Los problemas de matemática en la práctica didáctica
Sin embargo, hay que decir explícitamente que hasta aquí el problem solving se ha descrito de manera genérica (…) Surge espontáneamente la pregunta: ¿Qué caracteriza el problem solving en Matemática? En otros términos: resolver problemas no es una característica de las actividades matemáticas únicamente y nada nos impide pensar esta misma problemática en otros campos. Se pueden proponer dos tipos de actitudes:
1. el “contenido” es el que caracteriza; en esta acepción, “nuestro” problem solving es matemático porque nos ocupamos de problemas (a veces ejercicios) en el campo de la Matemática;
2. la “forma” en la cual el solucionador se propone es la que caracteriza; en esta acepción, paradójicamente, podremos tener problem solving matemático con contenidos no necesariamente matemáticos, o problem solving no matemático, pero con contenidos matemáticos.
La primera posición parece un poco débil, pero la segunda es difícilmente definible.
La posición asumida en el contexto de las investigaciones del Núcleo de Bolonia (y la mía personal) emergerá, lentísimamente, de las páginas de este libro y se trata de una especie de término medio entre las dos. Hay quien se ocupa del problem solving poniendo toda la atención a los procesos de “descubrimiento” y que parece al final más interesado en la actividad de resolución de ejercicios y no de problemas en el verdadero sentido de la palabra. Nos parece que se puede “descubrir” algo también frente a un ejercicio y que las “condiciones alrededor” sean las que determinan si se trata de descubrimiento o de otra cosa. Por otro lado, hay solucionadores de problemas para quienes el contexto es tal que su actividad no comporta de hecho descubrimiento sino mera aplicación.
Es obvio que en este punto se vuelve esencial definir bien el concepto de “problema”; ahora, si es cierto que en el primer capítulo enfrentaré un primer estudio sin profundizar sobre este punto fundamental, a vuelo de pájaro, también es cierto que la problemática no se extingue de hecho en el primer capítulo (el cual, en cambio, de acuerdo con mis intenciones, debe crear más (…) problemas de tipo interpretativo de los que puede resolver).
Como diré más adelante, el libro fue concebido a manera de espiral: qué es un problema es el argumento afrontado en el primer capítulo y NO resuelto allí. En cierto sentido, todo el libro es un intento por responder esta pregunta.
Cuando se habla de problemas, se disparan, entre los profesores de la escuela primaria, discusiones a propósito de:
• automatismos de cálculo (por ejemplo: tablas de multiplicar y similares);
• uso de las máquinas de cálculo (por ejemplo: ábacos, calculadoras, […]) (a favor, contrarios, más o menos, depende, […]);
• uso de otros instrumentos de cálculo más sofisticados (TIC).
A propósito de los automatismos de cálculo, sugiero la siguiente posición que exhibo desde siempre: si a las dificultades de resolución de un problema (de la comprensión textual a la elección de una estrategia resolutiva, como veremos de manera amplia y detallada) se agrega la dificultad de recordar cuánto es 7×8, ¡entonces sí que la actividad matemática se torna pesada! El aparente conservadurismo de quien propone adquirir automatismos de cálculo (acusación muy difundida en los primeros años de la década de los 70) se puede entender, en últimas, como un aligeramiento a favor de actividades más significativas. Luego, en cuanto al “cómo” (las tablas de multiplicar de memoria, o carteleras en las paredes que los niños u otra persona llenan diariamente, o algo más), el “estilo” del profesor y de los niños individualmente, podrían ser decisivos. Regresaré mucho más decididamente, en varias ocasiones, al problema de los automatismos de cálculo.
En cuanto a las máquinas calculadoras, he dicho y escrito mil veces, alborotando a veces avisperos, que el uso de las máquinas calculadoras no necesariamente lleva a la pérdida de la capacidad de hacer cálculos. Se puede incluso fácilmente demostrar que un uso inteligente y creativo de tal instrumento mejora las condiciones de la actividad escolar y facilita los cálculos; y lo demostramos con varias publicaciones (AA. VV., 1977).
A propósito de las calculadoras, en cambio, aquí un fragmento significativo:
Supongamos que debemos calcular: 0,18×75200+36500; digitando en orden las cifras y los signos de las operaciones, y al final la tecla =, una calculadora cualquiera de bajo costo puede dar el resultado correcto. Supongamos en cambio que debemos resolver el siguiente problema: Ángela dice a su papá: «Mido un metro y 32 centímetros»; el papá responde: «Yo soy 41 centímetros más alto que tú». ¿Qué tan alto es el papá de Ángela? Ninguna calculadora, ni siquiera una computadora, es capaz hoy de interpretar y resolver autónomamente un problema como éste, puesto en el teclado ¡tal como está “escrito”! La resolución de problemas matemáticos es tal vez la actividad matemática en la cual se constata con más claridad la brecha enorme de prestaciones que todavía separa el razonamiento humano del razonamiento que podemos “incorporar” en las máquinas. Esta constatación no es poco importante si se piensa en la importancia que tiene la resolución de problemas en la vida de todos los días y en muchas profesiones para comparar dos cotizaciones de seguros, hacer un presupuesto de gastos para unas vacaciones familiares, etc., es necesario individuar y resolver problemas en general bastante más complejos que aquel apenas citado; las calculadoras pueden ser de ayuda en la ejecución de los cálculos, pero las decisiones sobre los datos a tener en cuenta y sobre los cálculos a efectuar ¡no pueden ser delegadas a las máquinas existentes hoy en día! (Boero, 1990, p. 23)
No puedo más que hacer mía la posición de Paolo Boero expuesta aquí de manera muy convincente. Es extremadamente importante leer en el mismo texto también otros párrafos.
Una advertencia de gran importancia para la lectura de este libro. Se retorna una y otra vez sobre la misma cuestión; por lo que no se puede considerar cerrada una problemática en los primeros capítulos del libro, ya que será retomada ciertamente más adelante, de manera más profunda, una vez se pueda hacer uso de otros conocimientos. Lo anterior depende de la naturaleza de la temática evaluada: he imaginado una espiral cilíndrica que, después de cada giro, retorna a los mismos argumentos, enriquecida de experiencia. Tal y como es la característica de mucha didáctica (en forma de espiral) también este libro fue, y lo repito, escrito en espiral. Al leerlo no se puede olvidar, ni por un segundo, esta condición.
Agradecimientos
Doy las gracias a Martha Fandiño por la presencia constante y las críticas constructivas que fueron necesarias durante la escritura de este trabajo tan complejo, que a menudo excedió mis competencias y me obligó entonces a enfrentarme a una persona de plena confianza, del más alto nivel cultural y crítico. Y para ayudar a escribir este libro en español.
Doy las gracias a la traductora de esta obra, Diana Rocío Pérez Blanco.
Doy las gracias a Gianfranco Arrigo por su asistencia técnica en la creación de las imágenes, las figuras y los esquemas que ha creado con experiencia y amistad.
Nota bibliográfica
Indicaciones bibliográficas ulteriores sobre los laboratorios, además de las ya citadas (D’Amore, 1988a, 1988b, 1990-91; Caldelli, D’Amore, 1986; D’Amore, Marazzani, 2011).
Sugiero al lector interesado en la investigación dos lecturas, si es posible, preliminares (Boero, 1986; Boero, Ferrari, 1988). La rica bibliografía allí contenida será de gran ayuda para quien tenga intenciones de entrar a fondo en este campo de estudio.
Sugiero la lectura de (Pellerey, 1991a, 1991b).
Están también los “clásicos” del problem solving, el primero entre todos George Polya que citaré varias veces en este libro y sobre cuyo trabajo equivocadamente interpretado como didáctico discutiré muy críticamente al final del libro; entre todos los autores posibles, sugiero (Aebli, 1961; Lester, Garofalo, 1982; Schoenfeld, 1987a) porque su visión ha influido y no poco sobre las diversas elecciones descritas en este libro, aunque no siempre serán citados de manera explícita.
Recuerdo también el libro (Cofman, 1990).
Sobre la “didáctica a manera de espiral” tengo en mente el famoso modelo de Bruner (1962).
Hoy, en el 2020, frente a la posibilidad de sacar a la luz una nueva edición muy ampliada y muy enriquecida, tendré el deber de revisar algunas posiciones, de tomar en cuenta nuevas contribuciones que señalaré cada vez que lo considere necesario. Por ejemplo, citaré tesis y estudios publicados entre el ya lejano 1993 y el actual 2020. Pero lo haré de manera oportuna y específica a su debido tiempo.
Permanece el firme deseo de presentar esta obra que recoje los estudios sobre este delicado e interesantísimo problema didáctico, pero que no sea solo teórico (para investigadores en Didáctica de la Matemática), sino una fuente de rica estimulación concreta para los profesores de la escuela primaria, sobre todo, en su quehacer cotidiano.
Vale la pena recordar aquí la formidable aventura del Proyecto MaSE, sobre la cual he escrito tantas veces y que, por su magnitud histórica en el ámbito nacional italiano, obtuvo un lugar también en una famosa Enciclopedia, como lo he dicho anteriormente. Para la lista completa de los ejemplares, se puede consultar la bibliografía final (D’Amore, 1986-1993).
En tiempos mucho más recientes, dados los rápidos y fantásticos progresos de la Didáctica de la Matemática, con Martha Isabel Fandiño Pinilla y Silvia Sbaragli hemos concebido un nuevo megaproyecto dirigido a profesores de la escuela primaria, llevado a cabo por la casa editorial Pitagora de Bolonia, Matemática en la escuela primaria, recorridos para aprender (D’Amore, Fandiño Pinilla, Sbaragli, 2011). En la bibliografía se retoma la lista completa de libros de diversos autores.
1 El Proyecto Ma.S.E. constaba de 12 volúmenes y tuvo un éxito fulgurante en los años 90 en Italia, entre los profesores de la escuela primaria; el éxito fue tal, que el proyecto terminó con una amplia voz en la Enciclopedia Pedagógica (2002) dirigida por Mauro Laeng, Brescia: La Scuola Editrice, páginas 1228-1230.
2 Unos años después decidí de graduarme también en filosofía ya que me di cuenta de necesitar bases filosóficas para mi trabajo de investigador en didáctica de la matemática. La idea era de incluir lo que necesita de pedagogía, filosofía y psicología al interior de la didáctica de la matemática, así que esta, al final sea autónoma y completa. Como hoy es.
3 He publicado mucho desde un punto de vista teórico sobre las actividades de laboratorio de matemática, también a propósito de la teoría de las situaciones de Guy Brousseau, por lo tanto al interior de teorías didácticas fundamentales, desde 1986 (como se sustrae de la lista de publicaciones que aparece en www.dm.unibo.it/rsddm).
1. Problemas, ejercicios y aprendizaje
1.1. Problemas y ejercicios
Consideremos la siguiente conjetura:
Cada número par mayor de 2 es la suma de dos números primos.
Verifiquemos: 14 es 11+3; 26 es 13+13; 80 es 7+73; (...) Por cuantas verificaciones se hagan, con números pares grandes o pequeños, con un poco de paciencia se encuentra una pareja de adendas primos que cumplen dicha condición.
¿Es éste un problema?
Una primera respuesta ingenua de un profesor de primaria fue: «No, no es un problema porque no hay una pregunta». Quien piensa esto o bien deja de leer este libro o lo debe leer con mucha atención. No hay una pregunta explícita, pero se trata de un problema, claro está.
Se trata de:
• demostrar esta afirmación (y entonces la conjetura se vuelve un teorema, es decir una afirmación verdadera en cuanto demostrada); o en cambio
• encontrar un ejemplo que contradiga la afirmación, o sea “exhibir” un número n par mayor de 2 y demostrar que no existen dos números primos cuya suma sea n.
Se resuelve el problema en uno u otro caso4.
Otra conjetura:
Estamos en una clase de 18 alumnos y queremos ir de excursión viajando en un autobús que cuesta 250.000 pesos; sin embargo, 2 de nosotros no pueden pagar. Si los 16 restantes contribuyen con 40.000 pesos cada uno, lo podremos hacer.
También en este caso la pregunta es implícita: ¿Es cierto o no que lo podremos hacer?
Esta vez es fácil transformar la conjetura y darle un valor de verdad: basta con hacer una multiplicación y verificar. ¿Se trata de un problema? No hay pregunta explícita, pero hay una situación que pone de presente una cuestión que hay que resolver. Podríamos llamarla “situación problemática”.
Aún otro ejemplo:
Juanito va al mercado con 600 pesos, compra huevos a 30 pesos cada uno y gasta todo. Regresando, rompe 3. ¿Cuántos huevos lleva a casa?
He ahí todos los ingredientes en el lugar preciso para obtener lo que en la escuela se llama problema: datos numéricos, una situación ficticia aun cuando comprensible e imaginable, una sugerencia semántica sobre las operaciones necesarias. Un verdadero y típico problema escolar. También con datos inútiles.
Sugiero una clasificación banal pero útil y muy difundida, entre
• problemas
• ejercicios.
Tanto los problemas como los ejercicios implican situaciones problemáticas causadas por varios factores: la propuesta del profesor (más o menos motivada), el test, la situación real y efectiva en la cual se encuentran el alumno o la clase, (…) Pero los ejercicios se pueden resolver utilizando reglas ya obtenidas, o en vía de consolidación y que, por lo tanto, entran en las categorías: refuerzo o evaluación inmediata. En cambio, los problemas involucran el uso de más reglas (algunas deben ser explicitadas precisamente en el momento) o una sucesión de operaciones cuya elección es un acto estratégico, a veces creativo, del alumno mismo.
Se entiende bien que las anteriores no son definiciones propiamente dichas: hay casos límite que se pueden interpretar en las dos posiciones. A mi modo de ver, se trata de un comportamiento que juega con los roles relacionales profesor-alumno, más que de una verdadera línea divisoria.
Tanto así que una situación problemática puede dar lugar a un problema o ejercicio según la situación didáctica. Veamos un ejemplo: se entrega un objeto circular plano (por ejemplo, la tapa de una olla) y se pide al alumno evaluar la longitud del contorno (una circunferencia).
En el primer año de primaria éste es un problema; en el grado octavo es (debería ser) un ejercicio.
Entran en juego también una serie de factores anexos:
• la motivación, como veremos más profundamente en el Capítulo 2, por la cual la distinción ejercicio/problema puede depender del comportamiento, de factores emocionales o emotivos, del rol que tiene la ejercitación en clase, del contrato que se ha venido creando, etc.;
• la mayor o menor cercanía de las situaciones problemáticas propuestas con la realidad. Me explico mejor. Usualmente los ejercicios de tipo escolar son del todo ficticios. Aquel Juanito que va al mercado con 600 pesos para comprar los huevos y que luego rompe 3, no existe y ningún niño de la clase se identifica con él: la situación es creíble, pero ficticia, nunca vivida. En cambio, un gasto para la excursión dividido entre 16 puede ser verdaderamente una situación problemática vivida en la realidad, a tener en cuenta para solicitar el análisis matemático. Se trata de decir correctamente los términos de la cuestión verbalmente (oral o escrito), hacerse una imagen mental, hacer que cada niño tenga un modelo matemático de la cuestión y, luego, pasar a la solución concreta: cuánto dinero debe pedir cada uno a sus padres para participar en la excursión.
No es necesario que la situación problemática sea experimentada en primera persona, la cosa es más sutil. En una clase de tercer año de primaria en la periferia de Bolonia, durante el segundo cuadrimestre, a instancia de ciertos discursos, se propuso el asunto de evaluar los gastos asumidos por la dirección didáctica en un año por concepto de energía eléctrica y calefacción. La situación problemática podría haberse considerado ficticia al principio, pero luego, mientras se procedió con el estudio de los recibos, la entrevista a un conserje, la visita a la empresa del gas, etc., la situación se enriqueció con la experiencia directa que la transformó de ficticia a real y concreta.
Decía que la motivación juega un rol no secundario: en un grupo interesado, la construcción de la sucesión de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, (...), relacionada, en la historia y en las circunstancias, al aumento ideal de la población de las parejas de conejos de cría, sí es ficticia (porque en la realidad ninguno cría conejos en la ciudad y muchos niños nunca han visto un conejo real), pero con tal vínculo emotivo (el contexto se vivió con gran vivacidad) se convirtió en problema: cada uno quería dar su contribución personal que iba más allá de la simple operación aritmética (todo saben que cada número de la sucesión es la suma de los dos precedentes).
Queda aclarar, pero no es trivial, qué es la situación problemática en relación con el problema.
Apropósito de esto, tenemos más de una interpretación; escojo, por ahora, dos:
• la de Boero (1986), según la cual la situación problemática es «el significado del texto» (mientras que el texto es «un sistema de signos» que la codifica);
• la de Borasi (1984), según la cual la situación problemática es «el contexto en el cual el problema propuesto tiene sentido».
Propongo una definición más amplia, en alternativa:
la situación problemática es el sistema de las competencias reales en las cuales se puede imaginar todo aquello descrito en un texto y su significado (semántica), dentro de la experiencia del niño individual (el sistema es específico para el problema dado).
Con esta definición, la situación problemática recuperaría aspectos semánticos, pragmáticos y experienciales.
El lector debe aceptar el hecho que en esta materia no encontrará definiciones precisas, como en Matemática; aquí se delinean tesis y conceptos en la manera más detallada posible, llevando al examen de la propia idea, no demostraciones o pruebas irrefutablemente unívocas, sino solicitudes traídas desde la experiencia personal de estudiosos o investigadores de la Didáctica de la Matemática.
Llegaré a proponer varios modelos relacionados con la resolución de problemas. Pero es muy temprano; para poder describirlos necesito de otros materiales.
Aquí quiero todavía recordar la importancia que cobra, tanto en la resolución de los ejercicios como (y aún más) en la de los problemas, la formalización del lenguaje común en términos matemáticos. Una vez el texto es bien entendido y se hace una imagen mental (personal), puede ser útil (y, de hecho, en la mayoría de los casos lo es) “matematizar” la situación. Muy a menudo, esto implica la traducción del lenguaje común al lenguaje matemático.
Por ejemplo, en el ejercicio de los huevos que compró Juanito, la solución es, formalmente: 600:30–3. En el caso de la conjetura de los números pares, se trata de demostrar que:
(∀x)(x=2n /\ n>1)→[(∃y)(∃z)(x=y+z) /\ (∀h)(∀k) (¬∃m)(m≠l /\ m≠y /\ y=mh) /\ (¬∃p)(p≠l /\ p≠z /\ z=pk)] [x, y, n, z, h, k, m, p ∈ N]
La primera formulación aparece en términos aritméticos muy elementales; la segunda en términos de formalización lógica, un poco más compleja.
Pero entonces ¿Qué es un problema? ¿Existe una definición?
No puedo más que recordar (por ahora) la célebre frase de uno de los más conocidos estudiosos de la resolución de problemas matemáticos, George Polya (1945):
Resolver problemas significa encontrar un camino para salir de una dificultad, un camino para reaccionar ante un obstáculo, para lograr un fin que no sea alcanzable inmediatamente. Resolver problemas es una empresa específica de la inteligencia y la inteligencia es el don específico del género humano: resolver problemas se puede considerar la actividad más característica del género humano.
Propongo también la afirmación de Karl Duncker (1945), quien evidencia exclusivamente el objetivo:
Surge un problema cuando un ser viviente tiene una meta, pero no sabe cómo alcanzarla.
[Una colección de respuestas a la pregunta «¿Qué es un problema?» se encuentra en Ferri (1989)].
Como se ve, no hay definiciones sino precisiones, puntualizaciones, clarificaciones: no hay problema si no hay una situación problemática que cree una pregunta, cuya la respuesta sea, por alguna razón, causa de dificultad.
Nota bibliográfica
Para la redacción de esta sección, además de los textos ya citados, hice uso también de (Antiseri, 1985; Borasi, 1984, 1986a; Duncker, 1969; Polya, 1954; Petter, 1985; Aebli, 1961).
1.2. Resolución de problemas, formación de conceptos y “teoremas en acto”
Con ese título, esta sección requeriría un libro por sí sola; empezaré a tratar esta problemática aquí para después retomarla varias veces más adelante, de manera más o menos explícita y refiriendo textos oportunos.
En una didáctica moderna, no se requiere un comportamiento pasivo por parte del alumno: «Haz esto y esto en una situación de este tipo»; en cambio, se requiere y se favorece un conocimiento activo que se transforme en “saber qué hacer” (lo podemos llamar “eficiencia”). Todos están sustancialmente de acuerdo con el hecho que la solución de problemas y el saber escoger cómo comportarse en situaciones problemáticas son una manera excelente de formar conceptos. Pero, concretamente, es muy difícil establecer lo que esto significa verdaderamente.
Debemos a Gérard Vergnaud (1985a) un muy buen intento por explicar este punto y en él me inspiro para lo que sigue.
Es bien sabido que, para explicar el modelo de desarrollo mental de los niños, Jean Piaget recurre a varios esquemas, entre los cuales recuerdo el esquema de “permanencia del objeto”. Sus experimentos son famosos; por ejemplo, moviendo de manera evidente de un lugar A a un lugar B un objeto escondido en ambos casos (por ejemplo, A debajo de un tapete y B debajo de una toalla), durante cierto período de tiempo, un niño muy pequeño seguirá buscando el objeto en el punto del cual fue movido. El niño solo entiende lentamente lo que es una especie de principio general de permanencia; tal permanencia, por ejemplo, tendrá que ver, más adelante, con el valor cardinal de un número, cantidad, longitud, amplitud, masa, (…) Al lado de la permanencia de un objeto, se considera la invariabilidad de ciertas relaciones de tipo más abstracto y, por lo tanto, capaces de constituir una conquista más tardía. Por ejemplo, la relación “ser hijo de” que es bien comprendida por el niño si la pareja ordenada es (yo; mi papá), y es rechazada a largo plazo si la pareja se vuelve (mi papá; mi abuelo). Tal permanencia de las relaciones (que se llama “invariante relacional”) es, por así decirlo, la base de la comprensión de los verdaderos “teoremas”, por ejemplo:
Si A es menor que B y B es menor que C, entonces A es menor que C.
Aunque se haya comprendido plenamente que «A es menor que B» y que «B es menor que C», permanece el hecho que la afirmación «A es menor que C» puede ser reconocida haciendo la prueba (comparando, donde sea posible, A y C), o “deduciéndola” de las dos primeras. Sabemos que se trata de la propiedad transitiva de la relación de orden “es menor que”: si se verifica de la primera forma (heurística) no es más que entrar en contacto con una invariante relacional; pero si se “deduce” de la segunda forma (lógica), entonces se puede hablar de un teorema en acto, como propone Vergnaud.
Un buen ejemplo que he oído usar de Vergnaud mismo en una escuela de verano es el de un niño que debe decidir cuántos puestos organizar en la mesa para los invitados; algunos invitados están dentro de la casa (a), otros están en el jardín (b); los puestos en la mesa deben ser entonces a+b. Se trata de un teorema en acto: el niño ha aplicado una regla de la cardinalidad: