Bir Nefeste Matematik

1. Bölüm

SAYI TÜRLERİ

İnsanların yüzde altmış dördü bir süper bilgisayara erişim sağlayabiliyor.

2017 yılında toplam insan nüfusunun 7,5 milyara ulaşmasıyla birlikte cep telefonu olan insanların sayısının da tahminen 4,8 milyara ulaştığı hesaplanmıştır. Japon asıllı Amerikalı fizikçi Michio Kaku’nun (doğumu 1947) belirttiği üzere “Bugün elinizdeki cep telefonlarının programlama gücü 1969 yılında Ay’a iki astronot indiren NASA’ dan çok daha fazladır. ”

İhtiyaç duyduğumuz herhangi bir aritmetik işlemi parmağımızı ekranda hafifçe gezdirerek cep telefonlarımız üzerinden yapabiliriz. O halde neden aritmetik öğrenmeyi dert edinelim ki?

Çünkü herhangi bir aritmetik işlemi yapabilirseniz sayıların nasıl işlediğini anlamaya başlarsınız. Matematiğin, sayıların nasıl işlediğini inceleyen dalına aritmetik denirdi ancak günümüzde bu sözcüğün hesaplama yapmak anlamında kullanıldığını görüyoruz. Sayıların doğasını inceleyen matematikçilere ise sayı kuramcıları ismi veriliyor ve onlar da evrenimizin matematiksel temelleriyle sonsuzluğun doğasını anlamaya çalışıyorlar.

Çok büyük iş.

Başlarken sizi bir hayvanat bahçesi gezisine götürmek istiyorum.

İnsanlar nesneleri saymaya ilk önce tek bir şeyle başlayıp sonrasında tüm sayıları (ya da tam sayılar) üst üste eklediler. Bu sayılara doğal sayılar denir. Şayet bu sayıları sonsuz sayıda parmaklığı olan bir matematik hayvanat bahçesine koyacak olsaydım her bir sayı için bir parmaklığa ihtiyaç duyardık:

1, 2, 3, 4, 5, 6…

Antik Yunanlar sıfır elmadan oluşan bir kümeye sahip olamayacağımız için sıfırın doğal olmadığını düşündüler ancak biz negatif tam sayılar, yani eksi sayılarla pozitif olanlar arasındaki boşluğu doldurduğu için sıfırın doğal sayılar arasına girmesine izin veriyoruz. Şayet sıfır ile negatif tam sayıları da hayvanat bahçeme dahil edersem, şu şekilde görünecektir:

…-6, – 5, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6…

Artık hayvanat bahçem tüm negatif tam sayıları da içermektedir ve bu da doğal sayılarla birleştiğinde tam sayı olarak isimlendirilen, hayali bir sayı grubunu oluşturmaktadır. Her bir pozitif tam sayıya karşılık negatif bir tam sayı bulunduğundan hayvanat bahçemin öncekine göre iki kat fazla parmaklığa bir de sıfır için ekstra yere ihtiyacı olacaktır. Bununla birlikte sonsuz matematiksel hayvanat bahçemin daha fazla büyümesine gerek yoktur çünkü zaten sonsuz büyüklüktedir. Bu durum daha önce bahsettiğim çok büyük iş için basit bir örnektir.

Tam sayı olmayan diğer sayı türleri de vardır. Elma kümeleri Yunanlara yetiyordu ancak biz bir elmanın bölünüp belirli bir sayıdaki insan grubu arasında paylaşılabileceğini biliyoruz. Bu gruptaki her bir birey elmanın bir bölümünü alacaktır; ben de hayvanat bahçeme her bir bölümden (kesir) örnek almak istiyorum.

Şayet sıfır ile bir arasındaki bütün kesirleri listelemek istersem yarımlar, üçte birler, sonra çeyrekler vs. ile başlamak mantıklı olacaktır. Bu sistemli yaklaşım hiçbirini kaçırmadan bütün kesirleri elde etmemi sağlayacaktır. Bu sebeple bütün doğal sayıları payda olarak (kesir çizgisinin altındaki sayılar) kullanmak zorunda kalacağımı kabul edebilirsiniz. Her bir farklı payda için de sıfırdan başlayıp paydanın değerine ulaşana dek artacak olan sayıda farklı paya (kesir çizgisinin üstündeki sayı) ihtiyaç duyacağım.

Kesirler, tam sayıların arasındaki sayıları belirtir; bir kesir çizgisinin üstünde bir sayı (pay) ve altında bir sayı (payda) olacak biçimde yazılırlar. Örneğin “yarım” ifadesi şu şekilde gösterilir:

Burada “1” pay, “2” ise paydadır. Bu biçimde yazılmasının nedeni, değerinin birin ikiye bölünmesi ile elde edilen değere eşit olmasıdır. Bir şeyi iki kişi arasında paylaştırırsanız size o şeyden elde edeceğiniz kesri göstermektedir.

Sıfır ile bir arasındaki tüm kesirleri hallettikten sonra tüm doğal sayılar arasındaki tüm kesirleri yazmak için bunu kullanabilirim. Şayet sıfır ile bir arasındaki tüm kesirlere bir eklersem bu bana bir ile iki arasındaki tüm kesirleri verecektir. Şayet onlara da bir eklersem bu sefer iki ile üç arasındaki tüm kesirlere ulaşırım. Bunu tüm doğal sayılar arasındaki kesirleri tamamlamak için yapabilirim ve negatif tam sayılar arasındaki kesirlerin tümünü tamamlamak için de birer tane çıkarabilirim.

Böylece sonsuz sayıda tam sayım olur ve artık kesirler için her birinin arasında sonsuz sayıda parmaklığa ihtiyacım var. Bu da toplamda sonsuz çarpı sonsuz sayıda parmaklığa ihtiyacım var demektir. Çok büyük bir iş gibi görünüyor ancak neyse ki hâlâ yeterli sayıda parmaklığım var.

Kesirleri oran olarak da yazmak mümkündür, dolayısıyla kesirler ayrıca orantısal (rasyonel) sayılar olarak da nitelendirilebilir. Artık doğal sayıların da içinde bulunduğu tam sayıları (tam sayılar bire bölünerek kesirler olarak da yazıldığı için) içeren tüm rasyonel sayıları hayvanat bahçeme koymuş durumdayım. Bitti.

Bir saniye! Bundan 2500 yıl önce Hindistan’da bazı matematikçiler, kesir olarak yazılamayan bazı sayıların varlığından bahsetmektelerdi ve tabii ki “bazı” sayılar derken aslında sonsuz sayıda olduklarını kastediyorlardı. Karesi (kendisiyle çarpımı) iki olan bir sayı olmadığını keşfettiler, böylece ikinin karekökünün rasyonel bir sayı olmadığı anlaşıldı. Aslında ikinin karesini yuvarlamadan bir sayı olarak yazamıyoruz, bu sebeple de ikiye yaptığımız şeyi kök sembolünü kullanarak gösterebiliriz:√2. Yazılamayan bir sayıyı yazmaya çalışmak biraz beyhude bir iş olduğundan bunun yerine sembol kullandığımız gerçekten önemli diğer sayılar da mevcuttur: π, e, φ gibi sayılar daha sonra bakacağımız bu tip sayılara verilebilecek üç örnektir. Bu tip sayılara irrasyonel sayılar deriz ve bunları da hayvanat bahçeme koymam gerekir. Peki, ardışık rasyonel sayılar arasında kaç tane irrasyonel sayı olduğunu tahmin edebilir misiniz? Doğrusu, sonsuz sayıda! Her ne kadar bu konuda Cantor’un (bkz. sayfa 17) söyleyecek birkaç şeyi olsa da ekstra parmaklık inşa etmek zorunda kalmadan bu sayıları da sonsuz hayvanat bahçeme sıkıştırabilirim.

Bir sayıyı kendisiyle çarptığımızda bu sayının karesini elde etmiş oluruz. Bu durumu üst ya da kök üssü olarak adlandırılan küçük bir iki ile gösteririz.

Üçün karesi dokuzdur. Bu da üçü, dokuzun karekökü yapar. Karekök almak bir sayının karesinin alınmasının tam tersidir. On altının karekökü dörttür, çünkü dördün karesi on altıdır.

Dokuz ve on altı gibi sayılar tam karedirler çünkü bu gibi sayıların karekökü bir tamsayıdır. Kesirler ve ondalık sayılar dahil olmak üzere her sayının karesi alınabilir. Her pozitif sayının da karekökü alınabilir.

(Bu konu hakkında daha fazla bilgi için bkz. sayfa 58)

İrrasyonel sayılar ile rasyonel sayıları bir araya getirdiğimizde matematikçilerin gerçek (reel) sayılar olarak nitelendirdiği sayıları elde ederiz. Daha önce bahsettiğimiz sayıların bir örüntü oluşturduğunu (rasyonel-irrasyonel) fark ettiyseniz gerçek olmayan sayıların da var olabileceğinden şüphelenebilirsiniz ve haklısınız da. Ancak burada durup hayvanat bahçeme “Sonsuz Gerçek Sayılar Hayvanat Bahçesi” ismini vereceğim. Çoğu hayvanat bahçesi hayvanlarını türlerine göre ayırır, bu yüzden de kendi bahçemi örtüşen sayı türlerine göre organize edebilirim. Haritası şu şekilde görünebilir ve hayvanat bahçesinde geçireceğiniz gününüzü planlamanıza yardımcı olması için mutlaka görülmesi gereken birkaç yer de ekledim:

Hayvanat bahçemin Alman matematikçi David Hilbert’e (1862-1943) çok şey borçlu olduğu gerçeğini kabul etmem gerekir. Matematiğe çok büyük katkısı olmuştur ancak en çok da bu konunun lideri ve savunucusu olmasıyla bilinir. 1900 yılında Uluslararası Matematik Kongresi için – günümüzde Hilbert problemleri olarak bilinen – yirmi üç çözülmemiş problemden oluşan bir liste çıkarmıştır ve bu problemlerden üçü hâlâ çözülememiştir. Hayvanat bahçemin kaynağını oluşturan Hilbert Oteli düşünce deneyi, Hilbert’in sonsuz sayıda misafirin doldurduğu sonsuz sayıda odası bulunan bir otel hakkındaki derin düşünceleriyle ilgilidir. Hilbert’e göre otelin ilk müşterilerini oda numaralarını ikiyle çarpıp elde ettiğimiz yeni numarayı taşıyan odaya yerleşmeye ikna edersek, otele sonsuz sayıda müşteriyi yerleştirebiliriz. Mevcut müşteriler artık çift sayılı odalarda kalacaktır ve tek sayılı odalar da (bunların sayısı da sonsuz olacaktır) yeni gelenlere kalacaktır.

2. Bölüm

CANTOR İLE SAYMAK

Galileo Galilei (1564-1642), gezegenimizin Güneş’in etrafında döndüğüne dair kâfir inancından dolayı İtalya’da ev hapsindeyken Galileo paradoksu olarak bilinen hoş bir bulmaca ortaya atmıştır.

Bulmacaya göre bazı doğal sayılar mükemmel kareyken (bkz. Sayfa 15) çoğu değildir ve bu yüzden de kare olmayanların sayısı karelerden daha fazla olmalıdır. Ancak her doğal sayının mükemmel bir kare oluşturmak üzere karesi alınabilir. Dolayısıyla karelerin sayısı, doğal sayıların sayısına eşit olmalıdır. Bu da bir paradokstur; yani aynı anda ikisinin birden doğru olamayacağı iki mantıklı önerme sözkonusudur.

Daha önce de belirttiğim gibi sayı kuramcıları sonsuzluğun doğası ve onun tuhaf aritmetiğini ele alırlar. Sonsuz Matematik Hayvanat Bahçesi’ni gözden geçirirken kullandığımız şey olan kümeler kuramı Alman matematikçi Georg Cantor (1845-1918) tarafından icat edilmiştir. Aslında farklı türlerde sonsuzluk olduğunu bulmuştur. Kümelerin niceliği üzerinde çalışmıştır. Bu da kümenin kaç tane üyesi olduğu anlamına gelir. Örneğin, A kümesini Güneş sisteminin gezegenleri olarak tanımlarsam A kümesinin niceliği sekiz olur (Plüton’un neden artık bir gezegen olmadığına dair daha fazla bilgi için bkz. sayfa 132).

Cantor, sonsuz kümeleri de incelemiştir. Doğal sayılar sonsuzdur ancak Cantor bunların sayılabilir sonsuz olduğunu söyler; çünkü birden yukarı doğru saydıkça sonsuza doğru hareket eder ve ilerleme kaydederiz. Asla sonsuzluğa varamayız ancak ona yaklaşabiliriz. Cantor doğal sayılar kümesinin bir alef sıfır ya da

Şayet kümem sıfırdan bire kadar tüm rasyonel sayılar olsaydı sıfırdan başlayabilir ve bire kadar giden bütün kesirleri ele almaya çalışabilirdim. Bu kesirler için tüm olası paydaları ele alırsam yine doğal sayıları elde ederim. Kesirlerin payları da ayrıca doğal sayıların çeşitli kısımları olacaktı ve sıfırdan bire kadar olan rasyonel sayılar bile

Galileo’nun paradoksuna geri dönecek olursak doğal sayılar kümesi ile mükemmel kare sayılar kümesinin her ikisinin de

Gerçekte

Cantor ve onu takip eden çoğu matematikçi

Burada ispatlanabilen şey ise Cantor’un o zamana dek sadece düşünürler ve tanrıbilimciler tarafından ciddiye alınan bir kavramı (sonsuzluk) böylesi bir noktaya taşıdığı ve matematiğin yegâne temeli hakkında yeni bir düşünceyi harekete geçirmiş olmasıdır. Ne var ki düşüncelerinin yol açtığı anlaşmazlıklar ve tartışmalar Cantor’a büyük sıkıntılar vermiş ve hayatının ikinci yarısında başına bela olan bunalım krizlerine neden olmuştur. Süreklilik hipotezinin Hilbert problemlerinin arasına dahil edilmesi (bkz. sayfa 16), umuyoruz ki ne kadar büyük bir başarı elde ettiğini görmesini sağlamıştır. Sonsuzlukların farklı olabilecekleri düşüncesi bile hayret uyandırıcı bir şeydir doğrusu.

3. Bölüm

ARİTMETİK

Saymayı bildiğinizi düşünerek devam edeceğim. Hayatım boyunca sayı saymayı bilmeyen bir yetişkinle hiç karşılaşmadım. Matematiğin ilk kısmını çoğunlukla daha okula gitmeden önce öğreniriz. Küçük yaştaki pek çok çocuk, daha sayıların ne anlama geldiğini öğrenmeden önce papağan gibi birden ona kadar saymayı öğrenir.

Matematiği inceleme yollarından birinin hedeflenen sonuçlara ulaşmak için kullanılabilecek belli başlı ilkeleri anlamaya dayandığı söylenebilir. Önce anlamak sonra da öğrenme süreci gelir. Buna rağmen çoğumuz anlama kısmına neredeyse hiç ulaşamaz (ya da böyle bir fırsatımız olmaz) ve sadece öğrenme süreciyle baş başa kalırız. Bu durumda ortaya çıkan asıl sorun, herhangi bir beceride olduğu gibi, ihmal ettikçe bilgilerin unutulmasıdır. İhmalle birlikte anlama süreci de zayıflar. Matematik hakkında sevdiğim şey, kuzey yarımkürede küçük bir adada yaşayan sıradan bir insan olarak benim, kökeni binlerce yıl, halk ve kültür öncesine dayanan bir akıl piramidinin tepesinde bulunuyor olmamdır. Matematik piramidinin benden çok daha yükseklerinde bulunan birçok insan var; ancak ben kariyerimi diğer insanların kendi piramitlerini kurmasına yardım etmekle geçirmeyi seçtim. Deneyimlerimden hareketle gerçekleri, algoritmaları ve işlemleri ezberlemede ne kadar iyi olduğunuzun önemli olmadığını biliyorum. Gerçek manada anlamadığınız sürece, bir noktada piramidiniz yıkılmaya mahkûmdur.

Aritmetiğin akademik yöntemlerine girmeden önce + ve – sembollerinin iki yönlü doğasına kısaca bir göz atmak istiyorum. Bu semboller Batı dünyasına ilk kez Almanya’da, 1400’lerin sonlarından itibaren takdim edilmiştir. Johannes Widmann (yaklaşık 1460-98) 1489 yılında bu sembollerin kullanıldığı en eski İngilizce yazılı kaynak olan Neat and Nimble Calculation in All Trades (Tüm Ticaret İşlerindeki Zekice ve Hünerli Hesaplamalar) başlıklı kitabı yazdı.

En başından itibaren sembollerin her birinin insanların birbirinden ayırmakta zorlandığı iki anlamı vardı. Sembollerin ikisi de toplamak ya da çıkarmak üzere bir işlemi belirtebilir veyahut pozitif ile negatifi göstermek adına bir işaret olabilir. Semboller bir yandan komut ve tanımlama işlevi görürken bir yandan da bir eylemi ve ismi belirtir. Örneğin +3, hem “3 ekleyin,” hem de “pozitif 3” anlamına gelebilir. O halde hangi anlamda kullanıldığını nereden bileceğiz?

Matematik eğitiminde zihin aritmetiği yapmaya ya da “büyüktür” ve “küçüktür” kavramlarını anlamaya yardımcı olmak üzere sayı doğrusu kavramını kullanmak oldukça yaygındır. Sık sık öğrencilerime sayı doğrularını yatay mı yoksa dikey mi gördüklerini ve sayıların hangi doğrultuda sıralandıklarını sorarım. Eminim bu konu üzerine de çok ilginç araştırmalar yapılabilir. Yaptığım benzetme adına burada kullanacağımız sayı doğrusu tıpkı bir termometre gibi dikey olacaktır.

Burada + ve – işaretlerinin bize yanındaki sayının pozitif mi yoksa negatif mi olduğunu gösterecek biçimde tanımlayıcı olarak kullanıldıklarını görebiliriz. Genellikle pozitif sayıların başında tanımlayıcı olarak + işaretini kullanmayız ancak burada sayı doğrusunun pozitif kısmını vurgulamak üzere kullandım. Sıfır ise görebileceğimiz üzere doğrunun tam ortasındadır ve ne pozitif ne de negatiftir.

Şimdi matematiksel bir sıcak hava balonunun pilotu olduğunuzu hayal edin. Balonun irtifasını değiştirmenin iki yolu vardır: balondaki ısının miktarını değiştirmek ve balondaki kum torbalarının miktarını değiştirmek. Balonun yukarıya doğru çıkmasını sağladığı için ısıyı pozitif olarak ele alacağız. Balondaki ısı miktarını da iki biçimde değiştirebilirsiniz. Brülörü kullanarak daha fazla ısı ekleyebilir ya da balonun tepesine bir delik açıp sıcak havanın dışarı çıkmasına izin vererek ısıyı azaltabilirsiniz. Balonun aşağı doğru inmesine neden olduğu için kum torbalarını da negatif olarak ele alacağız. Kum torbalarının miktarını da birazını balonun kenarından aşağı atarak ya da arkadaşınızın bir drone ile sepetinize biraz daha eklemesiyle değiştirebilirsiniz. Bu dört önerinin her birini matematiksel bir işlemle ifade edebiliriz:

Sayıları yazma biçimimiz Hint-Arap sistemi olarak adlandırılır çünkü bu iki kültürden de birkaç önemli buluşu birleştirmektedir. Her bir basamağın bir öncekine göre on katı değerde olduğu ondalık bir sisteme dayanan sayma sistemini MS 500 yılında ilk kez kullananlar arasında Aryabhata (475-550) isimli Hintli bir gökbilimci bulunuyordu. Bir başka Hintli gökbilimci Brahmagupta ise sayılar için dokuz sembol ve boş basamağı temsil etmek için de bir nokta kullanarak (ki daha sonra bu sembol sıfır için kullandığımız 0’a dönüşmüştür) bu sistemi güzelleştirmiştir.

Yeni sistemin hesaplamada sağladığı verimlilik, sistemi popüler kılmış ve dünyanın her yerine yayılmasına neden olmuştur. Dokuzuncu yüzyıla varmadan sistem, “algoritma” sözcüğünü borçlu olduğumuz ve bu konu üzerine ilmi bir eser yazan Muhammed el Hârizmî (yaklaşık 780-850) isimli bir Arap matematikçiye ulaştı. Çalışma daha sonra Latinceye çevrildi ve bu da Batı dünyasının ilk kez bu sayılara erişmesine imkân sağladı.

Ne yazık ki sistem Avrupa’da çok fazla ilgi görmedi. Arap dünyasında eğitim gören ve ayrıca Fibonacci olarak da bilinen Pisa’lı Leonardo (yaklaşık 1175-1240) bu konuyu 1202 yılında kitabı Liber abaci’de kullandı. Kitap, esnaf ve matematikçileri abaküs kullanmayı bırakıp Hint-Arap sisteminin potansiyel gücünü kabul etmeye ikna etme konusunda etkili oldu. Ancak o da Latince yazılmış olduğundan birçok kişi anlamıyordu. 1522 yılında, Adam Ries (1492-1559) bu rakamların nasıl kullanılacağını izah ettiği bir kitabı anadilinde (Almanca) kaleme aldı. Bu da sonunda okuryazar olan ancak klasik eğitim almamış halkın sistemden yararlanmasını mümkün kıldı.

Tablonun son sırası çoğu insanın kabul ettiği (ya da ezbere öğrendiği) ancak nedenini gerçekten anlamadığı kısımdır. Neyse ki balon benzetmesinin biraz yardımı dokunacaktır.

Artık balonumuzun yukarı ve aşağı nasıl hareket ettirildiğini, yani matematikçilerin işlem dediği şeyi aydınlığa kavuşturmuş oluyoruz. Şayet irtifamızı, yani sayı doğrusunda konumumuzu, hesaplamak istiyorsak bir hesaplama yapmamız gerekir. Hesaplamadaki ilk sayı mevcut irtifamızı ve hesaplamanın geri kalanı ise hangi eylemin yerine getirileceğini göstermektedir. Örneğin, – 4 +3’ü şu şekilde yorumlayabiliriz:

Burada balon sayı doğrusunda üç sıra yükselip – 4’ten – 1’e çıkacaktır1. Bu yüzden – 4 + 3 = – 1 olur.