Чудеса арифметики от Пьера Симона де Ферма
Великие учёные не придавали особого значения построению основ науки, видимо считая такое творчество чисто формальным делом, но вековые неудачи с доказательством ВТФ указывают на то, что они недооценивали значимость такого рода исследований. Теперь же, когда выяснилось, откуда мог взяться такой эффективный инструмент науки, как метод спуска, а также и другие инструменты, основанные на понимании сущности числа, становится ясно, почему Ферма так явно превосходил в арифметике других математиков, а его оппоненты издавна и до сих пор находятся в полнейшем недоумении от этого очевидного факта.
Здесь мы подходим к тому, что главная причина неудач в поисках доказательства ВТФ кроется в различии подходов к решению задач у Ферма и других учёных, а также в том, что в части основ арифметики даже современная наука не достигла знаний, которыми ещё в те далёкие времена располагал Ферма. Эту ситуацию нужно исправлять, поскольку иначе ВТФ так и будет продолжать дискредитировать всю науку.
В исследованиях на тему ВТФ одним из основных был вопрос о том, какой метод применил Ферма для доказательства этой теоремы? Мнения были самые разные, а чаще всего предполагалось, что это был метод спуска, но тогда сам Ферма вряд ли назвал его «поистине удивительное доказательство». Также не мог он применить и метод Куммера, от которого был получен наилучший результат в доказательстве ВТФ за последние 170 лет. Но может быть у него, кроме метода спуска, были ещё и другие методы?
Да, действительно и об этом в подробностях рассказывает в своем трактате «Новое открытие в искусстве анализа» Жак де Бильи (Jacques de Billy) [36]. Там он подробно излагает методы Ферма, позволяющие ему находить сколько угодно решений в системах из двух, трех и большего числа уравнений, а его предшественники Диофант, Баше и Виет в лучшем случае находили лишь одно решение. После демонстрации методов Ферма для решения двойных равенств Бильи указывает и на главный вывод, который отсюда следует: Этот род действий служит не только для решения двойных равенств, но и для любых других уравнений.
Теперь остается лишь выяснить, как можно использовать систему из двух уравнений для доказательства ВТФ? Очевидно, что математики просто не обратили внимания на такую явную подсказку со стороны Ферма или не поняли её смысла. Но для нас-то это не проблема, мы ведь можем заглянуть в тайник и покопаться в «еретических письменах»! Опираясь на то, что нам уже удалось восстановить из работ Ферма, мы можем теперь приступить к раскрытию и этой величайшей тайны науки, указав ещё и на эффективный метод, позволяющий решить проблему доказательства ВТФ.
Как это ни удивительно, суть этого метода оказалась довольно проста. В случае, когда есть столько уравнений, сколько в них неизвестных, то такая система решается путем обычных подстановок. Но если есть лишь одно уравнение с несколькими неизвестными, то бывает очень трудно установить, может ли оно вообще иметь какие-то решения в целых числах. В этом случае числа, предполагаемые как решения, можно выразить в виде ещё одного уравнения, под названием «Ключевая формула», и тогда результат можно получить через решение системы из двух уравнений. Похожие приёмы, когда одни числа выражаются через другие, применялись математиками всегда, но суть ключевой формулы в другом – она формирует именно то число, которое отражает суть проблемы, и это очень упрощает путь к решению исходного уравнения. В таких подходах и методах, опирающихся на понимание сущности числа, собственно, и заключается основное превосходство Ферма над другими учёными50.
Чтобы стало возможно следовать по тому пути, который когда-то уже был проложен Ферма, нужно найти начальное звено из цепи событий, приводящих к появлению ВТФ, иначе шансов на успех будет крайне мало, т.к. всё остальное уже исхожено вдоль и поперёк. И вот если мы именно так поставим вопрос, то неожиданно обнаружим, что это самое начальное звено ещё с 1670 года было у всех на виду, однако с тех самых пор, никто на него ровным счётом никакого внимания не обращал. А ведь речь идёт о той самой задаче под номером 8 из книги II «Арифметики» Диофанта, к которой и было написано замечание Ферма, ставшее затем знаменитой научной проблемой. Все-то думали, что эта простая на вид задачка никаких сложностей для науки не представляет и только один Ферма был иного мнения и много лет трудился над её решением. В итоге он не только его получил, но в придачу к этому обеспечил своему имени неувядаемую мировую славу.
4.1.2. Задача Диофанта
Книга под названием «Арифметика» Диофанта очень старая, но вероятно она появилась не в III, как это считалось до недавнего времени, а в XIV или XV столетии. По тем временам, когда ещё не было печатных изданий, это был очень внушительный по объёму манускрипт, состоящий из 13 книг, из которых только шесть дошли до нас. В сегодняшнем печатном виде – это совсем небольшая книжка объёмом чуть более 300 стр. [27, 2].
В 1621 году во Франции появилось издание этой книги на греческом языке оригинала с латинским переводом и замечаниями издателя, которым был Баше де Мезириа́к (Bachet de Méziriac). Это издание стало основой для работ Ферма по арифметике. Содержание книги составляют 189 задач и для всех даны решения. Среди них есть как довольно простые, так и очень трудные задачи. Но поскольку они решены, то создаётся ложное впечатление о том, что эти задачи не образовательные, а скорее развлекательные, т.е. они нужны не для того, чтобы формировать науку, а для проверки на сообразительность. В те времена по-другому и быть не могло, поскольку даже просто грамотных людей, умеющих читать и писать, было наперечёт.
Однако с точки зрения научной значимости представленных здесь задач и их решений, создание такой книги, не то, что средневековому Диофанту, но и всем учёным за всю обозримую историю было бы абсолютно невозможно. Более того, даже хотя бы должным образом усвоить содержание «Начал» Евклида и «Арифметики» Диофанта стало непосильной задачей для всей нашей науки. Тогда, естественно, возникает вопрос, как же всё-таки авторы этих книг сумели создать такие творения? Конечно, у науки он тоже возникал, но вместо ответа она хранит пока лишь своё гордое молчание. Ну что же, тогда ничто нам и не препятствует высказать здесь свою версию.
По всей видимости, это были каким-то образом сохранившиеся, а затем восстановленные письменные источники знаний погибшей в более ранние времена высокоразвитой цивилизации. Прочитать и восстановить их могли только особо одарённые люди, с экстрасенсорными способностями, позволяющими понимать письменные источники, независимо от носителя и языка, на котором они были изложены. Евклид, который вероятнее всего был царём, задействовал целый коллектив таких людей, а Диофант справился один, так и появилось авторство того и другого, хотя фактически над книгами работали не учёные, а всего лишь переписчики и переводчики.
Но вернёмся теперь к той самой задаче 8 из второй книги «Арифметики» Диофанта:
Данное число в квадрате разложить на сумму двух квадратов.
В примере Диофанта число 16 раскладывается на сумму двух квадратов и его метод даёт одно из решений 42=202/52=162/52+122/52, а также бесчисленное множество других подобных решений51. Но ведь это же не решение задачи, а всего лишь доказательство того, что любой целочисленный квадрат сколько угодно раз можно составить из двух квадратов, либо в целых, либо в дробных рациональных числах.
Отсюда следует, что практическая ценность метода Диофанта ничтожна, поскольку с точки зрения арифметики дробные квадраты – это бессмыслица типа, скажем, треугольных прямоугольников или чего-то в этом роде. Очевидно, что эта задача должна решаться только в целых числах, но у Диофанта такое решение отсутствует и, естественно, Ферма стремится сам решить эту задачу, тем более что вначале ему она видится совсем не сложной.
Итак, пусть в уравнении a2+b2=c2 дано число c и нужно найти числа a и b. Проще всего найти решение, разложив число c на простые множители: c=pp1p2…pk; тогда c2=p2p12p22…pk2=p2(p1p2…pk)2=pi2N2
Теперь становится очевидно, что число c2 раскладывается на a2+b2 только в том случае, если хотя бы одно из чисел pi2 также раскладывается на сумму двух квадратов52. Так ведь это же замкнутый круг, поскольку нужно опять число в квадрате разложить на сумму двух квадратов. Но ситуация уже совсем иная, т.к. теперь-то нужно раскладывать простое число в квадрате и это обстоятельство становится основой для решения поставленной задачи.
Если решение возможно, то должны существовать такие простые числа, которые раскладываются на сумму двух квадратов и только в этом случае в соответствии с тождеством пифагорейцев можно получить: pi2=(x2+y2)2=(x2−y2)2+(2xy)2
т.е. квадрат такого простого числа будет также суммой двух квадратов. Отсюда появляется поистине грандиозное научное открытие Ферма53:
Все простые числа типа 4n+1 единственным образом раскладываются на сумму двух квадратов, т.е. уравнение p=4n+1=x2+y2 имеет единственное решение в целых числах. А все остальные простые числа, относящиеся к типу 4n−1, не могут быть разложены таким же образом.
В письме-завещании Ферма показано, как это удивительное утверждение может быть доказано методом спуска. Однако доказательство Ферма не сохранилось и эту задачу решил Эйлер, которому пришлось для этого в течение целых семи лет задействовать всю свою интеллектуальную мощь54. Теперь уже решение задачи Диофанта выглядит очевидным. Если среди простых множителей числа c нет ни одного относящегося к типу 4n+1, то и число c2 не может быть разложено на сумму двух квадратов. А если хотя бы одно такое число pi есть, то через тождество пифагорейцев можно получить:
c2= N2pi2=(Nx)2+(Ny)2 где x=u2−v2; y=2uv; a=N(u2−v2); b=N2uv
Решение получено, однако Ферма оно явно не устраивает, поскольку чтобы вычислить число N, нужно разложить число c на простые множители, а эта задача во все времена считалась едва ли не самой трудной из всех задач в арифметики55. Затем нужно ещё вычислить числа x, y, т.е. решить задачу о разложении простого числа типа 4n+1 на сумму двух квадратов. Над решением этой задачи Ферма работал почти до конца своей жизни.
Вполне естественно, что, когда есть желание упростить решение задачи Диофанта, появляется и новая идея получения общего решения уравнения Пифагора a2+b2=c2 способом, отличным от тождества пифагорейцев. Как это зачастую бывает, новая идея вдруг неожиданно возникает после пережитых сильных потрясений. Видимо, так и случилось в период эпидемии чумы 1652 года, когда Ферма только каким-то чудом удалось выжить, но именно после этого он уже вполне отчётливо представлял себе, как можно решить уравнение Пифагора новым способом.
Впрочем, способ ключевой формулы для Ферма не был новым, но когда он эту формулу вывел и сразу же получил новое решение уравнения Пифагора, то был настолько этим поражён, что долго не мог прийти в себя. Ведь до этого для получения одного решения нужно задать в тождестве пифагорейцев два целых числа, а при новом способе получается, как минимум три решения, если задать только одно целое число.
Но самое удивительное здесь то, что применение этого нового способа не зависит от показателя степени и его можно применить для решения уравнения с более высокими степенями, т.е. вместе с уравнением a2+b2=c2 можно решать таким же способом и an+bn=cn с любыми степенями n>2.
Чтобы получить итоговый результат оставалось преодолеть лишь некоторые технические трудности, с которыми Ферма справился успешно. Вот так и появилось ставшее знаменитым его замечание к задаче 8 книги II «Арифметики» Диофанта:
Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.
См. рис. 3 и перевод в конце п. 1.
4.2. Доказательство Ферма
Представленное здесь реконструированное доказательство ВТФ содержит неизвестные сегодняшней науке новые открытия. Однако от этого оно ничуть не становится трудным для понимания. Наоборот, именно эти открытия и позволяют решить эту проблему наиболее просто и доступно. Сам феномен недоказуемой ВТФ вообще не появился бы, если бы Французская Академия наук была создана ещё при жизни П. Ферма. Тогда он стал бы академиком и публиковал свои научные исследования, а среди его теорем во всех учебниках по арифметике была бы и вот такая самая обычная теорема:
Для любого заданного натурального числа n>2 не существует ни одной тройки натуральных чисел a, b, c согласно уравнению
an + bn = cn (1)
Для доказательства этого утверждения, предположим, что числа a, b, c, удовлетворяющие (1), существуют и тогда, исходя из этого, мы можем получить все без исключения решения этого уравнения в общем виде. С этой целью мы задействуем метод ключевой формулы, при котором к исходному уравнению добавляется ещё одно уравнение, чтобы стало возможно получить решение (1) в системе из двух уравнений. В нашем случае ключевая формула имеет вид:
a + b = c + 2m (2)
где m натуральное число.
Для получения формулы (2) отмечаем, что a≠b, т.к. иначе 2an=cn, что очевидно невозможно. Следовательно, a
Вначале проверим действенность метода для случая n=2, или уравнения Пифагора a2+b2=c2. Здесь действует ключевая формула (2) и можно получить решение системы уравнений (1), (2), если сделать подстановку одного в другое. Чтобы её упростить, возведём в квадрат обе стороны (2), чтобы сделать числа в (1) и (2) соразмерными. Тогда (2) принимает вид:
{a2+b2−c2}+2(c−b)(c−a)=4m2 (3)
Подставляя уравнение Пифагора в (3), получаем:
AiBi=2m2 (4),
где с учетом формулы (2): Ai=c−b=a−2m; Bi=c−a=b−2m (5)
Теперь раскладываем на простые множители число 2m2, чтобы получить все варианты AiBi. Для простых чисел m всегда есть только три варианта: 1×2m2=2×m2=m×2m. В этом случае A1=1; B1=2m2; A2=2; B2=m2; A3=m; B3=2m. Поскольку из (5) следует a=Ai+2m; b=Bi+2m; а из (2) c=a+b−2m; то в итоге получаем три решения:
1. a1=2m+1; b1=2m(m+1); c1=2m(m+1)+1
2. a2=2(m+1); b2=m(m+2); c2= m(m+2)+2 (6)
3. a3=3m b3=4m; c3=5m
Уравнения (6) являются решениями уравнения Пифагора для любого натурального числа m. Если же число m составное, то соответственно увеличивается и число решений. В частности, если m состоит из двух простых множителей, то число решений возрастает до девяти57.
Таким образом, мы имеем новый способ вычисления всех без исключения троек чисел Пифагора, задавая при этом только одно число m, вместо двух чисел, которые нужно задавать в тождестве пифагорейцев. Однако полезность этого метода только этим не исчерпывается, поскольку эта же ключевая формула (2) действительна и для получения общего решения уравнений с более высокими степенями.
Используя способ получения решений (1) для случая n=2, можно точно также получить решения и для степеней n>2, выполнив подстановку (1) в (2), и возведя предварительно обе стороны (2) в степень n. Чтобы это можно было сделать, выведем вначале следующую формулу58:
(x+y)n=zn=zzn-1=(x+y)zn-1=xzzn-2+yzn-1=
=x(x+y)zn-2+yzn-1=x2zzn-3+y(zn-1+xzn-2)+…
(x±y)n=zn=xn±y(xn-1+xn-2z+xn-3z2+…+xzn-2+zn-1) (7)
Назовём выражение в скобках, состоящее из n слагаемых, «симметричный полином» и будем представлять его в виде (x++z)n как сокращённый вариант написания. Теперь по формуле (7) возведём обе стороны формулы (2) в степень n следующим образом.
[a−(c−b)]n=an+{bn−cn+(cn−bn)}−(c−b)[an-1+an-22m+…+ a(2m)n-1+(2m)n-1]=(2m)n
Затем посредством тождества
(cn−bn)=(c−b)(cn-1+cn-2b+…+cbn-2+bn-1), получаем:
{an+bn−cn}+(c−b)[(c++b)n−(a++2m)n]=(2m)n (8)
Уравнение (8) является формулой (2), возведённой в степень n, в чём можно убедиться, если подстановкой c−b=a−2m в (8) получить тождество59:
{an+bn−cn}+(cn−bn)−[an−(2m)n]=(2m)n (9)
В этом тождестве натуральные числа a, b, c, n, m, естественно, могут быть любыми. Вопрос только в том, есть ли среди них такие, что {an+bn−cn} равно нулю? Однако аналогия с решением уравнения Пифагора на этом и заканчивается, т.к. подстановка (1) в (8), никак не обоснована. И действительно, при подстановке (1) в (3) хорошо известно, что уравнение Пифагора имеет сколько угодно решений в натуральных числах, а для случаев n>2 такого факта нет ни одного. Следовательно, не исключается подстановка в (8) несуществующего уравнения (1), что должно привести к противоречиям.
Тем не менее, такая подстановка легко выполнима и в итоге получится уравнение, очень похожее на (4), которое даёт решения уравнения Пифагора. Учитывая это обстоятельство, мы в качестве пробы всё-таки подставим (1) в (8), но при этом модифицируем (8) так, чтобы за квадратные скобки был вынесен ещё один множитель (c−a) 60. Тогда получим:
AiBiEi=(2m)n (10)
где Ai = c−b=a−2m; Bi=c−a=b−2m; Ei – полином степени n−2.
Уравнение (10) является призраком, который видится явно только на фоне предположения, что число {an+bn−cn} сокращено при подстановке (1) в (8). Но стоит его хотя бы один раз тронуть, как оно сразу рассыпается в прах. Например, если
Ai×Bi×Ei=2m2×2n-1mn-2
то как один из вариантов может быть такая система
AiBi=2m2
Ei=2n-1mn-2
В этом случае, как мы уже установили выше, из AiBi=2m2 следует, что для любого натурального числа m решениями уравнения (1) должны быть числа Пифагора. Однако при n>2, эти числа явно не подходят, а проверить какой-то другой случай уже нет никакой возможности, т.к. в данном случае, (как и при любом другом варианте отсутствия решений), другая подстановка будет уже точно неправомерна и уравнение-призрак (10), из которого только и можно получить решения, исчезает 61. Поскольку прецедент с неудачной попыткой получения решений уже создан, то можно не сомневаться в том, что и все другие попытки получить решения из (10) будут неудачными, из-за того, что как минимум в одном случае условие {an+bn−cn}=0 не выполняется, т.е. уравнение (10) получено подстановкой несуществующего уравнения Ферма (1) в ключевую формулу (2). Следовательно, натуральные числа a, b, c, удовлетворяющие уравнению (1) при n>2, не могут существовать, и Великая теорема Ферма доказана.62
Итак, теперь мы имеем восстановленное авторское доказательство самой знаменитой теоремы Ферма. В нём есть интересные идеи, но в то же время нет ничего такого, что для науки могло быть недоступно в течение более трёхсот лет. Также и с точки зрения трудности понимания его сути оно тянет от силы на 8-й класс средней школы. Несомненно и то, что ВТФ является очень важной составной частью теории чисел. Однако нет никаких видимых причин тому, чтобы эта задача на века стала неразрешимой проблемой, даже несмотря на то, что в поисках её решения приняли участие миллионы профессиональных учёных и любителей. Только и остаётся теперь сокрушаться – вот ведь какой он, этот нечестивый!
После того как с восстановлением доказательства ВТФ всё завершилось так благополучно, многие будут разочарованы, т.к. теперь сказке конец, тема закрыта и ничего здесь интересного не осталось. Но так было раньше, когда в арифметике были только ребусы, а мы-то знаем, что это не так, поэтому для нас сказка не только не закончилась, а даже ещё и не началась! Ведь мы пока раскрыли секрет только двух записей Ферма из шести, восстановленных нами в начале нашего исследования. Чтобы это стало возможно, мы совершили остросюжетный исторический экскурс, в котором ВТФ была путеводителем экстра класса. Это путешествие подвигло нас задействовать наши возможности и заглянуть в эти запретные «еретические письмена» Ферма, чтобы сделать, наконец-то, истинную науку в лице самой фундаментальной дисциплины арифметики, доступной для нашей разумной цивилизации и позволяющей ей на этом сверхпрочном фундаменте развиваться и процветать так, как никогда прежде.
Мы можем честно признаться, что пока ещё не всё, что находится в тайнике Ферма, доступно и понятно для нас. Более того, мы не можем даже определить, где находится это место. Но и заявлять, что всё, что мы здесь рассказываем – это только наше, было бы явно несправедливо и нечестно. Да нам просто бы никто тогда и не поверил. С другой стороны, если бы всё было так просто, то это было бы совсем никому и не интересно. Самое плохое, что можно было бы сделать – это раскрыть всё содержание тайника Ферма, чтобы о нём все забыли сразу после прочтения.
Мы поступим по-другому. Если что-то и будет раскрыто, то лишь для того, чтобы дать возможность узнать о ещё более сокровенных тайнах науки, которые не просто сделают всех умнее, а укажут лучшие способы решения насущных проблем. На примере решения проблемы ВТФ в этом будет совсем нетрудно убедиться, поскольку именно с её решением наука получает такую надёжную точку опоры, что сможет выполнять с целыми степенями всё, что пожелает. В частности, она запросто вычислит сколько угодно таких целых степеней, которые в сумме или в разности опять-таки дадут целую степень. То, что сейчас такую работу может перелопачивать только компьютер, для современной науки очень стыдно, ведь эта задачка слишком проста даже для детей.
Наиболее смышлёные из них явно предпочтут, чтобы взрослые попросили их разъяснить что-то более трудное, например, доказательство ВТФ, которое в их времена было совершенно им недоступно. Дети, естественно, не преминут поозорничать и будут важничать как великосветские вельможи, при ответах на глупые вопросы взрослых поучая и указывая им, что кое кому не мешало бы ещё кое чему и подучиться. Но это будут ещё только цветочки. А вот дальше изумление взрослых станет просто неописуемым, когда они узнáют, что дети повадились подсматривать и списывать всё, что их интересует прямо из тайника Ферма! Ведь в их-то возрасте они ещё не осознают своих возможностей и им кажется, что это совсем нетрудное дело.
Впрочем, если бы они не читали интересные книжки про науку, то такая идея им бы и в голову не пришла. Но когда они узнáют, что кто-то так делает, то обнаружат, что у них это получается совсем не хуже, если даже не лучше! Не верите? Ну что же, всем желающим убедиться в этом такая возможность сейчас представится. Правда, остаётся ещё одна маленькая деталь. Ферма в своих «еретических письменах», хоть и указал, что три простенькие теоремы для детей, которые он специально для них и подготовил, нужно ещё снабдить доказательствами, но пока у него для этого нет времени, тем не менее твёрдо пообещал, что как только оно у него появится, то он непременно и обязательно это сделает.
Но видимо недосуг ему было, и он так не успел добавить нужные записи. А может быть он и передумал, т.к. не хотел лишать детей радости самим научиться решать как раз такие задачки, которые взрослым не по силам. Если дети даже не справятся, то кто же упрекать-то будет за это. А вот если справятся, то никуда уж взрослые не денутся и много-много подарков им тогда принесут!
4.3. Теоремы о волшебных числах
Приведенное выше доказательство ВТФ не только соответствует оценке Ферма как «поистине удивительное», но и является конструктивным, поскольку оно позволяет вычислять новым способом как числа Пифагора, так и другие особые числа, что демонстрируют следующие теоремы.
Теорема 1. Для любого натурального числа n можно вычислить сколько угодно троек из разных натуральных чисел a, b, c, таких, что n=a2+ b2–c2. Например,
n=7=62+142–152=282+1282–1312=5682+51882–52192=
=1783282+53001459282–53001459312 и т. д.
n=34=112+132 –162=3232+30592–30762=
=2475972 +20434758052–20434758202 и т. д.
Смысл этой теоремы в том, что если существует бесконечное множество пифагоровых троек, образующих число ноль в виде: a2+b2−c2=0; то ничто не мешает создавать таким же образом и любое другое целое число. Из текста теоремы следует, что числа с такими свойствами «можно вычислить», поэтому она очень полезна для использования её в целях обучения детей в школе.
Мы в данном случае не поступим опрометчиво и не дадим ни здесь, ни где-нибудь в другом месте доказательства этой теоремы, но вовсе не потому, что хотим сохранить его в секрете. Более того, мы будем рекомендовать и для школьных учебников или других книг, (если, конечно, она там появится), не раскрывать доказательство, т.к. иначе её образовательное значение будет утрачено, а дети, которые могли бы проявить здесь свои способности, лишатся такой возможности. С другой стороны, если бы доказательство ВТФ оставалось бы неизвестным, то теорема 1 была бы очень трудной, но поскольку это теперь не так, то даже не очень способные ученики быстро догадаются как её доказать и, как только они это сделают, то легко выполнят приведенные выше вычисления. Тем более не может быть проблемой такая задача для учителей, поэтому помещать доказательство в учебниках будет методологической ошибкой. Также нужно поступить и с теоремами 2 и 3, которые будут уже для настоящих волшебников, а потому и значительно более трудные. Ключ к их доказательству находится в доказательстве теоремы 1, причём он лежит там на виду буквально у всех под носом, но он так искусно скрыт от непосвящённых, что увидеть его дано не всем. Если же не последовать нашей рекомендации и доказательства теорем 1, 2, 3 опубликовать в учебниках, то дети уже не смогут сами своими силами разгадать секрет волшебной сказки. Итак, из теоремы 1 теперь следует: