогичный труд с доказательством ВТФ для n=7 выполнил коллега Коши по Академии наук Габриэль Ламе. Подобные творения не то, что студентам, но и академикам не по силам, т.к. первые ничего не могут в них понять, а вторые просто не располагают для этого необходимым временем. Тогда выходит, что такие доказательства вряд ли возможно проверить, насколько они убедительны, т.е. являются ли вообще доказательствами. А вот если бы Коши применил рекомендованный Ферма метод спуска, то доказательство стало бы настолько убедительным, что никаких проверок просто не потребовалось бы. Отсюда следует очень простой вывод: Золотая теорема Ферма, также как некоторые другие его теоремы до сих пор остаются недоказанными.

43

Примеры демонстрируются во множестве видео из Интернета, впрочем, эти примеры никак не умаляет достоинств профессоров, отлично знающих своё дело.

44

Надо признать, что метод доказательства Фрая в принципе такой же, как и у Ферма, т.е. он основан на получении решения уравнения an+bn=cn путём его объединения в систему с другим уравнением – ключевой формулой, и затем решения этой системы. Но если ключевая формула Ферма a+b=c+2m выведена напрямую из исходного уравнения, то у Фрая она просто взята с потолка и пристёгнута к уравнению Ферма an+bn=cn, т.е. «кривая Фрая» y2=x(x−an)(x+bn) – это фокуснический приём, позволяющий скрыть суть проблемы и заменить её на некую иллюзию. Даже если бы Фрай доказал отсутствие в его уравнении целочисленных решений, то всё равно это никоим образом не могло бы вывести его на доказательство ВТФ. Но ему и этого не удалось, поэтому одна «гениальная идея» родила «ещё более гениальную идею» о противоречии «кривой Фрая» гипотезе Танияма – Симура. С таким подходом можно получить невероятно большие возможности для манипулирования и подтасовок под нужный результат, например, можно «доказать», что уравнение a+b+c=d, как и уравнение Ферма an+bn=cn в целых числах не решается, если пристегнуть к нему уравнение abc=d. Однако такие «идеи», явно указывающие на на подмену предмета доказательства, вообще не должны рассматриваться, т.к. фокусники только и надеются на трудности прямого опровержения их трюка.

45

Вот как сам Э. Вайлс комментирует ошибку, найденную в его «доказательстве» в 1993 г.: «Even explaining it to a mathematician would require the mathematician to spend two or three months studying that part of the manuscript in great detail» – «Для того чтобы объяснить это математику нужно 2-3 месяца очень подробного обучения этой части текста». См. публикацию Nova http://www.pbs.org/wgbh/nova/physics/andrew-wiles-fermat.html Выходит, что это «доказательство» понимает только его автор, а всем остальным нужно учиться и учиться.

46

См., например, интернет издания «Ивлиев Ю.А. Разгадка феномена Великой теоремы Ферма», или Руди Л.В. «Гипотеза Эндрю Била – Это очередная провокация математической мафии против молодежи мира». Подобные развенчания очень подробны, но слишком избыточны, поскольку доводы основных авторов «доказательства» ВТФ Г. Фрая и Э. Вайлса выглядят настолько нелепыми, что ни чем иным, как гипнотическим влиянием нечестивого, невозможно объяснить, как в течение многих лет после 1995 г. почему-то никто из признанных учёных мужей так и не заметил, что вместо доказательства ВТФ нам подсунули нечто совсем другое.

47

Аналогично примеру Пифагора 32+42=52 очень простой и красивый пример сложения степеней обнаружил Эйлер: 33+43+53=63. Другие примеры см. в комментарии 22 п.2.

48

Например, проблема бесконечности множества пар простых чисел-близнецов, или задача Гольдбаха о представлении любого чётного натурального числа суммой двух простых чисел. Да и решение самой крутой задачи арифметики об эффективном способе вычисления простых чисел пока ещё очень далеко от совершенства, несмотря на тонны бумаги, затраченной на исследования этой проблемы.

49

В частности Эдвардс в своей внушительной по объему книге [6], [38] оказался не в курсе того, что задачу Ферма о разложении простого числа типа 4n+1 на сумму двух квадратов решил Гаусс. Но именно эта задача стала своеобразным мостом к последующему открытию ВТФ. Сам Ферма впервые сообщил о ней в письме к Блезу Паскалю от 25.09.1654 г. и это одно из свидетельств того, что из всех своих научных работ ВТФ – это действительно последнее и самое большое его открытие.

50

Главное и принципиальное отличие методов Ферма от методов других учёных заключается в том, что его методы достаточно универсальны для очень широкого круга задач и не связаны напрямую с конкретной задачей. Как правило, попытки решить задачу начинаются с пробных вычислений и перебором всех возможных вариантов, и те, кто быстрее считает, получают соответственно больше возможностей её решить. У Ферма иной подход, он делает пробы только с той целью, чтобы подвести их под какой-либо подходящий для данной задачи универсальный метод. И как только ему это удаётся, то задача практически решена, причём результат гарантирован даже в том случае, если впереди остается ещё очень большой объём рутинных вычислений. См., например, комментарий 30 в п. 2.

51

В оригинале решение задачи Диофанта следующее. «Пусть надо разложить число 16 на два квадрата. Положим, что 1-й равен x2, тогда 2-й будет 16−x2. Составляю квадрат из некоторого количества x минус столько единиц, сколько их в стороне 16-ти; пусть это будет 2x–4. Тогда сам этот квадрат равен 4x2–16x+16. Он должен равняться 16−x2. Прибавим к обеим сторонам недостающее и вычтем подобные из подобных. Тогда 5x2 равно 16x и x окажется равным 16-ти пятым. Один квадрат 256/25, а другой 144/25; оба сложенных дают 400/25, или 16, и каждый будет квадратом» [2, 27].

52

Если c2=p2N2 и p2, (а также любой другой pi2 из простых множителей c), не раскладывается на сумму двух квадратов, т.е. p2=q2+r, где число r не есть квадрат, то c2=p2(q2+r)=(pq)2+p2r, и здесь во всех вариантах чисел q и r получится, что p2r тоже не есть квадрат, тогда число c2 также не может быть суммой двух квадратов.

53

Это открытие впервые изложено в письме Ферма к Мерсенну от 25.12.1640 г. [36, 9]. Здесь же в п. 2-30 сообщается: «Это же число, (простое типа 4n+1), будучи гипотенузой одного прямоугольного треугольника, будет в квадрате гипотенузой двух, в кубе – трёх, в биквадрате – четырёх и т.д. до бесконечности». Это удивительная и совершенно не свойственная Ферма невнимательность. Ведь верное утверждение дано в соседнем абзаце, (п. 2-20). То же самое повторено в замечании Ферма к комментарию Баше к задаче 22 книги III «Арифметики» Диофанта. Но здесь сразу же после этого явно ошибочного утверждения следует верное: «Это же простое число и его квадрат только одним способом разлагаются на два квадрата; его куб и биквадрат – двумя; квадрато-куб и кубо-куб – тремя и т.д. до бесконечности». В этом письме Ферма, видимо, ощущал, что здесь что-то не так, поэтому добавил такую фразу: «Я пишу Вам в такой спешке, что не обращаю внимания на то, что есть ошибки, и опускаю много вещей, о которых я Вам подробно расскажу в другой раз». Это, конечно, не та ошибка, которая могла бы иметь серьезные последствия, но факт заключается в том, что эта ляпа тиражируется в печатных изданиях и в Интернете уже четвертое столетие подряд! Выходит, что бесчисленное количество публикаций работ Ферма никто ещё ни разу внимательно не читал, ведь иначе появилась бы ещё одна его задача, которая явно не имела бы никакого решения.

54

Доказательство Эйлера неконструктивно, т.е. оно не дает метода вычисления двух квадратов, из которых состоит простое число типа 4n+1 (см Приложение III). Пока у этой задачи есть только решение Гаусса, но оно получено в рамках очень сложной системы «Арифметики вычетов». Решение, о котором сообщал Ферма, до сих пор остаётся неизвестным. Впрочем, см. комментарий 172 в Приложении IV (Год 1680).

55

Способы вычислений простых чисел были предметом поисков ещё с древних времен. Наиболее известный способ получил название «Решето Эратосфена». Многие другие способы также были разработаны, но широкого применения не получили. Сохранился обрывок письма Ферма с описанием созданного им метода – письмо LVII 1643 г. [36]. В п.7 письма-завещания он отмечает: «Я признаюсь, что моё изобретение для установления того, будет ли данное число простым или нет, несовершенно. Но у меня есть много путей и методов для того, чтобы сократить число делений и значительно их уменьшить, облегчая обычную работу». См. также п. 5.1 с комментариями 73-74.

56

Ферма обнаружил формулу (2) после преобразования уравнения Пифагора в алгебраическое квадратное уравнение см. Приложение IV рассказ Год 1652. Однако алгебраическое решение не даёт понимания сути полученной формулы. Впервые этот способ был опубликован в 2008 г. [30].

57

Например, если m=p1p2, то кроме первых трех решений будут ещё другие:

A4=p1; B4=2p1p22; A5=p2; B5=2p12p2; A6=2p1; B6=p1p22

A7=2p2; B7=p2p12; A8=p12; B8=2p22; A9=p22; B9=2p12

58

Формула (7) называется «Бином Ферма». Любопытно, что это же название появилось в 1984 году в романе советского писателя-фантаста Александра Казанцева «Острее шпаги». Эта формула не является тождеством, т.к. в отличие от тождества бинома Ньютона, в ней, кроме слагаемых присутствует отдельным числом ещё их сумма, однако с помощью Бинома Ферма легко вывести многие полезные тождества, в частности, разложение на множители суммы и разности двух одинаковых степеней [30].

59

В данном случае тождество (9) свидетельствует о том, что в преобразованную ключевую формулу (2) подставляется эта же ключевая формула, или что полученное нами уравнение (8) есть ключевая формула (2), возведённая в степень n. Но можно идти и обратным путём, просто дать тождество (9), а затем разложить в нём на множители разности степеней и так можно получить (8) без использования «Бинома Ферма» (7). Но этот путь может быть уловкой, чтобы скрыть понимание сути, ведь когда некое тождество как бы падает с неба, то вроде бы и возразить-то нечего. Однако, если заученно идти по этому пути, то есть риск разоблачения в непонимании сути, т.к. вопрос о способе получения тождества, может остаться без ответа.

60

Учитывая, что с−a=b−2m, выражение в квадратных скобках уравнения (8) можно преобразовать следующим образом: (c ++ b)n − (a ++ 2m)n = сn-1 − an-1 + cn-2b − an-22m + cn-3b2 − an-3(2m)2 + … + bn-1 − (2m)n-1; сn-1 − an-1 = (с−a)(c++a)n-1; cn-2b − an-22m = 2m(cn-2 − an-2) + cn-2(b − 2m) = (c − a)[2m(c ++ a)n-2 + cn-2]; cn-3b2 − an-3(2m)2 = (2m)2(cn-3 − an-3) + cn-3(b2 − 4m2) = (c − a)[4m2(c++a)n-3 + cn-3(b + 2m)]; bn-1 − (2m)n-1 = (b − 2m)(b ++ 2m)n-1 = (c − a)(b ++ 2m) n-1; Все разности чисел, кроме первой и последней, можно задать в общем виде: cxby − ax(2m)y = (2m)y(cx−ax) + cx[by−(2m)y] = (c − a)(c ++ a)x(2m)y + (b − 2m)(b ++ 2m)ycx = (c−a)[(c++a)x(2m)y+(b++2m)ycx]; И отсюда понятно, каким образом число (с − a) выносится за скобки. Аналогично можно вынести за скобки множитель a+b=c+2m. Но это возможно только для нечётных степеней n. В этом случае уравнение (10) будет иметь вид AiBiCiDi = (2m)n, где Ai = c−b = a −2m; Bi = c − a = b − 2m; Ci = a + b = c + 2m; Di – полином степени n − 3 [30].

61

Уравнение (10) может существовать только если выполняется (1), т.е. {an+bn−cn}=0, поэтому любой вариант с отсутствием решений приводит к исчезновению этого уравнения-призрака. И в частности, не проходит «опровержение» о том, что неправомерно искать решение при любых комбинациях множителей, поскольку AiBi = 2m2 может противоречить Ei = 2n-1mn-2, когда приравнивание Ei к целому числу не всегда даёт целые решения из-за того, что полином степени n−2, (остающийся после выноса за скобки множителя c−a), может в этом случае не состоять только из целых чисел. Однако этот довод не опровергает сделанный вывод, а наоборот усиливает его ещё одним противоречием, т.к. Ei состоит из тех же чисел, (a, b, c, m) что и Ai, Bi, где нецелых чисел быть не может.

62

В данном доказательстве было вполне логично указать такую комбинацию множителей в уравнении (10), из которой следуют числа Пифагора. Однако есть и множество других возможностей получить такой же вывод из этого уравнения. Например, в [30] дан целый десяток различных вариантов и при желании можно найти ещё больше. Легко показать, что уравнение Ферма (1) невыполнимо также и для дробных рациональных чисел, т.к. в этом случае их можно привести к общему знаменателю, который затем сократить. Тогда получится случай решения уравнения Ферма в целых числах, но уже доказано, что это невозможно. В этом доказательстве ВТФ задействованы новые открытия, не известные сегодняшней науке – это метод ключевой формулы (2), новый способ решения уравнения Пифагора (4), (5), (6), и формула Бинома Ферма (7) … да, конечно же, ещё и волшебные числа из п. 4.4!!!