, n
, n
примут положительные значения. Более того, если подставить в качестве решения функцию
то справедливым окажется соотношение:
Получим частное решение уравнения Шрёдингера, следовательно:
Общее решение ?
является суммой частных по n
, n
, n
.
Под обозначением ?
* понимается комплексно сопряжённая волновая функция. Плотностью вероятности появления частицы в точке с координатами (x,y,z) называют соотношение ?
?
*. Исходя из тождества ограниченности вероятности ?
?
?
?
?
*dxdydz=1, возможно вычислить множитель C
, следовательно:
где n
?N, n
?N, n
?N – величины, с помощью которых можно определить дискретные значения полной энергии квантовой системы, существующей в стационарном состоянии.
Для того чтобы построить модель устойчивого химического соединения, необходимо в качестве потенциальной энергии U
(x,y,z) подставить в тождество (4!) постоянный коэффициент U
(потенциал). Исходя из закона Кулона, составленного для энергий, возможно, например, определить условия существования неподвижных в пространстве молекулярных или кристаллических структур. Атомы химического соединения будут сохранять свою стабильность до тех пор, пока сумма энергий ?
?
U
, полученная для всех кулоновских взаимодействий, не изменит своего значения. Последнее окажется минимальным в том случае, когда в квантовой системе будет достигнуто электростатическое равновесие, тогда:
здесь r
– расстояние между частицами под номерами o и j; q
, q
– заряды частиц; K – коэффициент пропорциональности.
Волновая функция ? – это комплекснозначная величина, используемая в квантовой механике для описания чистого состояния системы, когда квантово-механические процессы происходят без декогеренции. Волновая функция физического смысла не имеет, но физический смысл приписывается плотности вероятности. Величину ? возможно представить в виде суммы волновых функций ?
, каждая из которых будет характеризовать то или иное состояние p рассматриваемой квантовой системы.
В следующем параграфе мы получим общее аналитическое решение уравнения Шрёдингера. Опираясь на методику из 4-го раздела, можно описать большинство явлений нерелятивистской квантовой механики, в том числе дать математическое обоснование коллапсу волновой функции.
4. Об аналитическом решении уравнения Шрёдингера в С
В этой главе будет проанализирован новый подход к решению дифференциальных уравнений, который предложил автор данной книги. В качестве примера мы разрешим уравнение Шрёдингера, полученное для 1-й частицы, находящейся в декартовой системе координат. Исследуемое дифференциальное уравнение возможно представить в виде тождества:
где a=h
/ (2M).
Символом ? обозначают сумму операторов ?
/?x
+?
/?y
+?
/?z
+…, знак ?
эквивалентен частной производной ?/?t. Уравнение Шрёдингера, полученное для одномерного случая, можно преобразовать к виду:
4.1 Пример решения уравнения Шрёдингера
