Чудеса арифметики от Пьера Симона де Ферма
Обычно образ науки представляется как упорядоченная система знаний обо всем, что можно наблюдать в окружающем нас мире. Однако образ этот иллюзорный и на самом деле никакой упорядоченности в науке нет, поскольку она формируется не развитием знаний от простого к сложному, а всего лишь историческим процессом появления новых теорий. Классический пример – это аналитическая геометрия Декарта – Ферма, где, по сравнению с геометрией Евклида, наука видит лишь удобное для аналитики представление числовых функций в системе координат, но никак не оценивает качественный переход от натурализованных элементов, (точка, линия, поверхность и т.п.), к числам1.
Казалось бы, это настолько несущественно, что не может иметь каких-то последствий, однако по иронии судьбы именно после расширения числовой оси до числовой плоскости наука была безнадежно скомпрометирована, т.к. вдруг выяснилось, что такое представление чисел не подчиняется основной теореме арифметики о том, что разложение целого числа на простые множители всегда единственно возможное. Но тогда должен быть сделан и соответствующий вывод о том, что никакой числовой плоскости не существует и всё, что с ней связано должно быть списано в архив истории.
Но не тут-то было! Если в науке нет упорядоченности, то нет и никаких оснований для привязки новых знаний к более ранним. Потому для учёного мира вовсе и не новость, что для числовой плоскости основная теорема арифметики не действует. Это было известно ещё полтора столетия назад и никому даже в голову не пришло отказаться от этой идеи. За это время столько всего было понаделано, что вот так просто взять и всё это выбросить ну никак не представляется возможным. Ведь многие «специалисты» с их «научными» исследованиями могут потерять работу, а все монографии, справочники и учебники по этой теме разом превратятся в тонны макулатуры2.
Да, никого из деятелей науки не удивишь тем, что основная теорема арифметики может не выполняться, они и не к такому уже привыкли. Но вот чем они очень даже будут удивлены, так это тем, что до сих пор никому не удалось её доказать! Все «доказательства» этой теоремы в учебниках и в Интернете либо явно ошибочны, либо с душком. Но ведь тогда получается, что с одной стороны, наука сама себя лишает легитимности, т.к. не признаёт фундаментальную теорему, на которой она сама и держится, а с другой стороны, она в течение всей своей истории просто была не в курсе того, что у неё нет доказательства этой самой теоремы3.
И как теперь быть? Можно ли воспринимать этот вопиющий факт иначе как деградацию науки в самих её основах? Кому-то такой вывод может показаться слишком уж категоричным, но, к сожалению, для сегодняшней науки это ещё очень мягко сказано. Экая невидаль, какая-то теорема не действует. А как быть с тем, когда не действует закон сохранения энергии? Ведь сегодняшняя астрофизика просто не мыслит себя без «теории большого взрыва», по которой все галактики во Вселенной разлетаются в разные стороны как пушинки. И вот такая полоумная фантасмагория на полном серьёзе представляется сегодня как одно из величайших «научных» достижений, а фиговые листочки типа «скрытая энергия» и «тёмная материя» запросто закрывают проблемы с пресловутыми законами сохранения.
На фоне имеющихся у науки действительно выдающихся достижений, можно не сомневаться, что этот вирус тёмной напасти, проникший в сами её основы, не мог возникнуть ниоткуда и явно привнесён извне. Злонамеренный характер вируса раскрывает и то обстоятельство, что он всегда прячется под личиной «благих намерений». А раз так, то и задача избавления от напасти упрощается, т.к. это всего лишь козни нечестивого, от которых у настоящей науки всегда имелся достаточно надёжный иммунитет.
Однако для данного конкретного вируса этот иммунитет стал действовать совершенно особым образом. Вдруг откуда ни возьмись появилась немудрёная на вид задачка под названием «Великая теорема Ферма» (ВТФ), которую никто не мог доказать, и это несмотря на обещанные премии и почести. Она просто издевалась над всеми, кто пытался найти решение независимо от того, был ли это амбициозный претендент на премию или величайший ученый. С ВТФ даже опасались связываться, чтобы ненароком не подмочить свою репутацию.
Эта увлекательная игра с заведомо провальным результатом затянулась на века и в конце концов так всех измучила, что эту проблему нужно было как-то закрыть. Очень серьезные люди приняли решение – задачу решить, премии выплатить. Ну давно бы так! Сказано – сделано…, впрочем, о том, что было дальше, мы расскажем в следующем пункте нашей работы. Но это будет только присказка, т.к. для проникновения в суть этого удивительного явления нам придётся неким необычным образом вернуться обратно в прошлое. И тогда в результате наших исследований выяснится, что эта задачка-то была давным-давно решена ещё в XVII веке, когда во Франции начал править король-солнце Людовик XIV, а ему верно служили два гасконца, один из них – это известный всем из романов А. Дюма королевский мушкетёр месье Д’Артаньян, а другой – его ровесник и земляк сенатор из Тулузы месье де Ферма.
История не сохранила для нас в письменном виде всего того, что было бы нам особенно интересно, поэтому ничего и не остаётся иного, как попытаться восстановить некоторые события, причём весьма необычным способом, о чём мы также ещё расскажем. Однако хорошо известно, что этот сенатор ещё при жизни прославился тем, что предлагал знатным вельможам простенькие на вид арифметические задачки, которые почему-то никто не мог решить. А вот о той самой диковинной и недоказанной до сих пор теореме он, видимо, не успел, (а может и не пожелал), никому сообщить, поэтому её также часто называют «Последняя теорема Ферма».
Особенно любопытен тот факт, что не сохранилось ни единой бумажки от рукописей его научных трудов по арифметике, причём даже тех, которые были изданы после его смерти. Исключением являются только письма, собранные от разных его респондентов. Этот странный факт свидетельствует о том, что имел место какой-то удивительный и даже невероятный ход событий, приведший к такой ситуации, и установление одного только этого факта очень существенно меняет всю ту картину, которая исследователям представлялась до сих пор.
Ведь они-то полагали, что у Ферма не могло быть доказательства этой его последней теоремы и всяческими доводами это обосновывали. Но тогда им нужно быть последовательными и настаивать на том, что и все другие свои задачи Ферма тоже решить не мог, т.к. он в своё оправдание не оставил нам никаких объяснений. Вот когда их решили такие гиганты науки как, скажем, Эйлер или Гаусс, ну тогда совсем другое дело и можно допустить, что Ферма может быть тоже мог их решить. Но вот если даже они не справились, то доверять словам, смахивающим на пустое бахвальство, наука никак себе позволить не может.
В нашем исследовании мы пойдём другим путём и будем исходить из того, что доказательство последней теоремы Ферма вне всяких сомнений должно было быть записано на бумаге хотя бы в эскизном варианте. Но если это так, то куда же оно могло запропаститься, причём вместе со всеми остальными бумагами? Ответ на этот вопрос может пролить свет на исцеление от упомянутой выше напасти, приведшей к тому, что по непонятным причинам вот это самое доказательство на целых три с половиной столетия стало не только нерешаемой проблемой, но и настоящим камнем преткновения для науки.
Загадки, которые нам предстоит теперь исследовать, видятся вначале как случайное столкновение всякого рода больших и маленьких историй, однако в этом кажущемся хитросплетении событий есть своя довольно жёсткая логика. Так случилось, что время жизни и деятельности Ферма совпало с переломным этапом истории, когда происходил медленный и очень болезненный переход к эпохе Возрождения после долгого периода ужасающего гнёта инквизиции, не терпящей передовой научной мысли и организовавшей во Франции массовое истребление протестантов-гугенотов католиками. С учётом этого обстоятельства, появляется возможность объяснить такие факты и события, которые с позиций более позднего времени выглядят очень странными и непонятными. В частности, следует отметить, что в те времена, особенно для людей незнатного происхождения, было бы очень опасно иметь у себя дома даже совсем безобидные записки с формулами и вычислениями, которые могли бы трактоваться как очень опасные для их обладателей письмена еретического содержания.
Отец Пьера Домини́к Ферма (Dominique Fermat) был богатым купцом, но не имел дворянского титула. В 1601 году у него родился сын Пьер, о чём имеется запись в церковной книге, однако его мать Франсуаза Казнёв, (Françoise Cazeneuve), и её ребёнок умерли, не прожив после родов и трёх лет. Если бы ребёнок всё же выжил, то без знатного происхождения у него не было бы никаких шансов стать ни сенатором, ни тем более великим учёным. А когда после утраты первой жены Доминик женился на имеющей дворянские корни Клэр де Лон (Claire de Long), то это и обеспечило саму возможность появления будущей знаменитости [16].
Пьер Симон де Ферма, (Pierre Simon de Fermat), родился не в 1601, как это считалось до сих пор, а в 1607, (или в 1608), году [1] в местечке Бомон де Ломань недалеко от Тулузы. С детства он выделялся таким дарованием, что Доминик Ферма не жалел средств на его образование и отправил на обучение сначала в Тулузу, (1620 – 1625 гг.), а затем в Бордо и Орлеан (1625 –1631 гг.). Пьер не только хорошо учился, но и проявил блестящие способности, которые вместе с родственными связями по линии матери и финансовой поддержкой отца, дали ему все возможности получить лучшее образование по специальности юриста. Во время учебы молодой будущий сенатор Пьер Ферма очень увлекался чтением научной литературы и так проникся идеями великих мыслителей, что и сам ощутил в себе стремление к научному творчеству. Для того, чтобы больше узнать о том, что его особенно интересовало, он овладел пятью языками4 и с упоением зачитывался трудами классиков того времени. В конечном итоге он заслуженно получил самое высокое образование, которое было возможно в те времена и в глубине души лелеял мечту о том, чтобы получить возможность продолжать трудиться на поприще науки.
Если бы поддержка карьерного роста Пьера Ферма на том и завершилась, то и речи бы не могло быть о будущем сенаторе, т.к. даже простая адвокатская деятельность требовала в те времена высочайшего соизволения свыше. Отсюда становится понятно, почему решающим шагом в родительской опеке Пьера стала его женитьба в 1631 г. на Луизе де Лон, (Louise de Long), дальней родственнице (четвероюродной племяннице) его матери. Понятно, что такое решение никак не могло быть спонтанным, тем более что родственные браки могли заключаться только с разрешения Папы Римского.
И вновь деньги Доминика Ферма решили эту совсем не простую проблему. Отец Луизы был советником тулузского парламента и, будучи на службе у короля Людовика XIII, получил дворянский титул, поэтому у Пьера не было проблем с трудоустройством. Но вот рассчитывать на то, что дальше всё пойдёт легко и гладко, было бы заблуждением. После окончания учёбы, женитьбы и начала работы действительность виделась Пьеру совсем не такой радужной. Серые будни суеты в зарабатывании средств на хлеб насущный шли день за днём и не оставляли никаких надежд на то, чтобы заниматься наукой. И тогда это было ещё очень большим благом иметь в рамках адвокатской деятельности возможности поддерживать хоть и не роскошное, но всё же безбедное житие в те тяжёлые для Франции времена.
Новая опасность для Пьера появилась неожиданно. Очередная эпидемия чумы унесла жизнь его тестя и это могло очень плохо отразиться на его судьбе. Однако к тому времени он уже сумел установить дружеские связи с другими сенаторами, что открыло ему дорогу в парламент и в итоге позволило обратить несчастье в свою пользу. С помощью изрядной порции денег Доминика он всё же сумел занять освободившуюся должность чиновника по приёму жалоб в кассационной палате Тулузского парламента.
Биографы Пьера Ферма оценивают его карьеру как просто блестящую, но при этом упускают из виду одну очень существенную деталь. Именно такая вот карьера наглухо закрывает ему все даже малейшие возможности заниматься наукой. Они не учли то обстоятельство, что есть королевское предписание, не допускающее на должности советников парламентов людей, занимающихся научными исследованиями, могущими противоречить Священному Писанию. Но поскольку Пьер стал сенатором, то это и поставит большой жирный крест на его мечтах заниматься наукой на профессиональной основе. Этот крест он будет нести до конца своей жизни.
Более того, как католик он не должен совершать ни одного смертного греха и обязан регулярно раз в году исповедоваться о совершённых им простительных грехах. В качестве такого простительного греха Пьер сообщает на исповеди о своей умеренной праздности при чтении книг «Арифметика» Диофанта Александрийского и «Задачи занимательные и приятные, связанные с числами». Риск впасть в немилость при таком грехопадении был невелик, ведь их издал абсолютно безупречный во всех отношениях Клод Гаспар Баше де Мезириа́к (Claude Gaspard Bachet de Méziriac), высокопоставленный учёный лингвист и будущий член Французской академии, учреждённой кардиналом Ришелье в 1635 году.
Рис. 6. Диофант Александрийский
Здесь, конечно, возникнет вопрос о тайне исповеди. Но если даже в наше время по отношению к католической церкви этот вопрос выглядит очень уж наивно, то что же говорить о временах, когда верховными исполнителями королевской власти были кардиналы. Все священники были обязаны информировать власти о том, чем живут их прихожане и особенно чиновники на государственных должностях. Информация от священников также была под контролем, для чего на места направлялись уполномоченные проверяющие.
Оно и понятно, что Пьер не мог ожидать ничего хорошего от встречи с таким проверяющим, но выбора у него не было и он был готов смириться с полной невозможностью своей мечты. Но тогда он ещё не мог знать о том, что ему предначертана иная судьба и она решалась именно в этот момент. Трудно даже представить себе его изумление, когда прибывший контролёр священник Марéн Мерсéнн (Marin Mersenne) оказался… страстным любителем и знатоком математики!!!
Рис. 7. Башé де Мезириа́к
Рис. 8. Марéн Мерсéнн
Пьер воспринял это как высшее чудо, дарованное ему с небес самим Всевышним. Да и как иначе это можно было понять, ведь преподобный отец Мерсенн сумел чудесным образом организовать для него возможность переписки с самим Рене Декартом (René Descartes), а также с другими элитарными представителями французской творческой аристократии, о чём прежде он не мог и мечтать. Проверку Пьер прошёл блестяще, когда он сумел решить по просьбе Мерсенна несколько задач и в частности быстро вычислить некоторые из так называемых совершенных чисел, причём таких, которые прежде были неизвестны, и вряд ли кто-то другой мог бы решить, или хоть как-то справиться с этими задачами.
Рис. 9. Ренé Декáрт
Историки в своих исследованиях видят только чистую случайность в совпадении интереса к числам Мерсенна и Ферма, а самого Мерсенна они представляют, как некоего чудака, действующего по собственной прихоти. Однако в реальной истории так не бывает и здесь должно быть более разумное объяснение событий. В этом смысле было бы куда более логично полагать, что Мерсенн был не более чем исполнителем некоего указания свыше, и т.к. он был выходцем из церковной знати, то такое указание мог ему дать только один человек – это был не кто иной, как кардинал Арма́н Жан дю Плесси́, герцог де Ришелье́ (Armand-Jean du Plessis, duc de Richelieu)!. Отсюда получается, что деятельность созданного Мерсенном кружка учёной знати не могла быть лишь его инициативой, а была санкционирована высшей властью того времени, иначе всему этому делу не дали бы развернуться, либо оно было бы свёрнуто вместе с кончиной Мерсенна в 1648 г. Однако его детище продолжало долго и успешно функционировать вплоть до создания Французской академии наук в 1666 году.
Рис. 10. Блез Паскаль
Что же касается Пьера Ферма, ставшего сенатором, то он оказался в сложном положении. Его способности стали теперь востребованы, но развивать их он мог только за свой счёт и без права опубликования, т.к. королевское предписание об ограничениях назначений на должности советников парламентов никто не отменял, а иных способов зарабатывать себе на жизнь у него не было. Вот так для будущих его оппонентов он предстанет затворником, не желающим делиться секретами своих научных открытий. Даже его друг Блез Паскáль (Blaise Pascal) в одном из писем искренне недоумевал, почему же он не публикует свои работы? На это Ферма также искренне отвечал, что он вовсе не желает, чтобы его имя фигурировало в печати. Ну не мог же он в самом деле ссылаться на высочайшее повеление, не допускающее на занимаемой им должности никакую научную деятельность.
Рис. 11. Пьер де Каркави́
Для Ферма всё складывалось так, что у него не было никакой возможности решить эту проблему иначе, как его прямым участием в подготовке королевского указа о создании Французской академии наук. На это указывает его переписка с Мерсенном и Пьером де Каркави́ (Pierre de Carcavy), который занимался подготовкой этого указа. Заветный дворянский титул Ферма получил только через 17 лет прилежной службы в 1648 году, став членом палаты эдиктов, которая регулярно собиралась в городке Кастр недалеко от Тулузы. Но это повышение по службе лишь увеличило его нагрузку на работе и ещё более ограничило его возможности заниматься наукой.
Но, как это ни парадоксально, в этой жизненной драме отчётливо видится воистину божественный промысел, возложивший на сенатора Пьера де Ферма особую миссию, нацеленную на то, чтобы уберечь науку от разрушения. В том раннем возрасте она ещё виделась прекрасным деревом, которое, разрастаясь, становилось всё более ценным и привлекательным. Но по мере развития науки присущие ей черты совершенства и гармонии стали потихоньку увядать, а образ прекрасного творения разума всё более походить на беспомощного уродца.
Эти первые признаки неблагополучия ещё тогда были замечены Ферма, т.к. его полемики с коллегами по переписке возникали на пустом месте. Оказалось, что у этого деревца почти нет корней. Это означает, что у науки нет достаточно прочного фундамента и ей грозит участь Пизанской башни. Тогда, чтобы это роскошное здание науки служило по назначению, все творческие силы надо будет задействовать не на развитие, а на то, чтобы не допустить его полного обрушения.
Для Ферма эта тема выходила за рамки его физических возможностей, и он рассматривал её только с точки зрения обобщения методов решения разных арифметических задач. Ведь арифметика – это не какая-то отдельная наука, а основа основ для всех других наук. Если нет арифметики, то и вообще никакой науки тоже нет. В этом смысле арифметические задачи, предложенные Ферма, получают особую значимость. Их особенность в том, что они приучают мыслить общими категориями, т.е. находить методы, регламентирующие возможности вычислений при решении широкого круга задач.
И вот ведь какой парадокс. О Диофанте, который дал решения почти двух сотен совсем не простых арифметических задач, ныне, если кто и вспоминает, то только в связи с именем Ферма. А о самом Ферма, который не оставил ни одного (!!!) доказательства своих теорем5 постоянно рассуждают все, кому не лень, уже четвёртое столетие подряд! Очень немногие из тех, кто смог решить хотя бы одну из задач Ферма, обеспечили себе мировую славу, а бесчисленное множество людей, потерпевших фиаско не могут найти этому никакого разумного объяснения и им не остаётся ничего иного, кроме как просто игнорировать сам этот факт.
Но как же мог появиться в истории науки такой удивительный феномен, когда столь знаменитым стал человек, который даже не был профессиональным учёным? Видеть здесь лишь случайное стечение обстоятельств было бы явно неразумно. Куда более логично исходить из того, что на каком-то этапе жизни Ферма стал осознавать, что в случае осуществления его планов публикации своих научных исследований, в лучшем случае его ожидает судьба Диофанта, уже тогда почти забытого. О Ферма, если и вспоминали бы, то только на фоне уничижительных и даже карикатурных мнений «экспертов».
Да оно, собственно, всё так и произошло, но эффект получился обратный. Никто и предположить не мог, что, благодаря Ферма, увлечение математикой примет такой массовый характер. Чем больше его оппоненты стремились его принизить, тем более популярным становилось его имя. Даже вымышленные писательской фантазией А. Дюма подвиги Д’Артаньяна были просто детскими шалостями в сравнении с тем, что в реальности совершил его земляк тулузский сенатор Пьер де Ферма. И всё-таки, как же этот провинциальный судейский чиновник смог достичь такого потрясающего результата?
Да очень просто, он же юрист, а потому и делал всё исключительно и только легально, поэтому и все работы, в которых его оппоненты могли усмотреть письмена «еретического содержания», оставил при себе. К тому же, он был не только человек выдающегося ума с немалым жизненным опытом, но ещё и гасконец. А хорошо известно, что люди такого типа даже очень серьёзные дела могут оборачивать в этакую непритязательную и шутливую обёртку. Вот мол почитывал иногда на досуге «Арифметику» Диофанта и на её полях делал пометки с некоторыми идеями по примеру уважаемого и достопочтенного Клода Баше, который выполнил при подготовке в 1621 году издания этой книжки не только латинский перевод, но и добавил в неё свои собственные замечания.
Ферма поступил точно также, т.е. подготовил к изданию как бы не свои работы, а эту же «Арифметику» Диофанта, (см. рис. 96 в Приложении VI), с теми же самыми замечаниями Баше и всего лишь добавил к ним 48 своих замечаний. Всё было подготовлено так, что каких-либо претензий к этой его книге или к нему самому, достопочтенному сенатору Пьеру де Ферма, просто и быть не могло. Но когда книга вышла в свет, то, в отличие от её прежних изданий, она всколыхнула весь учёный мир! Те самые замечания, сделанные якобы мимоходом на полях книги Диофанта, оказались настолько ценными, что позволили учёным очень заметно развивать науку, используя новые идеи Ферма в течение сотен лет! И всё было бы просто превосходно, если бы не вот эта его последняя теорема, не поддающаяся в учёных кругах никакому уразумению.
Казалось бы, чего же тут может быть необычного, да таких нерешённых задач в науке хоть пруд пруди. Но в том-то всё и дело, что сам автор теоремы объявил об имеющемся у него «поистине удивительном доказательстве», а вот наука никак не может получить хоть какое-то в течение уже 350 лет!!! Ведь это только в массовом сознании автор теоремы настоящий триумфатор, а для науки это же как кость в горле. Здесь уже налицо явные признаки болезни. Что же это за наука, которая за сотни лет школьную задачку одолеть не может? Да ладно бы одну задачку, не может наука признать и тот очевидный факт, что у неё также нет и необходимых для этого базовых знаний, которые были открыты Ферма ещё в те далёкие времена.
Утратила она не только способности осмысливать, но и ориентироваться в происходящих вокруг неё событиях. Как это так, нет знаний, да их кругом хоть завались! Это уж точно, «знаний» накопилось так много, что понять и усвоить всё это богатство стало выше человеческих сил и возможностей. Но на самом-то деле всё обстоит как раз наоборот. Есть очень ощутимая нехватка настоящих знаний, а преобладающая часть из всего, что было накоплено – это пустопорожнее перемалывание множества проблем, у которых либо вообще нет решений, либо и того хуже, когда в качестве исходных берутся сомнительные установки, на которых затем выстраивается умопомрачительные теории, порождающие, естественно, всякие парадоксы и противоречия. Тогда учёные всеми силами стремятся их преодолевать, но почему-то, если у них что-то и получается, то только с помощью ещё более умопомрачительных теорий.
Такой необычный характер наших представлений о науке может вызвать очень даже негативную реакцию. Но вот здесь-то мы можем признаться, что у нас были для этого очень веские основания, поскольку нам удалось заглянуть в те самые «еретические письмена» Ферма. Для пущей убедительности мы прямо здесь покажем один из примеров наших возможностей и точно воспроизведём реальный текст самой интригующей записи Великой теоремы Ферма на полях принадлежащего автору и неизвестно куда пропавшего экземпляра «Арифметики» Диофанта. Итак, на этом месте, (см. рис. 5), мы увидели несколько пометок к задаче под номером VIII, сделанных на латыни в разное время. В переводе они выглядят следующим образом: