Население Земли как растущая иерархическая сеть II

Как известно, в любой науке столько истины – сколько в ней математики. Предлагаемая здесь теория описывает гиперболический рост населения мира на языке математики. Язык этот тяжел для восприятия, поэтому автор настоятельно рекомендует при первом чтении лишь просмотреть математические выкладки. Прочитать нужно только «Основные определения» и «Выводы по растущим иерархическим сетям».

Математика здесь несложная, но необычная; автор не знает аналогов, хотя, возможно, они и существуют. Все вставки – работающие листинги из системы MathCAD, так что тем, кто умеет с ней работать – легко все проверить.

Основные определения

Сетью называется граф, в котором вершины (узлы) соединены между собой связями, в данном случае ненаправленными отрезками. Сеть, в которой каждый узел связан с каждым, называется гипертетраэдральной, а граф, обладающий таким свойством, – полным. (Только такие сети здесь и будем рассматривать.) Число связей, исходящих из одного узла, на единицу меньше числа узлов. Общее число связей S = N(N – 1)/2, например, сеть из пяти узлов содержит десять связей.

Рис. 1. Сеть, содержащая пять узлов; число связей S = 5·4/2 = 10.

Сеть, в которой число узлов равно 2R назовем гармонической, например, сеть из восьми узлов:

Рис. 2. Гармоническая сеть, содержащая 8 узлов; число связей равно 28.

Совершенной сетью назовем гармоническую сеть, содержащую число узлов, равное:

Где R – это ранг сети. Примеры совершенных сетей:

Рис. 3. R = 0, сеть содержит 2 узла, число связей равно единице.

Рис. 4. R = 1, сеть содержит 4 узла, число связей равно шести.

Рис. 5. R = 2, сеть содержит 16 узлов, число связей равно 120.

Дадим рекурсивное определение совершенной иерархической сети (СИС). Совершенной иерархической сетью ранга R назовем такую совершенную сеть ранга R, вершиной (узлом) которой является СИС ранга R − 1. Таким образом каждому узлу СИС сопоставляется также СИС, но на единицу меньшего ранга. Спускаясь по этой лестнице вниз, достигаем первого этажа, точнее подвала (R = 0) в этой метафоре (если отождествлять ранг с этажом), который назовем уровнем носителя.

Чтобы рекурсия заработала дополнительно определим СИС ранга нуль как СИС, которая состоит из двух элементов уровня носителя (или просто из двух носителей), соединенных связью. Под носителем при таком определении также понимается СИС, но СИС эта не представляется в данной упрощенной модели как вершина иерархии сетей меньшего ранга, а рассматривается лишь как наименьшая, неделимая далее и не имеющая ранга структурная единица иерархической сети. Выделенность носителя среди прочих СИС заключается еще и в том, что рост сети любого ранга происходит путем копирования ее носителей.

Следует отметить, что носитель сети в приложении рассматриваемой здесь математической модели к процессу гиперболического роста населения Земли – это не человек, а совершенная сеть, связанная с каждым обладающим сознанием человеком, сформировавшаяся на предыдущем этапе эволюции при переходе от млекопитающих к первым приматам.

Сеть, эволюция которой продолжалась и на гоминидном этапе универсальной эволюции. Эта сеть – клаттер-носитель – в определенном смысле бессмертна, она связана с человеком-носителем и так же как человек непрерывно эволюционирует на пути к Финалу. Рост сети – это рост числа ее клаттеров-носителей (см. ниже), вместе с которыми растет и население Земли. Поэтому под носителем сети будем понимать прежде всего клаттер-носитель, хотя в некоторых случаях, что будет ясно из контекста, под носителем будет пониматься и сам человек.

Ранг СИС может принимать в данной модели следующие значения: R = 0, 1, 2… СИС минимального ранга – ранга нуль – это тот кирпичик, из которого строятся все остальные иерархические сети:

Рис. 6. СИС ранга нуль, R = 0.

Рис. 7. СИС ранга один, R = 1.

Рис. 8. СИС ранга два, R = 2.

Число узлов совершенной иерархической сети равно числу носителей в узле. Гармонической иерархической сетью (ГИС) ранга R назовем такую иерархическую сеть, каждым узлом которой является СИС ранга R, и число узлов которой равно двойке в некоторой степени: 2n, n = 1, 2… R-1.

Если же число узлов иерархической сети, каждым узлом которой является СИС ранга R, не равно 2n, то такую сеть назовем несовершенной или просто иерархической сетью (ИС) ранга R. (Т. е. ранг такой, «просто иерархической сети», будем считать равным рангу ее сетеобразующего клаттера.) Узлы ее, т. е. сетеобразующие СИС будем называть клаттерами. Вес клаттера P определим как число носителей, которое он содержит:

Рис. 9. Вес клаттера сети ранга R.

Размер сети l – это число клаттеров, которое она содержит. Число носителей ИС равно произведению веса клаттера на ее размер: N = P·l. Число носителей СИС равно квадрату веса ее клаттера: Ns = P2. Пример:

Рис. 10. ИС ранга 3, размером в три клаттера, вес каждого равен 256.

Здесь мы дали определение биниальной иерархической сети (БИС), т. е. сети, клаттером которой является совершенная биниальная иерархическая сеть на единицу меньшего ранга. Теоретически можно рассмотреть тринитарную иерархическую сеть или даже сети более высокого порядка. Но, как утверждают сторонники биниальной парадигмы, приводя тому многочисленные примеры, именно дихотомическая (парная) структура прослеживается на всех иерархических уровнях организации макро и микромира.

Иначе говоря, все существующие природные объекты обнаруживают парность (биниальность, от лат. bini – пара), когда единое целое (атом, живая клетка, планета, звезда и т. д.) состоит только из двух частей (бинитаксонов), каждая из которых на нижеследующем иерархическом уровне вновь делится на две составляющие и т. д. Именно поэтому простейшая из возможных иерархических сетей, сеть минимального порядка, биниальная иерархическая сеть (в дальнейшем просто иерархическая сеть) лучше всего отвечает биниальной парадигме.

Далее, мы рассмотрим растущую, т. е. увеличивающую свой размер, а затем и ранг БИС и подберем для нее такой алгоритм роста, который наилучшим образом отвечает идее эволюции.

Растущая иерархическая сеть

Растущая ИС – это сеть, число клаттеров которой растет согласно некоторому алгоритму. Этот рост будем связывать с операцией самокопирования ИС, которая происходит циклически. Цикл самокопирования ИС определим как такой этап ее роста, на котором копируются все клаттеры, имеющиеся в ней к моменту входа в этот цикл.

Операция самокопирования заключается в следующем: ИС последовательно (клаттер за клаттером) копирует носителями по определенному правилу текущее число клаттеров, собирает новый, устанавливает его в себя, прокладывает связи и увеличивает свой размер на единицу. Правило самокопирования выберем таким:

Новый клаттер собирается в процессе копирования носителями связей каждого клаттера и его узла. Т. е. копируется каждый узел сетеобразующего клаттера и каждая входящая в него связь. Можно сформулировать иначе: с каждого сетеобразующего клаттера в текущем цикле копируется и устанавливается в собираемый клаттер число носителей, равное текущему размеру сети. Что может быть интерпретировано следующим образом: в каждом клаттере имеется некоторое количество наиболее перспективных, «продвинутых» носителей, число которых равно текущему размеру сети. Из копий этих носителей и собирается очередной дочерний клаттер.

Почему выбирается именно такой алгоритм? В соответствии с системным подходом сложность, эволюционная зрелость любой развивающейся системы определяется, прежде всего, ее связями. Если связи растущей системы однородны, то скорость ее эволюции (в простейшем случае роста) зависит только от их числа. Чем больше связей – тем быстрее эволюционирует, развивается, растет система.

Поэтому логично постулировать, что прирост клаттеров-носителей с каждого сетеобразующего клаттера, получаемый в процессе его копирования, должен быть пропорционален, а в простейшем случае просто равен числу его связей с другими клаттерами. И в этом простейшем случае оказывается, что алгоритм хорошо описывает рост сети на втором этапе (см. ниже) и, соответственно, гиперболический рост населения мира после неолита.

Но если применить его при описании роста сети на первом этапе (см. далее) и, соответственно, роста численности первых архантропов, то получим, что положение циклов эволюции на оси времени и время появления рода Homo, рассчитанные теоретически, не согласуются с данными палеодемографии.

Однако, если слегка модифицировать алгоритм так, чтобы при подсчете прироста носителей с каждого клаттера добавлять к числу его связей единицу, формально полагая, что копируются не только входящие в клаттер связи, но и его узел (т. е., если считать, что число копий клаттеров-носителей, снимаемых с каждого сетеобразующего клаттера за цикл, равно текущему размеру сети), что совершенно несущественно на втором этапе, когда таких клаттеров и, соответственно, подключенных к ним связей сотни, тысячи и даже десятки тысяч – то вот такой алгоритм будет правильно описывать эволюцию, историю и рост населения мира на всех этапах[9].

Дополнительно хотелось бы отметить, что выбранный алгоритм при учете правила финализации цикла и звена, которое, хотя и может быть сформулировано по-разному, но не оказывает никакого влияния на результат, хорош уже тем, что чрезвычайно прост и эстетичен.

Даже если бы оказалось, что он не имеет никакого отношения к реальному росту населения Земли, модель все равно заслуживала бы внимания уже только потому, что при минимальных предпосылках позволяет правильно описывать как количественно, так и качественно динамику роста (начало роста, неолит, переход), а также цикличность глобального развития: сокращающиеся по закону прогрессии циклы эволюции, глобальные исторические и экономические циклы. В таком случае модель можно было бы рассматривать как простую и эффективную схему, позволяющую систематизировать многочисленные демографические и исторические данные.

Применим данный алгоритм к биниальной иерархической сети ранга R. Будем считать, что рост сети начинается с двух клаттеров. Рост ИС любого ранга, подчиняющийся принятому алгоритму, условно можно разбить на три этапа:

Первый этап – рост от двух до √P клаттеров (P – это вес клаттера или число носителей, которое он содержит).

Второй этап – рост от √P до Р клаттеров.

Третий этап – операция репликации: создание одной копии полученной совершенной сети. Рост сети ранга R, и это логично, следует считать законченным, когда будет построена совершенная сеть ранга R+1. Тем не менее поскольку операция репликации ИСС ранга R+1 не может считаться по принятому здесь алгоритму началом ее роста – ее следует определить как третий, завершающий этап роста сети ранга R.

Введем дополнительно понятие звена роста сети. Определим его как последовательность материнских клаттеров, в процессе копирования которых полностью собирается очередной дочерний клаттер. Число таких клаттеров, составляющих звено, назовем его длиной. На первом этапе звено включает ряд повторяющихся циклов, причем каждое последующее звено короче предыдущего; на втором этапе – цикл состоит из некоторого числа укорачивающихся звеньев. Длина звена за весь период роста уменьшается от P/2 до единицы.

Рассмотрим теперь все этапы роста ИС на примере сети ранга 3. Вес клаттера Р = 28 = 256, т. е. число носителей в клаттере равно 256. Корень из веса √Р = 16. Стартовый размер сети считаем равным двум.

Рис. 1. Старт роста сети 256.

Алгоритм копирования следующий: на каждую связь и на каждый узел копируемого клаттера (формально узел – это точка внутри клаттера, в которой сходятся подведенные к нему связи) устанавливается носитель. В данном случае связь одна, узел всегда один. Всего на клаттере копируем два носителя. Нужно собрать 256 носителей, поэтому переходим к следующему клаттеру и копируем еще два носителя.

Собрали четыре носителя. Цикл закончился, он оказался пустым, т. к. все имеющиеся на момент входа в цикл клаттеры скопированы, а новый собрать не удалось. Всего имеем 63 пустых цикла. На 64-м цикле и 128-ой по счету операции копирования (длина звена составила 128 клаттеров) получаем 256 носителей. Сборка клаттера завершена; устанавливаем его в сеть, прокладываем связи.

Рис. 2. Собран первый клаттер.

Теперь каждый клаттер имеет уже две входящие в него связи, поэтому копируем по три носителя на клаттере или 32 = 9 девять за цикл. Число 256 не делится нацело на 9, как в предыдущем случае: 256/9 = 28 целых и 4/9, поэтому последний 29-й цикл будет неполным, т. к. первый клаттер на нем будет скопирован полностью (3 носителя), второй – частично (один носитель), а третий – останется нескопированным. И здесь возникает неопределенность в вопросе как начинать следующее звено: с продолжения предыдущего неполного цикла или с начала нового?

Непонятно также следует ли учитывать неполный цикл, когда копируются не все носители сети, при подсчете общего числа циклов звена. Ведь в приложении этой математической модели к росту населения Земли наиболее важными законами роста являются закон постоянства времени цикла и синхронности (синфазности) роста и развития. Неясно, правда, должна ли такая синхронность (синфазность) роста строго выполняться для каждого цикла или только для моментов гармонического достижения; а может быть синхронно должен завершаться только последний цикл роста сети данного ранга, на момент окончания которого она становится совершенной? (Учитывая факт гиперболического роста населения мира, этот вариант вряд ли следует принимать во внимание.)

Если считать, что каждое следующее звено начинается с нового цикла, что представляется наиболее логичным, то время роста сети в приложении этой математики к процессу эволюции может быть выражено только целым числом циклов. В таком случае определение цикла как операции самокопирования сети, при которой копируются все клаттеры, имеющиеся в наличии в момент входа в цикл, должно быть расширено. А именно: некоторые такие операции первого этапа, завершающие звено (или находящиеся внутри него), могут быть неполными или избыточными и тем не менее такие операции будут считаться циклами.

Возвратимся теперь к нашему примеру, сколько все-таки следует взять циклов: 28 или 29?

Здесь возможны четыре варианта: 1) По минимуму: отдаем остаток 4 носителя 28-му циклу или распределяем его по каким-то предыдущим, при этом получаем 28 циклов, на некоторых из которых будет скопировано более девяти носителей; т. е. носители некоторых клаттеров в процессе цикла будут скопированы дважды. 2) По максимуму: добавляем еще один 29-й цикл и переносим в него весь остаток, при этом некоторые носители оказываются в данном цикле нескопированными. 3) Этот вариант среднее между первым и вторым: если остаток меньше или равен половине квадрата размера сети (32/2 = 4,5) выбирается первый вариант, в противном случае – второй. 4) Возможен также сценарий «с перехлестом», при котором звено копирования замыкается не в момент завершения цикла, а где-то у него внутри. После прокладки дополнительной связи следующее звено начинается с нескопированных носителей предыдущего (плюс один носитель).

При подсчете полного числа циклов (и числа циклов роста сети до ее гармонического размера) все рассмотренные сценарии финализации звена дают практически одинаковые результаты. Для определенности выбираем второй вариант, получаем 29 циклов. Собираем второй клаттер, устанавливаем в сеть, прокладываем связи.

Рис. 3. Собран второй клаттер.

Далее, на каждом клаттере копируем по 4 носителя; за цикл их набирается 16. Третий клаттер собираем за 16 циклов, т. к. 16·16 = 256. Длина звена 16·4 = 64 клаттера.

Рис. 4. Собран третий клаттер.

Пять носителей на клаттер, 25 – с цикла; всего потребуется 11 циклов по второму варианту и т. д.

На 13-ом звене роста сети для сборки нового клаттера потребуется два цикла, поскольку первый цикл будет пустым: 15·15 = 225 < 256. С 14-го звена начинается второй этап роста сети. Теперь клаттер можно собрать не выходя за пределы одного цикла: 16·16 = 256.

Рис. 5. Собрано 16 клаттеров.

Рис. 6. Звено копирования фрагмента сети 256 по первому варианту.

Прирост клаттеров за цикл с этого момента при постоянстве времени цикла идет уже по другой, как мы покажем далее, гораздо более быстрой гиперболе. Т. е. процесс роста сети претерпевает качественный скачок. Допустим, что сеть выросла до размера 71, т. е. содержит 71 клаттер. Для фрагмента сети, изображенного на рисунке, имеем следующее: после копирования четырех клаттеров (длина звена = 4) получаем (70 + 1)·4 = 284 носителя. Здесь, также как на первом этапе роста, возможны первые три варианта финализации звена: по минимуму, по максимуму и средний между первым и вторым. Длина звена равна четырем (по первому варианту).

Звено – это такой этап роста сети, на котором собирается и устанавливается в сеть еще один новый клаттер. В результате чего число связей возрастает и в процессе эволюции сети происходит качественный скачок. Поскольку длительность звена, в отличие от длительности цикла, в приложении этой модели к явлению роста населения Земли, не является предзаданной, процесс ее уменьшения может идти с небольшими отклонениями. В таком случае должен быть рассмотрен еще один, четвертый вариант сценария финализации звена, а именно: с перехлестом, когда следующее звено начинается с копирования неоткопированных носителей последнего клаттера предыдущего звена.

Рис. 7. Звено копирования фрагмента сети 256 с перехлестом.

Выбираем один из рассмотренных вариантов, собираем новый клаттер, устанавливаем в сеть, увеличиваем число связей на единицу (71). Алгоритм роста на втором этапе необходимо дополнить правилом финализации цикла, сходным с правилом финализации звена:

1. Копируются клаттеры, которые имеются в сети, по одному из рассмотренных вариантов. Как только новый клаттер из оставшихся на копирование в завершающем звене цикла по сумме позиций собрать не удается – цикл завершается. При этом остаются нескопированные клаттеры из тех, что стояли в очередь на копирование при входе в цикл.

2. Все то же самое, но как только новый клаттер из остатка собрать не получается, сеть заходит на следующий виток[5] и финализирует цикл. При этом некоторые клаттеры оказываются скопированными в данном цикле дважды.

3. Этот вариант среднее между первым и вторым. Копируются клаттеры, устанавливаются в сеть, число связей растет. Если новый клаттер, из оставшихся на копирование в последнем звене цикла собрать невозможно, но общее число неоткопированных позиций превосходит половину веса клаттера, то сеть заходит на новый виток. В противном случае – нет. Цикл на втором этапе может состоять из одного или двух витков.