где ? – индекс, соответствующий той или иной оси координат x
.
Построим кусочно-линейную функцию F (x), тогда:
Рисунок 3.1 Интерполяция величины F (x).
3.2 Решение дифференциальных уравнений с частными производными
Пусть Q``?C является решением произвольно заданного дифференциального уравнения в частных производных. Введём обозначения для функций a*, b*. Значения рассматриваемых выражений будут соответствовать вещественной a*=Re (Q``) и мнимой b*=Im (Q``) части тождества Q``=a*+ib*. Для того чтобы численно решить вырожденное дифференциальное уравнение, необходимо с помощью метода Эйлера определить закон изменения функции Q`` во времени. Следует отметить, что рассматриваемый подход не является единственным в своём роде. Однако в рамках данной книги остановимся на нём как на простом и наиболее наглядном. Любое параболическое дифференциальное уравнение с частными производными возможно преобразовать к общему виду, тогда:
Разложим в ряд Фурье решение Q``, следовательно:
Определим частные производные порядка s
по координате x
, входящие в состав выражения D, тогда:
здесь n
и R
– коэффициенты при координате x
.
Вместе с тем
Осуществим интерполяцию выражения D. Если рассматривается одномерный случай, то каждой точке, расположенной на оси D, необходимо поставить в соответствие отрезок (k?x
, (k+1) ?x
), находящийся на оси x
. Следовательно, в трёхмерном пространстве справедливым будет соотношение:
где x? [-R
, R
]; y? [-R
, R
]; z? [-R
, R
].
Определим частную производную решения Q`` по времени, тогда:
Последнюю формулу возможно преобразовать к виду:
Выражения Q
и Q`` будут тождественно равны друг другу в рамках одной итерации. Подставим величины Q
, D и Q`` в уравнение (3**), а затем произведём обратное преобразование Фурье. В результате получим соотношение:
С каждой новой итерацией по времени в формулы (3`), (3.1), (3.2), (3.3) и (3``) вместо выражения Q`` следует подставлять известное решение Q
, тогда:
Расчёт необходимо выполнять до тех пор, пока не будет достигнуто условие V`?t=T*, здесь T* – промежуток времени, определяющий эволюцию искомой функции Q``; ?t – величина шага по времени; V` – общее количество итераций.
3.3 Частное решение дифференциального уравнения
В предыдущем параграфе мы рассмотрели методику, направленную на решение дифференциальных уравнений, выраженных в общем виде. Разбирая частный случай данной задачи, необходимо потребовать, чтобы исследуемое дифференциальное уравнение было линейным. Если величины n
, n
, n
окажутся положительными, то справедливым будет следующее условие: Q``?R. Кроме того, в одномерном случае переменные Q`` (0) и Q`` (R
) должны принимать нулевые значения Q`` (0) =Q`` (R
) =0. Таким образом, величину F (x,y,z) возможно представить в виде тождества:
здесь x? [0,R
]; y? [0,R
]; z? [0,R
].
Преобразуем выражение (3.1), тогда:
Разложим в ряд Фурье функцию D, следовательно:
Уравнение (3.5) можно представить в виде соотношения:
Коэффициенты Фурье, которые соответствуют следующей по времени итерации, легко можно выразить через коэффициенты Фурье, полученные для предыдущей итерации.
Уравнение Шрёдингера, составленное для постоянной потенциальной энергии, является линейным. Отсюда следует, что решение рассматриваемого дифференциального уравнения возможно представить в виде тождества (3.7), поскольку в данном случае величины n
