|
и |c
|
соответственно.
Поскольку стационарное уравнение Шрёдингера является линейным, то произвольно заданная комбинация его решений может быть представлена в виде суммы волновых функций.
Концепция мысленного эксперимента, связанного с котом Шрёдингера, заключается в следующей идее. В ящик помещаются банка с ядом, молоточный механизм с детектором и изначально живой кот. В случае распада ядра срабатывает детектор, который приводит в движение молоточный механизм, разбивающий сосуд с ядом, вследствие чего кот умирает. Согласно квантовой механике, если над ядром не производится наблюдение, то его состояние описывается суперпозицией двух состояний: распавшегося и нераспавшегося. Следовательно, кот, сидящий в ящике, и жив, и мёртв одновременно. Если же ящик открыть, то экспериментатор может увидеть только какое-нибудь одно конкретное состояние: «ядро распалось, кот мёртв» или «ядро не распалось, кот жив».
В квантовой механике коллапс волновой функции происходит в том случае, когда волновая функция (первоначально в суперпозиции нескольких собственных состояний) сводится к одному собственному состоянию вследствие взаимодействия квантовой системы с внешним миром. Это взаимодействие в дальнейшем будем называть «наблюдением» или «измерением». Под нормированной суперпозицией понимается сумма нормированных волновых функций. Последние являются взаимно зависимыми. Примечательно, что объединенная волновая функция продолжает подчиняться уравнению Шрёдингера.
В 1927 году Вернер Гейзенберг использовал идею коллапса волновой функции для объяснения квантового измерения искомой нормированной вероятности. Однако ниже будет показано, что коллапс – это фундаментальное физическое явление, которое возможно обосновать, опираясь на решение уравнения Шрёдингера.
Вычисления можно производить в трёхмерной системе декартовых координат. Тем не менее для упрощения расчётов выберем одно измерение. Пусть F (x) =d (x) +ib (x), тогда:
Квадрат модуля коэффициента |C
|
будет определять начальную вероятность каждого отдельного состояния p нормированной суперпозиции.
Постоянный член ai?
n
/R
, который входит в состав выражения E
, можно опустить, поскольку выше было положено условие зависимости полной энергии от произвольно заданной функции F (x).
Для того чтобы осуществить дальнейшие математические преобразования, необходимо выделить вещественную часть из выражения E
. Пусть E*
=Re (-iE
), следовательно:
Суперпозицию квантовых состояний возможно выразить в виде суммы волновых функций при условии, что величина n
примет постоянное значение, тогда:
где S` – полное количество возможных состояний системы.
Нормированную волновую функцию можно представить в виде соотношения:
здесь S`` – число нормированных состояний.
Если потребовать тождество E
*=0, то для любых p?N справедливым окажется выражение:
Таким образом, сумма нормированных вероятностей будет иметь постоянное значение независимо от условий проведения эксперимента.
В точке, где появится заряженная частица, потенциальную энергию можно считать бесконечно большой. За пределами данной области значения функции U
(x) окажутся малыми по отношению к той или иной сингулярности.
Допустим, что в точке с координатой f в окрестностях ? располагается пик потенциальной энергии. Вне области f±? потенциальная энергия U
(x) будет пропорциональна функции 1/|x-f|. Если величина ? окажется бесконечно малой ??0, то в этом случае выражение U
(f) примет постоянное значение. Потребуем, чтобы в точках пространства, расположенных вне окрестности f±?, выполнялось тождество G=E
* для любых x?f.
Итак, преобразуем соотношение (4.1) к следующему виду:
Полная нормированная энергия будет равна бесконечности E
*=±? только в том случае, когда в точке наблюдения f локализуется заряженная частица при условии, что функция F (f) sin (?m
Вы ознакомились с фрагментом книги.
Для бесплатного чтения открыта только часть текста.
Приобретайте полный текст книги у нашего партнера:
