Портреты из библиотеки герцога Федерико Монтефельтро

Евклид

«Ты всё расположил мерою, числом и весом»

Книга премудростей Соломона 11:21.

Заранее приношу извинения читателям за то, что довольно долго в главе про Евклида будет говориться о Пифагоре. Все попытки этого не делать заканчивались исчезновением исторического фона, и приходилось вставлять рассказ о Пифагоре обратно.

В любом развитом обществе присутствуют материальные нужды, требующие вычислений и математических оценок. Расчёты нужны и для ведения войны, и для строительства собора. Тем не менее, основной источник, откуда черпаются абстрактные математические понятия, определяются всё-таки философией и размышлениями о мире. Приёмами счёта владели все древние цивилизации, но ни в Египте, ни в Вавилоне, ни в Китае математика не приобрела характер абстрактной науки. Такой её сделали древние греки. Учение о гармонии мира стало наивысшим достижением греческих философов. Они развили науку логику как инструмент познания и математику как способ описания гармонии.

Начало европейской математики связывают с Пифагором. Странно, что для этого мудреца, рассказы о котором тонут в легендах, многие приводят точные годы жизни – 576–496 годы до н. э. Более осторожные историки говорят, что Пифагор жил в VI веке до нашей эры.

Во времена Пифагора желающие обучиться премудрости ездили к жрецам в Египет. Они были самыми просвещенными в Средиземноморье. По преданию, Пифагор более двадцати лет учился в Египте, а когда Египет завоевали персы, оказался в плену в Вавилоне и ещё двенадцать лет учился у вавилонских мудрецов.

С VIII по VI век до н. э. колониальная активность греков была максимальной. Археологи находят остатки греческих поселений по всему побережью Средиземного и Черного морей: от Геркулесовых столбов до Феодосии в Крыму. Греческие колонии существовали и в Северной Африке, и в Италии, и на Сицилии. Только египтяне и главные морские соперники греков финикийцы не пустили их на свои территории.

Приблизительно в 525 году до н. э. Пифагор отправился на юг Италии в одну из богатых греческих колоний Кротон (На карте Кротон располагается на «подошве итальянского сапога»). Там Пифагор организовал философскую школу, или братство, или религиозную общину. Трудно найти адекватное название исчезнувшим социальным структурам.

Пифагор был религиозным деятелем, мудрецом, учителем. Он верил в перевоплощение душ и проповедовал, что «всё есть число». Нам, привыкшим выражать законы природы с помощью математических формул, кажется, что мы понимаем, что имели в виду древние греки, обожествляя числа. Однако их рассуждения были обратными нашим рассуждениям. Греки считали сами числа причиной всего, что происходит в мире. Греки не занимались наблюдением каких-то явлений в попытке описать их с помощью математических формул. Напротив, они изучали свойства чисел и геометрических фигур и с помощью найденных закономерностей стремились объяснить окружающий мир.

Ситуация немного схожа с той, что бывает в наши дни. Современные математики настолько далеко ушли в своих построениях, что, когда на них особенно наседают с вопросами пользы, они начинают искать, кому бы из физиков, биологов или социологов могли бы пригодиться их особо красивые теоремы. Сходство на самом деле поверхностное. Чтобы воплотить какую-то идею, современные учёные и инженеры производят расчёты и обдумывают её материальное воплощение, в то время как греки считали, что сами числа являются некими рычажками, управляя которыми можно изменять материальный мир.

В какой-то момент в истории греческой цивилизации произошло чудо. Так и хочется сказать: для того, чтобы укрепить греков в их вере в божественность чисел, Бог подбросил им открытие музыкальных пропорций. Об этом удивительном открытии, которое приписывают Пифагору, рассказано у Ямвлиха, философа-платоника, жившего в III веке н. э.

Проходя мимо кузницы, Пифагор услышал, как удары молотов издавали гармоничные звуки. «Радуясь, как будто он получил эту идею от бога, он вбежал в кузницу и методом проб выяснил, что звучание зависит от тяжести молота, а не от силы удара, формы молота или изменения положения железа, которое ковали» (Ямвлих «О Пифагоровой жизни» XXVI:116).

Придя домой, Пифагор продолжил экспериментировать, на этот раз со струнами. К концам четырёх одинаковых струн он подвесил разные грузы и стал ударять по ним попарно. Оказалось, что октава получается, если веса относятся как 2:1; квинте соответствует отношение 3:2 , кварте 4:3.

Полученный результат он схематично изобразил на табличке. Именно такую табличку держит перед Пифагором его ученик на картине Рафаэля «Афинская школа» [Рис. 25].

То, что красивые для восприятия звукосочетания можно выразить с помощью отношений целых чисел, несомненно, является великим открытием. Само объединение неуловимого понятия красоты с целыми числами могло быть объяснено только в мистических терминах. Благодаря целочисленности музыкальных пропорций появилась возможность записывать музыку. Создание искусства записи музыки также приписывается Пифагору.

Древние греки, а вслед за ними и люди Средневековья, безусловно, относили музыку к математике. Связь математики и музыки – одна из самых таинственных. Сейчас вряд ли кому-нибудь приходит в голову, что музыкальную симфонию можно записать в целых числах, хотя это теоретически возможно. Два самых абстрактных вида человеческой деятельности влияют друг на друга даже при полном отсутствии видимой связи. Недаром времена расцвета музыки и математики совпадают.

Нам совершенно неизвестно как звучала музыка в Древней Греции и Древнем Риме. Античная наука о музыке, а вслед за ней и средневековая, не занималась разбором конкретных музыкальных произведений. Всё, что нам досталось в наследство, это теоретические рассуждения древних авторов о гармонии, о природе звуков, о происхождении звуков и численном их воплощении. Грекам удалось выяснить связь звука с движением. Быстрое движение сопровождается высоким звуком, а медленное низким. Следовательно, рассуждали они, движение планет, как и всякое движение, порождает свою музыку – музыку сфер. Астрономия у греков была объединена не только с математикой, но и с музыкальной гармонией.

Последователи Пифагора верили, что изучение космического порядка позволит человеку слиться с божественным космосом. Они проповедовали, что макрокосмос, то есть окружающий нас мир, и микрокосмос – человек – построены на основе одних и тех же гармонических пропорций. Поэтому, следуя определённому образу жизни, включающему в себя занятия музыкой и размышления о математике и астрономии, микрокосмос человека можно, как камертон, настроить на макрокосмос вселенной и тем самым с ним объединиться. Душа очищается наукой и музыкой, а тело – упражнениями и врачебным искусством.

Ещё пифагорейцы учили тому, что сейчас называют медитацией или духовной практикой: как с помощью воображения, рациональных рассуждений и физических упражнений овладеть своей мыслью, направить её в нужном направлении, отвлекаясь от ненужных чувств и обуздывая неконтролируемые желания.

По представлениям пифагорейцев знание не пропадает. Всё, чему человек научился, он может вспомнить в следующей жизни. Это помогает человеку приблизиться к заветной цели: полному слиянию с божественным космосом.

Геометрия, арифметика, астрономия и музыка образовали у греков единый комплекс. Во времена античности и в средние века эти науки изучали вместе. Все греческие математики писали и о музыке, и об астрономии. И у Евклида были трактаты по музыке и астрономии. Так, до нас дошли его работы «О разделении канона» (теория струны), где музыкальные положения доказывались как теоремы, а также «Явления», в которой Евклид излагает начала астрономии.

Очень долго греки были уверены, что любое явление можно описать в целых числах, как это происходит в теории музыки. Их красивую гипотезу портило «маленькое облачко» – геометрическое доказательство принципиальной невозможности выразить отношение длины диагонали квадрата к его стороне как отношение целых чисел.

Об этом доказательстве знали, но хранили в секрете, подальше от невежественной толпы. Но, как всегда бывает, в какой-то момент тайное стало явным. Пифагор так рассердился на своего ученика Гиппаса за разглашение великой тайны о квадрате и его диагонали, что подверг его высшей мере наказания – символическому захоронению. Гиппас вскоре погиб при кораблекрушении, несомненно, в результате мести богов.

Всё же грекам пришлось заняться иррациональными числами, ибо они поняли, что целочисленной арифметики для геометрии, и тем более для описания мира, недостаточно. Заодно им пришлось решать философский вопрос: как быть, когда есть нечто «очевидное» и одновременно наличествует доказательство того, что это «очевидное» невозможно? Греки решили, что нужно верить доказательству.

Введение «доказательств» сыграло роль колеса во всемирной истории человеческой мысли. Философы научились контролировать рассуждения. В качестве расплаты за недоверие к очевидному пришлось доказывать всё, даже то, что «две половины круга, разделённые диаметром, равны между собой».

Вспомним, наконец, о Евклиде [Рис. 6], жившем через три столетия после Пифагора. В отличие от богатейшей пифагорейской мифологии, рассказов о Евклиде мало. Если быть точным, их всего два. Первый принадлежит греческому византийскому философу Проклу (410–485), жившему через 700 лет после Евклида. В своих «Комментариях на первую книгу Евклида» Прокл приводит анекдот о царе Птолемее, который спросил Евклида: «Нет ли в геометрии более краткого пути, чем тот, который изложен в Элементах? – на что Евклид якобы ответил, что «в геометрии не существует царской дороги».

Второй рассказ следующий. Некто обучался геометрии в школе Евклида. Выучив первую теорему, ученик спросил, какая польза от изучения такого рода вещей. Евклид позвал раба и приказал выдать ученику монету, дабы тот не говорил, что познал теорему без пользы, а потом ученика прогнал. Обе эти истории практически без изменений рассказывают и про других философов.

Непосредственные свидетельства о жизни многих великих деятелей древности редки, малодостоверны и часто разбросаны по различным источникам. Но в случае Евклида их просто нет. Всё, что можно утверждать, вмещается в одну фразу: знаменитые «Начала» созданы Евклидом в Александрии Египетской приблизительно в III веке до н. э.

Однако встретить имя Евклида при изучении истории всё равно, что встретить знакомого в чужой стране. Его имя известно с уроков математики. В школе до сих пор изучают три признака равенства треугольников и другие геометрические премудрости «по Евклиду». Если учение Пифагора окутано облаком легенд, то «Начала» Евклида покоряют точностью и полным отсутствием околонаучных рассуждений. В математике, науке умственной, одни положения доказывают, используя другие. Чтобы избежать замкнутого круга, некоторые положения необходимо принять за аксиомы. С именем Евклида связывают создание аксиоматического метода.

Часто говорят, что за аксиомы берутся самоочевидные истины. Нельзя сказать, чтобы уж очень очевидные. В геометрии пятый постулат Евклида о параллельности прямых пробовали уничтожить, то есть вывести из остальных аксиом в течение двух тысячелетий, пока, наконец, не поняли, что доказать его нельзя, но можно либо включать, либо не включать в систему аксиом, и это приводит к разным геометриям.

Что взять за первоосновы – серьёзный вопрос не только в математике. Если взять «по ходу дела» какой-либо набор постулатов и дальше рассуждать логически, то можно прийти к чему угодно. Приняв в качестве аксиом несколько нереальных предположений и считая, что они выполняются в реальном мире, можно изучать следствия, ценность которых в значительной мере зависит от качества первоначальных предположений. По такому принципу строятся научно-фантастические романы, и не только они.

Аристотель, известный своей въедливостью, приступая к одному из своих трактатов («О душе»), писал, что прежде всего необходимо разобраться, с чего начинать. «Надо подумать, из чего исходить: ведь для разного начала различны, например, они разные для чисел и плоскостей». Как видим, Аристотель знал, что аксиоматика для арифметики и геометрии разная. Поиск единой аксиоматики для всей человеческой деятельности является, если угодно, одной из задач философии.

Аналогом аксиом для описания структуры мира для греков служили совершенные геометрические объекты. Вслед за Платоном и другими греческими философами Евклид рассматривает выпуклые многогранники, построенные из правильных многоугольников. В греческой теории они играют роль своеобразных атомов. Размеры рёбер таких атомов считались минимально возможными, а значит, равными. Евклид привёл математическое доказательство, что совершенных тел может быть только пять.

Есть у Евклида и две идеальные линии – прямая и окружность. С их помощью греческие математики пытались выполнить все возможные геометрические построения. В современных учебниках такой метод имеет более приземлённое название – геометрическое построение с помощью циркуля и линейки.

У Евклида приведены и формулировки нерешённых проблем: удвоение куба, трисекция угла, квадратура круга, так сказать, на будущее, чтобы математикам было чем заниматься до середины XIX века. Именно тогда окончательно разобрались с нерешёнными задачами Евклида.

Было время, когда вся эта богатейшая информация исчезла. Европа забыла греческий язык раньше, чем затих водоворот варварских нашествий. Позднее завоёванные арабами территории окончательно отрезали Европу от старых культурных центров.

Епископ Исидор Севильский (570–638) считается первым по времени средневековым энциклопедистом. Главный труд севильского философа «Этимология» является энциклопедий знаний на начало VII века. Исидор Севильский знакомит своих читателей с историей, географией, теологией, грамматикой и многими другими предметами. Его изложение математики вызывает досаду. Куда всё подевалось? Развитие математики не просто остановилось: бесследно пропала большая часть накопленных знаний.

Частично за исчезновение математических работ несут ответственность первые христианские философы, отрицательно относившиеся к рациональным рассуждениям. Латинские отцы церкви с уважением писали о Платоне, Аристотеле, Вергилии. Даже Гомера с его Троянской войной, через Вергилия, связывали с историей человечества. Евклид к христианским идеям не имел никакого отношения, а потому был неинтересен.

Цитата из «Книги премудростей Соломона», приведённая в качестве эпиграфа, является единственным упоминанием о математике в Библии. Позднее, когда вернулся интерес к математике, эту фразу и приводили в качестве оправдания занятиями воскресшей наукой.

Труды греков по астрономии, математике и медицине возвратились в Европу через арабов. Передачу математических знаний и дальнейшее их развитие можно проследить по пути, проделанному манускриптами работ Евклида.

В связи с угрозой нашествия варваров часть манускриптов из Рима и Александрии была перевезёна в Византию. Самая старая из сохранившихся копий «Элементов» Евклида – византийского происхождения. Через Византию работы Евклида попали к арабам. Арабскую империю VII–VIII веков называют плавильным котлом цивилизаций. Мусульманские учёные освоили греческую и сирийскую медицину, персидские исторические сочинения, греческую философию и астрономию, а также замечательные математические работы индусов.

Одним из выдающихся учёных, работы которого оказали огромное влияние на арабскую и византийскую астрономию и математику, был индийский астроном VII века Брахмагупта. Его книга «Сидханта», или «Чистая теория Брахмы», датируется 628 годом и представляет собой астрономический трактат, в котором довольно большая часть посвящена математике. В нём изложены математика алгоритмов и математика уравнений, что приблизительно соответствует арифметике, алгебре и теории пропорций. Кроме всего прочего в нём описаны действия с отрицательными числами и нулём.

«Сидханта» была переведена в Багдаде на арабский язык в VII или VIII веке. Перевод оказался бесполезным, так как арабы не смогли понять содержание трактата. В VIII веке Джафар Бармакид, учитель и воспитатель знаменитого халифа Гаруна аль Рашида, время и правление которого так красочно описаны в книге «Тысяча и одна ночь», понял причину неудачи: арабам не хватало знаний геометрии и астрономии. По его совету Гарун аль Рашид приказал перевести на арабский язык работы Евклида и Птолемея.

В XI–XII веках труды арабских учёных стали проникать в Европу, а до этого единственным учебником математики была краткая «Арифметика» Боэция, созданная в начале VI века, на излёте античности. Единственный крупный математик Cредневековья Леонардо Фибоначчи жил в XIII веке. После него математики такого уровня появились в Европе только в XVII веке. Удивительное исключение обязано своим существованием географическому стечению обстоятельств. Отец Леонардо Фибоначчи, купец из Пизы, служил послом родного города в Северной мусульманской Африке. Леонардо выучил основы математики у арабского учителя. Позднее он изучал методы вычислений в Египте и Сирии, Греции и Сицилии.

Фибоначчи написал несколько книг по математике. Для своих занятий он переводил работы греческих и арабских математиков (в том числе и Евклида) на латинский язык.

Развитие средневековой европейской цивилизации, происходившее в отсутствие точных наук, кажется многовековым затишьем. Некоторую роль в подготовке возрождения восприятия абстрактного математического языка сыграл язык символов и образов, столь привычный в Средневековье. К самой математике относились с недоверием, считая её частью колдовства. Некоторые основы математики знали астрологи. Каббала, алхимия, астрология, вера в особое значение и мистическую силу определённых чисел помогли математике не остаться на уровне чисто прикладной дисциплины.

Логику сохранили схоласты. Свои рассуждения о «едином», «воле», «истине», «благодати» они проводили по всем правилам логики Аристотеля.

Наконец, многие века зрела проблема, которой, наряду с требованиями астрономии, было суждено стать стимулом стремительного взлёта математики в XVII веке. Этот вопрос достался человечеству в наследство также от греков – проблема бесконечности. Греки верили в принципиальную конечность космоса. Всё, что доступно чувствам, имеет конечные размеры. Но они ввели абстрактное понятие «актуальной бесконечности». Им принадлежит идея о том, что сама бесконечность существует только как идея, в то время как любая её часть реализуема и конечна. Тему бесконечности подхватили христианские теологи. О трансцендентности и актуальной бесконечности рассуждали уже Ориген и Августин.

В начале Ренессанса к математике отношение было более чем сдержанное. Просвещенные гуманисты оставались к ней равнодушными и считали её необходимой только для ремёсел. По их убеждениям, не стоило заниматься такими пустяками, как геометрия. Само по себе занятие безвредное, но отвлекает от нужных дел.

Оживление внимания к математике часто связывают с развитием банковского дела и торговли. При всей справедливости утверждения следует всё-таки отметить, что для банковского дела работы Евклида не нужны.

Интерес к абстрактной математике в её связи с «божественным» возродили художники. В своих поисках божественных пропорций они стали по-своему изучать математику и создали теорию перспективы. Одним из первых европейцев, заинтересовавшихся геометрическими построениями, был великий художник Пьеро делла Франческа, работавший при дворе Федерико Монтефельтро. Он доказал несколько теорем, и это были первые математические теоремы после долгого перерыва, так как, за исключением Фибоначчи, более тысячи лет никто в Европе ничего не доказывал.