Например, когда тело движется, оно, кажется, несет с собой ту часть пространства, которую занимает, и в то же время оставляет позади себя равную часть теперь уже пустого пространства; то есть одна и та же часть пространства, кажется, одновременно движется вперед и остается неподвижной. Эта видимость и путаница в мыслях, которую она способна вызвать, обусловлены отдельной объективацией пространства как среды. Но путаницы не возникнет, если мы будем помнить, (1) что время и пространство на самом деле не дублируются, если мы их отдельно объективируем, и (2) что, когда они так объективированы, они eo ipso считаются полностью независимыми от занятости или незанятости любой из их частей восприятием или объектами, и не оказывают никакого сопротивления или препятствия любым изменениям содержания, происходящим внутри них. Так, пространство, занимаемое движущимся телом, о котором только что шла речь, последовательно и численно отождествляется, по мере движения тела, с различными частями пространства, взятыми отдельно в качестве среды; или, другими словами, различные части пространства как независимой среды последовательно становятся частями, занимаемыми телом по мере его движения. Таким образом, чистое или абстрактное время и пространство, объективированные как отдельные экзистенты или медиа, являются образами, частично обусловленными концептуальным мышлением, дополнительными способами, с помощью которых мы более полно представляем единую реально существующую длительную и пространственную панораму.
Но поскольку время и пространство действительно существуют в материальных вещах, а также между ними и вокруг них, и поскольку, кроме того, деления, которые различия в содержании вносят во время и пространство, являются средством, с помощью которого мысли могут быть внесены в них идеальные деления, такие как математические моменты времени, математические точки, линии, поверхности и углы в пространстве, – из этого следует, что эти идеальные деления могут быть сделаны средством измерения материальных вещей и их операций, а также идеального измерения времени и пространства как объективных медиа. Точное измерение – это первый и необходимый шаг к установлению физических процессов любого рода. Из этого снова следует, что чистая геометрия образует своего рода статическую Логику физики; и, основанная на геометрии вместе с понятием продолжительности времени, Кинематика, наука о физическом движении, абстрагируясь от вопроса, какие виды физической силы используются для производства движений, образует как бы вестибюль, сначала к Динамике, а затем к еще большей и более сложной науке Энергии, которая охватывает (по крайней мере, в концепции) все силы природы, когда они воспринимаются как реально действующие или как Энергии нескольких видов.
Факт движения в мире пространства и материи, хотя мы можем абстрагироваться от его связи с силой, не может быть отделен в мыслях от фактов времени и пространства, как только мы проведем вышеупомянутые различия Ньютона между абсолютным и относительным временем, а также между абсолютным и относительным пространством. В уже цитированном Scholium к Определениям Первой книги Principia упоминаются четыре вещи, к которым применимо то же самое различие. Две другие – это абсолютное и относительное Место, а также абсолютное и относительное Движение. И определения двух видов места и двух видов движения тесно зависят от определений двух видов пространства. «Место, – говорит Ньютон, – это часть пространства». Место тела – это часть пространства, которую оно занимает. И оно абсолютно, если берется в абсолютном пространстве, и относительно, если в относительном; «pro ratione spatii, vel absolulus rel relations». От этого зависят определения двух видов движения. «Абсолютное движение – это перевод тела из одного абсолютного места в другое; относительное движение – перевод из одного относительного места в другое». Таким образом, мы видим, что фигурное пространство, движение, а также направление, скорость и продолжительность движения – это понятия, которые тесно связаны друг с другом, взаимно причастны и как единое целое вполне могут рассматриваться в абстракции как от видов материи, так и от видов силы, в которых они возникают или от которых они зависят. В таком виде они составляют введение к динамическим и получили название кинематических. «Мы принимаем, – говорят авторы хорошо известного „Трактата по натуральной философии“ в своем предисловии, – предложение Ампера и используем термин „кинематика“ для чисто геометрической науки о движении в абстрактном виде». Они посвящают ей фактически первую главу, занимающую 200 страниц, своего великого труда.[3 - Treatise on Natural Philosophy, by Sir William Thomson (Lord Kelvin), F.R.S., and Peter Guthrie Tait. 2 vols. Cambridge. New Edition, 1879.]
Того же курса придерживается У. К. Клиффорд в своих «Элементах динамики», оставшихся, к сожалению, незавершенными.[4 - Elements of Dynamic, «Part I., Kinematic, Two vols. 1878 and 1887. Macmillan.]
§5. Число
Существует еще одна наука, необходимая для точного измерения, и, возможно, самая элементарная из всех, о которой еще предстоит упомянуть, – наука исчисления. Она также берет свое начало в перцептивных данных, хотя и совершенно иным образом, чем геометрия и кинематика. Его корневым восприятием является восприятие числа, восприятие, полученное, конечно, посредством представления, однако полученное в результате простых восприятий, а не обязательно в результате сложного восприятия внешнего или пространственного мира. Как бы ни были очевидны предметы, предлагаемые восприятию по отдельности, как, например, дерево, гора, вспышка молнии, раскат грома, звезды, пять пальцев руки и так далее, все же они распознаются как единицы, то есть подсчитываются, только в результате акта внимания, отмечающего факт их отделения от контекста. Для возникновения восприятия необходимо некоторое перцептивное различие, но оно не должно быть больше, чем такое различие, которое неизбежно связано с самим восприятием. Человек, по сути, должен был научиться считать еще до восприятия таких сложных предметов, как несколько только что перечисленных, то есть в процессе обучения восприятию их как отдельных предметов, что уже было проанализировано в книге I. Число, таким образом, совершенно не зависит от пространственного расширения, насколько это существенно для него; хотя также очевидно, что, когда способ внимания, называемый счетом, стал привычным, нет такого содержания сознания, к которому он не мог бы быть применен.[5 - В том, что число не обязательно зависит от пространственных представлений, я с удовольствием соглашаюсь с моим другом М. Э. Биллоном в той ценной серии статей под названием A propos de la Notion du Nombre, которые он с интервалами помещал в разных номерах «La Critique Philosophique» с июня 1882 по январь 1885 года. См. в частности №25 (Douzieme Ann^e) 21 Juillet, 1883, и №27 (того же года) 4 Aotit, 1883. Наверное, мало найдется людей, которые могли бы читать эти тщательно аргументированные статьи без поучения и пользы. Кроме того, они рекомендуются английским читателям, поскольку содержат острую критику взглядов, которых придерживались Дж. 8. Милля, д-ра Алекса. Бейна и мистера Герберта Спенсера по вопросу о нашем восприятии последовательности и сосуществования. Тем не менее я не могу принять теорию уважаемого автора в целом, поскольку расхожусь с исходным предположением, которое он кладет в ее основу, а именно, что наше восприятие числа частично, но в основном обусловлено априорной идеей или формой в сознании, которую он называет категорией и которой он приписывает аналогичную природу и равный ранг с теми априорными формами, идеями или категориями, из которых, по его мнению, в конечном итоге происходит наше восприятие пространственных позиций и временных последовательностей. См., в частности, Noi 39, за 27 октября 1883 г., стр. 202—203 и стр. 206—207. М. Биллон, по сути, строго придерживается той модифицированной формы кантианства, которая обязана своим существованием мощному уму М. Ш. Ренувье.]
Подсчет количества данных эмпирических и дискретных предметов, таких как последовательные звуки колокола, или стадо овец, или куча монет, означает наблюдение за тем, есть или нет для каждого акта подсчета единицы с нашей стороны, в серии или совокупности, подлежащей подсчету, один определенно обозначенный предмет для соответствия. Другими словами, это означает наблюдение за соответствием серии или совокупности, с точки зрения числа, некоторому абстрактному числу, которое известно и записано под именем или символической фигурой, и которое стало частью обстановки памяти, прежде чем быть использованным в качестве стандарта числа для данных дискретных и эмпирических предметов, подсчитываемых с его помощью. Кроме того, следует заметить, что только сходные предметы могут быть сосчитаны вместе таким образом; то есть мы должны абстрагироваться от их различий в роде, прежде чем сможем их сосчитать. Скажем, например, что стадо овец состоит из белых и черных овец. Чтобы сосчитать стадо, мы абстрагируемся от этого различия, так же как при подсчете белых или черных овец мы абстрагируемся от различий, которые отличают одну белую овцу от другой, а одну черную овцу от другой. Так же мы можем считать звуки колокола и овец в стаде вместе; но только при условии, что мы абстрагируемся от их различий и рассматриваем их просто как множество отдельных восприятий или переживаний. Одинаковость вида подсчитываемых предметов, таким образом, является условием того, что они вообще могут быть сосчитаны, то есть что они могут быть сопоставлены, только с точки зрения числа, со схемой или серией абстрактных чисел, которые мы берем с собой, когда считаем их. Поэтому первый вопрос, касающийся числа, заключается в том, как первоначально, или в первом случае, мы получаем идею числа или чисел в абстрактном смысле; каково значение слова один; или каково происхождение счета или нумерации, прежде чем применять его для подсчета данных эмпирических и дискретных объектов, о которых мы заранее знаем, что они существуют в том или ином количестве. Ибо именно число в этом строгом и абстрактном смысле, а не число в примере данных эмпирических и дискретных объектов, будь то во времени в отдельности или во времени и пространстве вместе, является предметом исчисления. Ничто не дано нам в первоначальном опыте готовым к подсчету. Различия в восприятии изначально даны и являются конечными данными восприятия и опыта; но нам приходится считать их для себя, и считать их после того, как мы наблюдали их как различия, а восприятия как различия. В чем же, в таком случае, состоит счет изначально и по существу? Как мы впервые произносим слова «один», «два», «три» и т. д. со значением, или, как можно выразиться, замечаем факт числа в восприятии?
Теперь, помимо только что упомянутого источника, а именно различий в восприятии, есть еще один положительно известный источник, из которого может возникнуть счет или нумерация. Это акт или акты внимания к различиям в восприятии, или к восприятию как к различию, с целью узнать о них больше, чем говорит нам простое восприятие их как различий. Это акт того же рода, что и тот, в котором берут начало концепция и логическое мышление, а именно акт избирательного внимания с целью узнать нечто большее о происходящем содержании сознания (хотя, конечно, ни акт, ни его цель не осознаются как то, чем они являются, в самых ранних случаях их совершения). Поэтому он подчиняется тому же высшему закону мысли, что и акт, в котором зарождается мысль; а именно, закону, выражением которого являются так называемые постулаты логики – тождество, противоречие и исключенное среднее. Разница заключается в том, что в акте счета или нумерации внимание направлено не на продолжение вообще, каким бы оно ни было, не на сходства или несходства всех или многих видов в содержании, которое предстоит пережить, а исключительно на один-единственный вид обстоятельств в этом содержании, а именно на место во временном потоке сознания, которое займут различные содержания, абстрагируясь как от конкретной природы, так и от конкретной продолжительности этих содержаний.
Поэтому акт, порождающий нумерацию, хотя и тождественен по виду акту, порождающему представление и мышление, но не является со-вечным этому акту, а, напротив, предполагает его. Акты представления и мышления, с их содержанием, но в их простейшей форме, являются его объектом-материей, являются переживаниями, в которых он впервые замечает особенность или факт, что они являются делениями потока времени и изменяют его течение; или, другими словами, это переживания, в которых он впервые ясно замечает, что они содержат (ненаблюдаемые сами по себе) отличие одной части потока времени от другой и фактически идеально разбивают его на различные части, независимо от вида или качества содержания, принадлежащего к этим различным частям. Это внимание к актам мысли в их простейшей форме, с сознательным абстрагированием от качеств их содержания, есть акт счета или нумерации в его простейшей форме; это акт, в котором и посредством которого счет или нумерация возникают, а слова один, два, три и т. д. впервые произносятся как выражение значения. Сам по себе он является актом мышления, но не является актом мышления в его простейшей форме. Это акт, надстраивающийся над актами мысли в их простейшей форме, акт внимания, воспринимающего их как абстрактные разделения потока времени, помимо различий в качестве содержания, которое они тем самым также разделяют. В нумерации, таким образом, акты разделения временного потока сознания, абстрагируясь от всех конкретных различий в его содержании, являются тем, на что мы обращаем внимание, или, другими словами, являются тем, что подсчитывается; и, таким образом, эти акты и порядок, в котором они происходят, сами становятся единицами, с которыми изначально и по существу связано исчисление. Эти акты, следует отметить, не являются актами внимания просто к различиям между отдельными дискретными восприятиями, или между любыми из них и сериями или совокупностями таких восприятий, или между различными сериями или совокупностями таких восприятий, как они даны только в восприятии с интервалами между ними. Я имею в виду такие различия, как, например, между звуком колокола, слышимым в одиночку, и двумя звуками колокола или любым другим большим числом, слышимым в близкой последовательности друг за другом, или, скажем, между четырьмя и пятью такими звуками, слышимыми одинаково. Подобные действия, взятые сами по себе, то есть в отличие от действий по применению уже приобретенных чисел для подсчета определенных серий или совокупностей, о чем говорилось выше, не являются актами подсчета. Это акты регистрации и наименования отдельных дискретных восприятий, или серий, или совокупностей дискретных восприятий, по мгновенному впечатлению одинаковости, производимому ими; так что серия или совокупность, которую мы назвали четыре в одном случае, мы можем назвать пять в другом, без всякой уверенности, что четыре и пять не являются именами, одинаково применимыми к одной и той же серии или совокупности и, следовательно, идентичными друг другу по смыслу. Подобные акты никогда не могут стать основой точной науки, поскольку они не дают единого неизменного восприятия, на основе которого можно было бы выработать универсально применимое определение.
Единственный истинный и порождающий акт счета – это акт внимания, но не просто к восприятиям, а к предыдущему акту внимания, который уже выделил то или иное восприятие с целью дальнейшего опыта и тем самым внес в поток времени разделение, которое без него не было бы воспринято в потоке времени. Таким образом, избирательное внимание к потоку времени – это первый и основополагающий акт счета, просто акт мысли; избирательное внимание к этому акту, исключительно как к разделению потока времени, – это второй и характерный акт, наложением которого на первый является собственно акт счета или нумерации; существование порядка или последовательности в отмеченных разделениях обусловлено не актами внимания, посредством которых они отмечаются, а тем конечным фактом сознания, соединением длительности с изменением, который заставляет нас характеризовать сознание как поток времени.
Но абстрагируясь таким образом от всего, кроме актов деления потока времени и места этих актов в порядке последовательности относительно друг друга, второй акт избирательного внимания, который завершает первоначальное восприятие числовых единиц и является первым актом собственно счета, также, и ipso facto, возвращает их, так сказать, в перцептивный порядок, или порядок во времени, из концептуального или логического порядка, в который их на мгновение поместил первый акт избирательного внимания, позволяя им быть познанными как подобия, подпадающие под общий заголовок делений временного потока, или числовых единиц. Каждый такой акт или единица является в дальнейшем единственным или индивидуальным перцептивным представлением, или репрезентированным перцептом, отличающимся только своим местом относительно других такого же рода в репрезентированном временном потоке, названным или иным образом отмеченным только по месту, которое он занимает в репрезентированном ряду, к которому он принадлежит, и имеющим значение, зависящее только от этого места, то есть от количества единиц (в остальном неотличимых друг от друга), которые должны быть сначала представлены или мыслиться как представленные, чтобы прийти к нему. Мы не можем первоначально или в первом случае сосчитать 2, не помня об акте счета 1 и не соотнося второй акт с первым, который один только и придает значение 2; то же самое верно в отношении 3 по отношению к 2, в отношении 4 по отношению к 3 и так далее, до тех пор, пока мы можем идти в счете.
Таким образом, акты счета, будучи объективированы, сами являются сосчитанными единицами, – что возможно только потому, что сознание рефлектирует, а также направлено вперед, – и поэтому каждое число имеет двойной характер, один как счет, другой как сосчитанная единица. Объективированное как счетная единица, оно ipso facto[6 - Из определенного факта или условия следует неминуемый вывод или заключение.], по причине, которая сейчас будет указана, берется как количество, то есть полный предмет представления, непрерывный ad intra, в котором сосуществуют форма и материя восприятия, хотя и без какого-либо уточнения способа ощущения или качества этого количества, кроме факта его отличия от других единиц или групп единиц, посредством акта или актов счета, то есть его места в ряду. Объективированный как акт счета, он есть не что иное, как сама операция, единая по виду, посредством которой осуществляется вся нумерация, то есть операция, взятая в абстракции от места в ряду или значения количества, которое подсчитывается с ее помощью.
Этот факт двойного характера, присущего каждому числу, когда каждый из символов различим и объективируем отдельно от другого, факт, который помогает объяснить многие кажущиеся несоответствия, мы можем увидеть на примере сравнения фундаментальных операций арифметики. При сложении и вычитании мы рассматриваем единицы как уже подсчитанные, как имеющие свое место и соответствующее значение в ряду единиц, о которых идет речь, но абстрагируясь от актов счета, с помощью которых им было отведено это место. В умножении и делении, с другой стороны, подсчитываемые единицы либо берутся таким же образом, и в этом случае умножение и деление являются просто сокращением процессов сложения и вычитания; либо они берутся как идентичные с актами подсчета, актами, которые первоначально назначают им их место и значение в ряду.
Например, при умножении 1 x 1 x 1 x 1 x и т. д. всегда и навсегда равно 1; это означает, что число раз, которое мы считаем 1, никогда не делает его ничем иным, кроме как единицей; или что единица 1 и акт счета 1 одинаковы по виду, природе или значению; такой способ рассмотрения отвечает A есть A, или постулату тождества, в логике. И то же самое в делении, где 1, деленное на 1, или
/
, всегда равно 1; процесс, имеющий то же самое значение. Любое число, скажем 1000, посчитанное один раз, то есть умноженное на 1, всегда равно 1000, сколько бы раз вы его ни считали. Опять же, умножьте его на 0, и оно аннигилируется; 0, или ноль, здесь означает, что акт подсчета отрицается, и таким образом оно сводится к небытию как количество. Так и при делении: любое число, скажем 1000, сравниваемое один раз с самим собой, то есть деленное на 1, всегда остается 1000, сколько бы раз вы ни повторяли сравнение. Делить же его на 0 – значит, напротив, придавать ему бесконечную величину, поскольку оно отличается от того, что как величина принимается за свою меру, на всю разницу между бытием и небытием. Например, при умножении 1 x 1 x 1 x 1 x и т. д. всегда и навсегда равно 1; это означает, что число раз, которое мы считаем 1, никогда не делает его ничем иным, кроме как единицей; или что единица 1 и акт подсчета 1 одинаковы по виду, природе или значению; что соответствует A есть A, или постулату тождества, в логике. И то же самое в делении, где 1, деленное на 1, или
/
всегда равно 1; процесс, имеющий то же самое значение. Любое число, скажем 1000, сосчитанное один раз, то есть умноженное на 1, всегда равно 1000, сколько бы раз вы его ни считали. Опять же, умножьте его на 0, и оно аннигилируется; 0, или ноль, здесь означает, что акт подсчета отрицается, и таким образом оно сводится к небытию как количество. Так и при делении: любое число, скажем 1000, сравниваемое один раз с самим собой, то есть деленное на 1, всегда остается 1000, сколько бы раз вы ни повторяли сравнение. Делить же его на 0 – значит, напротив, придавать ему бесконечную величину, поскольку оно отличается от того, что как величина принимается за свою меру, на всю разницу между бытием и небытием.
Если же, с другой стороны, мы воспринимаем время или акты счета или иного обращения с данными числами как сами являющиеся или состоящие из уже сосчитанных единиц, то процессы умножения и деления становятся, как уже говорилось, просто более сложными методами сложения и вычитания. Умножить 1 на 6 – значит просто прибавить 1 к другому 1 шесть раз, или переместить 1 с первого на шестое место и значение в ряду уже сосчитанных единиц. И наоборот, разделить 1 на 6 – значит разделить 1 на 6 частей, или меньших единиц, равных друг другу, и вычесть пять из этих частей, то есть все, кроме одной, из полученного числа, которое таким образом становится одной шестой частью, или дробью, от первоначально данной единицы. Дробные числа – это, по сути, единицы, только более низкого порядка, чем те, с которых мы начинаем, а именно целые числа. При их получении целое число рассматривается как делимое, а значит (хотя оно может быть и единицей) как континуум. И здесь нас снова встречает тот же феномен; я имею в виду, что акт деления исходной единицы или целого числа, рассматриваемого как единица, на дробные части, скажем 6, включает в себя сначала равное число актов счета, то есть 6, а затем акт признания их как вместе составляющих делимую единицу. Каждая из шести шестых является единицей (хотя и более низкого порядка), поскольку она соответствует и изначально является существом одного акта счета. Каждая исходная единица, взятая как счетное число, делится, таким образом, на неопределенно большое число меньших единиц, называемых дробями, число которых увеличивается, а величина, взятая по отдельности, уменьшается, пропорционально тому, как большие значения придаются их знаменателям.
Отсюда следует, что только когда единицы воспринимаются как тождественные актам счета, которые занимают разные места в потоке времени, как это имеет место при первом счете или построении ряда целых чисел, 1, 2, 3, 4, … и т. д., 2 означает два последовательных акта счета, 3 – три последовательных акта и так далее, что можно сказать, что они равны друг другу; дело в том, что тогда они берутся с абстрагированием от всех различий, кроме различия места в ряду, из которого вытекает все различие в величине, то есть в величине как квантов. В этом, по-видимому, и заключается истинное решение той сентенции, которой Кант озадачил своих современников, что выражение 7+5=12 является выражением синтетического, а не аналитического процесса. Дело в том, что мы строим ряд чисел в анализе, то есть, в данном случае, в делении, потока времени. Акты счета, будучи актами мысли, являются, как и все акты мысли, одновременно аналитическими и синтетическими; аналитическими в отношении времени – потока сознания, который они воспринимают в ретроспекции, и моменты которого они подсчитывают и называют по мере его удаления; синтетическими как последовательные моменты в психологических поступательных процессах, принадлежащих самому потоку времени, который постоянно добавляет новые содержания к уже воспринятым. Таким образом, совершенно верно, что вы не можете проанализировать 12 на 7 +5, пока вы сначала не досчитаете до 12, пройдя по пути через 5 и 7. Первоначальный процесс счета, который является одновременно аналитическим и синтетическим для временного потока, является чисто синтетическим для числа 12. Только в дополнительном акте ретроспекции мы осознаем его анализ на 12 последовательных моментов процесса счета, который, тем не менее, является аналитическим, а также синтетическим процессом потока времени, и чисто аналитическим, поскольку в нем присутствует элемент мысли. Если числа являются порождением мысли из восприятия, то первоначально они получаются путем анализа восприятия, но не путем анализа чисел. Их анализ как чисел происходит, когда мы видим каждое последовательно сосчитанное число в ретроспективе. Ибо числа, то есть единицы или структуры единиц, произведенные и подсчитанные таким образом, взятые в качестве данных или объектов мысли, полученных в результате этого двойного процесса, сами могут быть вспомнены в мысли, а их числовые отношения друг к другу, как такие данные, исследованы и установлены. Таким образом, они распадаются на различные порядки, как мы видели выше в случае с дробью, полученной делением целого числа. Установление отношений чисел всех возможных порядков или видов друг к другу, взятых в качестве данных или реальностей, имеющих свои собственные законы, – вот в чем заключается вся суть исчисления как чистой науки о числах, не считая ее применения к измерению величин, отличных от числа или самих чисел. Фактически число само по себе является отношением. Любое целое число может быть выражено в виде дроби, знаменатель которой равен 1. Смысл этого числа как целого заключается в его отношении к 1; или, другими словами, его место в ряду целых чисел, а значит, и его ценность, заключается в его отношении к единице. Таким образом, единство является, так сказать, стержнем, на котором держится вся наука исчисления, поскольку оно есть тот акт или то число, в котором акт подсчета и подсчитываемая вещь совпадают или тождественны.
Это соображение приводит нас к той причине, о которой говорилось выше, что, объективируя акты счета как счетные вещи, мы рассматриваем и не можем не рассматривать их как континуумы. Дело обстоит так. Когда вниманием мы производим то разделение временного потока сознания, которое мы называем счетом 1, – а ясно, что без некоторого содержания сознания, которое нужно разделить, никакое разделение невозможно, – мы различаем момент времени, который предшествует, от момента, который следует за этим разделением; Эти два момента времени непрерывны друг с другом, за исключением того идеального разделения, которое вносит наш акт и которое, как обусловленное нашим актом, мы называем идеальным и считаем, что оно само по себе не занимает никакой продолжительности в данном временном потоке, поскольку предположить, что оно занимает, значило бы фальсифицировать данный факт собственным предположением.
В первом или, скорее, простейшем акте счета 1, следовательно, есть, по крайней мере, три вещи, неразрывно связанные между собой; два непрерывных момента времени и идеальное деление, которое делает их дискретными, то есть различает, не разделяя их. И то же самое замечание справедливо для каждого отдельного акта счета 1, следующего за первым; то есть для счета 2, или 1+1; 3, или 2 +1; 4, или 3 +1, и так далее. Мы не можем отделить, кроме как путем дальнейшей абстракции, акт счета 1, когда бы он ни происходил, от временной пропорции или вещи, которая выделяется этим актом как одна вещь. Акт счета, следовательно, есть акт, который различает или считает первый из двух непрерывных моментов, о которых только что говорилось, и который в момент счета воспринимается в ретроспективе как один, а второй из этих моментов, который в тот же момент воспринимается в предвидении, как два; два – это имя, которое характеризует его исключительно по отношению к одному; а сам акт подсчета, которым обусловлено это различие, признается актом подсчета только в результате последующего рефлексивного восприятия процесса, в котором он участвует и в котором он признается существенным или характерным ингредиентом, а не как образующий третью подсчитываемую вещь.
В качестве иллюстрации предположим, что сейчас 12 часов дня воскресенья. В этот момент я ретроспективно считаю воскресенье первым днем, а понедельник, который начинается в этот момент, предвосхищаю как второй день, который, тем не менее, не станет целым днем, пока я не смогу посчитать его также ретроспективно, в 12 часов ночи понедельника. Акт подсчета, то есть различения воскресенья как одного, понедельника как двух, вводит идеальное разделение или границу, которая сама по себе не имеет продолжительности, между двумя днями и называется 12 часов ночи воскресенья. В природе, в отличие от моего акта счета, нет такого идеального деления или предела продолжительности времени; есть только непрерывное вращение Земли вокруг своей оси, подвергающее часть за частью земной поверхности воздействию солнечных лучей, процесс, в представление которого я ввожу идеальное деление или предел, для целей вычисления и измерения. «Neque, notit Natura limitem» – это не менее глубокое, чем точное замечание Ньютона, когда он говорит о применении этого же процесса счета в дифференциальном исчислении.[7 - In the Scholium to Section I., Book I., of the Principia.]
Абстрактные акты счета, таким образом, всегда и обязательно являются актами разделения континуума того или иного рода, будь то чистая длительность (как в чистом исчислении), или пространственная протяженность (как в геометрии), или то и другое вместе (как в случае движения), или какое-то другое содержание, общее для обоих (как в случае силы, интенсивности и энергии), идеальными пределами или границами, которые сами не имеют длительности или протяженности. Именно от нашей способности делать это при изучении конкретных явлений природы, будь они физически непрерывными или физически дискретными, зависит точность физических наук. Таким образом, различие между абстрактным актом подсчета или введения в данные континуумы идеальных делений, которые не занимают никакой части этих континуумов, и его результатами, а именно частями континуумов, которые отличаются друг от друга и подсчитываются или измеряются таким образом, – это различие должно быть тщательно проведено и соблюдено. Числа не имеют реального существования, кроме как в качестве зафиксированных результатов таких действий.
Следовательно, когда мы приходим к объективации актов счета, мы можем сделать это двумя способами. Если, во-первых, мы объективируем их как абстрактные акты, мы обнаружим, что все они одинаковы, – есть одна природа, общая для них всех, – есть (общий) акт счета как таковой в отличие от подсчитанных чисел, какими бы они ни были, и перед нами чисто логическая сущность, частные случаи которой неотличимы друг от друга. Но если, во-вторых, мы объективируем их (хотя и различаем только с помощью абстракции) так, как они существуют или существовали в действительности, и отличаем одно от другого, каждое как определенный акт, – то мы обнаружим, что делаем и можем сделать это различие, только принимая каждое как воплощенное или представленное определенным числом, которое оно порождает и которое является его неотделимым результатом. Каждое число или модификация числа будет тогда представлять определенный акт счета по отношению к ряду других, от которых оно непосредственно зависит; и его место в том ряду или системе чисел, к которым оно принадлежит, является единственным средством, которое мы имеем для записи и различения акта счета, который его порождает, от бесконечной серии актов счета, от которых, будучи неразличимыми в других отношениях, память отказывается сохранять отдельный след. Иными словами, любой акт счета, когда он берется как подсчитанная единица, ipso facto отождествляется с той частью непрерывного потока времени, для подсчета которой он служит и из места которой в потоке времени он извлекает свою ценность как количество.
Мы возвращаемся, таким образом, в последней инстанции к числам, и в первую очередь к ряду целых чисел Integers, как основе всей науки исчисления, а через исчисление и измерения, – поскольку не может быть измерения одной вещи другой, без предварительного различения двух вещей от одной, то есть без счета. Но, как мы видели, все Числа являются континуумами; то есть, их нельзя отличить одно от другого иначе, как воспринимая их как непрерывные части одного и того же континуума, которые становятся дискретными одно от другого только благодаря абстрактному акту счета, то есть, идеального деления (не занимая) этого континуума. Дискретное количество – это непрерывное количество, разбитое или рассматриваемое как разбитое на более мелкие
континуумы, процесс, для которого не существует поддающегося определению предела. Число само по себе является дискретной величиной в этом смысле. Я думаю, что избежать этого вывода невозможно, если только мы не предположим, что Абсолютный Логос того или иного рода создает себя и вселенную посредством некоего имманентного псевдодействия и повторного действия между логическими принципами тождества и противоречия, – идея, которая была бы странной, если бы была истинной, а также непонятной, будь она истинной или нет. В то же время необходимо помнить о нескольких вещах. Во-первых, при формировании любого ряда или системы чисел абстрагируются от конкретной природы континуума, частью которого они являются. Мы видели, что Время, как факт, является единственным континуумом, который необходим для процесса счета. Но знание этого факта не входит в природу числа, рассматриваемого ни как средство, ни как объект исчисления. Время не является объектом, измеряемым простой последовательностью актов счета, интервалы между которыми совершенно произвольны в том, что касается их продолжительности. Точно так же психологический акт целенаправленного внимания к содержанию сознания необходим для счета, а значит, и для числа. Но этот акт по своему психологическому характеру лежит полностью вне процесса-содержания счета как такового. Его длительность как психологического акта вообще не подвергается сомнению. Если время или акт внимания становятся объектом измерения или подсчета, то это должно происходить путем их предварительной объективации как особого объекта среди других. Число, короче говоря, хотя и возникает исключительно из идеального деления континуума посредством психологического акта, имеющего длительность, не является измерением ни континуума, ни акта. Однако есть объект, который оно измеряет, а значит, есть смысл, и самый существенный для него, в котором оно является измерением; объект, который оно создает, есть объект, который оно измеряет, а именно само число, посредством первого результата его фундаментального и вечно повторяющегося акта, акта счета, этим первым результатом является Единство, или число Один. Число (как общий термин) означает количество единиц. Иными словами, эталоном измерения во всех вычислениях является Единство, то есть то определение, в котором акт счета и его результат совпадают. Именно это обстоятельство придает исчислению его специфический характер среди всех других способов или наук об измерении.
Рассмотрим подробнее, как это может быть. Идеально разделяя временной континуум первым актом счета, мы смотрим назад на часть этого континуума, которая не определена в отношении его начала, и вперед на другую его часть, которая не определена в отношении его конца. Во втором акте счета мы определяем конец этой последней части, оглядываемся на нее в ретроспективе как на часть, начало которой уже определено первым актом счета, и переходим к другой части, конец которой еще не определен. В третьем акте подсчета повторяется тот же процесс, и так до тех пор, пока мы можем продолжать считать. Таким образом, продвигаясь вперед, мы продолжаем откладывать в памяти серию актов счета, каждый из которых определяет конец одной части временного континуума и начало другой, при этом сам континуум в остальном остается нерасчлененным, то есть не определенным в отношении продолжительности любой его части, кроме последовательных актов счета, которые могут происходить через совершенно произвольные и переменные интервалы.
Но в то же время нельзя избежать и обойтись без восприятия самого временного континуума. Ведь если бы не было воспринимаемого интервала между последовательными актами счета, они не могли бы восприниматься как несколько или последовательные; не было бы возможности вспомнить или записать первый акт при выполнении второго, второй – при выполнении третьего и так далее. Таким образом, временные интервалы необходимы для последовательности актов счета, то есть для числа, и все же не существует меры длины этих интервалов, кроме как запомненного или записанного количества раз, в течение которых были выполнены последовательные акты счета. Следовательно, интервал или разница между актами счета, то есть между последовательными числами, 1, 2, 3 и т. д. (а также каждое увеличение числа самих актов), измеряется 1. Или, другими словами, числовое Единство, чистое Число, является мерой интервала или разницы между 2 и 1, между 3 и 2, между 4 и 3, и так далее. Поэтому, когда мы объективируем Число в его истоках, или в его низших и простейших терминах, как результат повторяющихся актов счета, мы должны рассматривать его, как и само Время, как непрерывно растущее количество, последовательные приращения которого отмечаются и записываются только цифрами или символами, выражающими число единичных актов счета, которые пошли на их дискриминацию, в которой каждое единичное приращение обязательно соответствует одному акту счета, и поэтому обязательно равно каждому другому. Ибо тогда перед нами открываются два пути, одинаково законных и одинаково необходимых, чтобы объективировать его. Если в первом случае мы объективируем несколько актов счета как таковых, то получим ряд: 1. 2. 3. 4. и т. д., тогда как, если мы объективируем этот же ряд чисел вместе с континуумом, который они разделяют, мы получаем ряд интервалов, в котором те же самые цифры или символы представляют интервалы между отдельными актами счета и в котором мы мысленно поставляем начальную точку 0, расстояние или различие которой от первого акта счета определяется единством, то есть тем же самым расстоянием или различием, которое имеет место между всеми несколькими последующими актами счета. Каждый интервал сам по себе является числом и ничем иным, а именно числом один. В результате первоначальный временной континуум, различаемый актами идеального деления, превращается в чисто числовой континуум, то есть в континуум, в котором нет интервалов (а есть только идеальное деление) между несколькими дискретными частями, называемыми числами, из которых он состоит. И в дальнейшем для целей вычисления Числа заменяют и подменяют этот временной континуум и его идеальное деление актами целенаправленного внимания, которые являются матрицей, из которой они первоначально возникают.
Отныне числа предстают или могут предстать как нематериальные сущности, обладающие независимым или исключительно самозависимым бытием, со своими собственными свойствами и законами, связывающими их друг с другом, как если бы они были обитателями некой трансцендентной области, sui generis, далекой от обычных явлений пространственной фигуры, движения и материи; в то же время, будучи применимыми к измерению и вычислению этих явлений, они, по-видимому, вносят трансцендентный или чисто априорный элемент в науки, которые их рассматривают, а именно, в чистую геометрию и физические науки. С этой точки зрения можно сделать Числа объектом многих квазинаучных суеверий. В действительности же они обязаны как своей собственной природой, так и применимостью в геометрии и физических науках тому факту, что они берут свое начало в идеальном разделении временного континуума актами целенаправленного внимания. Воспринимаемый факт вечно делимой, но никогда не разделимой непрерывности, которой они обязаны своим происхождением, не утрачивается, а лишь трансформируется, когда они сами воспринимаются как образующие числовой, то есть дискретный, но неразделимый континуум единиц; в котором каждая единица, будучи сама континуумом, снова идеально делима на меньшие континуумы, или континуумы более низкого порядка по сравнению с исходным рядом целых чисел, а те снова на континуумы еще более низкого порядка, и так далее без заданного предела.
Теперь мы видим метафизическое обоснование тех элементарных утверждений о числе, с которых обычно начинаются арифметические трактаты. Я беру следующее из «Универсальной арифметики» Ньютона, «In usum Juventutis Academicoe»:
«Под числом мы понимаем не столько множество единств, сколько абстрактную пропорцию любого количества чего бы то ни было к другому количеству того же рода, которое принимается за единство. Число бывает трех видов: целое, дробное и избыточное. Целое число – это то, мерой которого является единица. Дробь – это число, мерой которого является подмногочисленная часть единства. Дробь – это то, что не может быть измерено единицей».[8 - Arithmetica Universalis. Cantab. 1707- p. 2.– «Per Numerum non tam multi tudinem uni tat um quam abstractam quantitatis cujusvis ad aliam ejusdem generis quantitatem quae pro unitate habetur rationem intelligimus. Estque triplex; integer, fractus et surdus: Integer quem unitas metitur, fractus quem unitatis pars submultiplex metitur, ct surdus cui unitas est incommensurabilis.» Мне говорили, что наиболее продвинутые математики современности перестали рассматривать число как количество и больше не принимают концепцию Ньютона, изложенную в этом отрывке. Конечно, математики могут определять число любым способом, который они считают наиболее подходящим для требований своей науки. И все же я должен сказать, что, рассматривая число с точки зрения его происхождения в реальном опыте и места, которое оно занимает в этом опыте в целом, я не вижу, как оно может быть отнесено в конечном итоге к какой-либо другой концепции, кроме концепции количества, которая охватывает все возможные виды сравнительной величины, если только мы не считаем его чистым творением некой чисто абстрактной мыслящей силы, ипостазированной как агент по предположению, и в этом случае его, несомненно, можно считать качеством, а именно качеством мысли этой предполагаемой мыслящей силы. Но это означало бы подмену предположения опытом. Во всех утверждениях Ньютона об элементарных истинах, насколько я могу претендовать на знакомство с ними, я, как мне кажется, распознаю разум, который не только принимает опыт в качестве своего руководства, но и держит в поле зрения отношения, которые та часть опыта, которую он в любой момент рассматривает, несет к другим частям и к целому. Это обстоятельство делает его труды бесценными для метафизика.]
Здесь можно задать вопрос, как, отбросив дроби, можно представить себе какое-либо число, не измеряемое единицей. Ответ, по-видимому, заключается в том, что Ньютон имеет здесь в виду числа, которые названы только общими терминами, то есть названы как воображаемые результаты, не осуществимые в действительности определенных процессов вычисления, которые, если предположить (jper impossibile), что они могут быть доведены до конца, дали бы определенные числа, соизмеримые с единством, как их результат. Теперь, поскольку алгебра – это та ветвь всей науки вычислений, которая основана на обобщении арифметических чисел и процессов, – каждое обобщение выражается некоторым символом, позволяющим использовать его в вычислениях, как если бы это было конкретное число или конкретный вид процесса, – а Ньютон рассматривает здесь элементы арифметики и алгебры в сочетании, мы должны предположить, что он имеет в виду главным образом алгебру, когда называет сурды третьим из трех высших видов, на которые делится все число.
Корни возникают в алгебре в процессе извлечения так называемых корней из чисел, которые таким образом ipso facto рассматриваются как силы; и корни, и силы используются в алгебре как общие термины для обозначения предполагаемых результатов определенных процессов вычислений. Под силами числа понимаются числовые результаты, которые получаются при умножении этого числа на само себя любое заданное число раз, например, 2 x 2 = 4; 4 x 2 = 8; 8 x 2 = 16 и так далее; где 4 – это вторая сила (или квадрат) 2, записываемая как 2
; 8 – это третья сила (или куб), записываемая как 2
; 16 – это четвертая сила, записываемая как 2
. Обратный этому процесс – извлечение корня. Он состоит в том, чтобы найти, какое число, умноженное определенное количество раз на само себя, даст то число, квадратный, кубический, четвертый, пятый и т. д. корень которого требуется. Но здесь возникает трудность, обусловленная, как обычно бывает в таких случаях, предположением, а именно предположением, что каждое данное число – это сила. Ибо, хотя нам нетрудно возвести любое данное число в любую заданную силу путем умножения, из этого отнюдь не следует, что мы можем довести до конца обратный процесс извлечения корня из любого данного числа. Это обязательно следует только в случае тех чисел, которые ранее были достигнуты прямым процессом. Мысль о том, что все данные числа являются производными от корней, а также просто числами, возникла в результате обобщения успешных примеров извлечения корней и, следовательно, ожидания успеха в тех случаях, когда в действительности можно получить лишь воображаемые результаты. То, что эти два процесса обратны друг другу по виду, не означает, что они одинаково применимы к любому данному числу.
Поэтому во всех случаях извлечения корня, когда данное число, корень из которого требуется извлечь, не является заведомо целым, перед нами не простой процесс вычисления, а проблема, проблема, заключающаяся в том, чтобы найти, имеет ли данное число корень или нет. Из того, что в задаче предлагается найти корень из данного числа, не следует, что искомый корень может быть найден. Например, «число точных квадратов бесконечно; но в любых заданных пределах существует гораздо больше чисел, не имеющих точных квадратных корней, чем точных квадратов»[9 - Arithmetic for the Use of Schools, By A, Sonnenschein and H. A. Nesbitt. London, 1870. Part III., p. 216.].
А в алгебре, цитируя другого авторитета, «когда корень из алгебраической величины, которая требуется, не может быть точно получен, он называется иррациональным или перенасыщенным количеством. Таким образом, ?a2 или a2/3 называется прибавочной величиной».[10 - Todhunter’s Algebra. Fifth Edition, 1870, p. 157.]
Переходя ко второй и, безусловно, наиболее обширной и важной ветви всей науки исчисления, а именно к алгебре, используя этот термин в самом широком смысле, мы находим первый параграф «Универсальной арифметики» Ньютона следующим образом:
«Вычисления производятся либо с помощью чисел, как в обычной арифметике, либо с помощью символов с общим значением (видов), как это практикуется аналитиками. Каждый вид опирается на одни и те же основания и стремится к одной и той же цели; Арифметика – определенно и конкретно, Алгебра – неопределенно и универсально. Таким образом, в широком смысле все формулировки, используемые в алгебраических вычислениях, и особенно их выводы, можно назвать теоремами. Но главное достоинство алгебры состоит в том, что в то время как вопросы арифметики решаются только путем перехода от заданных величин к искомым, алгебра по большей части идет от искомых величин, взятых как если бы они были заданными, к заданным величинам, взятым как если бы они были искомыми; чтобы прийти, во что бы то ни стало, к некоторому выводу или уравнению, из которого может быть получено искомое количество. Таким образом решаются самые сложные задачи, решение которых тщетно пыталась бы найти только Арифметика. Тем не менее, Арифметика настолько подчиняет себе Алгебру во всех ее операциях, что обе они вместе составляют единую совершенную Науку вычислений; по этой причине я предлагаю излагать обе эти науки вместе».[11 - Цитируемая работа, стр. 1 – «Computatio vel fit per numeros ut in vulgari Arithmetica vel per species ut Analystis mos est. Utraque tisdem innititur fundamentis, et ad eandem metam collimat: Arithmetica quidem definite et particulariter, Algebraica autem indefinite et universaliter; ita et enuntiata fere omnia quae in hac computatione habentur,. et praesertim conclusiones, Theoremata dici possint. Verum Algebra maxime praecellit quod cum in Arithmetica Quaes tiones tantum resolvantur progrediendo a datis ad quaesitas quantitates, haec a quaesitis tanquam datis ad datas tanquam quaesitas quantitates plerumque regreditur; ut ad conclusionem aliquam, seu PEquationem, quocunque demum modo perveniatur,, ex qua quantitatem quaesitam elicere liceat. Eoque pacto conficiuntur difficillima Problemata quorum resolutiones ex Arithmetica sola frustra peterentur. Arithmetica tamen Algebrae in omnibus ej us opcrationibus ita subservit, ut non nisi unicam perfectam com- putandi Scientiam constituere videantur; et utramque propterea conjunctim explicabo. "– Здесь мы снова находим не менее авторитетного человека, чем Огюст Комт, обвиняющего Ньютона в определении алгебры как универсальной арифметики, на том основании, что это дает очень ложное представление о реальном соотношении между двумя науками, которое сам Ньютон был бы одним из первых, кто отверг бы его в настоящее время. {Курс философского позитивизма. Quatrieme Lecon. Vol. I., p. 135. Издание Литтре, 1864). Различие между ними, проведенное самим Комтом, кратко резюмируется словами: «Алгебра – это вычисление функций, а варифметика – вычисление величин» (ibid. p. 134). Но, ни на минуту не отрицая универсальности чистой арифметики, которая является одновременно основой и конечной целью всех вычислений, я все же не могу не думать, что различие метода (a queesitis tanquam datis ad datas tanquam queesitas quantitates), отмеченное Ньютоном как характерное для алгебры, дает более ясное представление о положении, которое эти две области соответственно занимают по отношению к процессам обычного логического мышления. Различие Ньютона особенно ценно тем, что оно демонстрирует методы арифметики и алгебры _ в этой связи, то есть в свете их общего отношения к мышлению в целом. То, что это различие реально, что обратный метод алгебры действительно является обобщением, а также инверсией метода арифметики, надеюсь, станет очевидным по мере нашего дальнейшего изложения. —]
В этом отрывке есть несколько моментов, которые, кажется, требуют разъяснения. Термин «виды» я перефразировал, а не перевел как «символы, имеющие общее значение»; общее – это термин обычного логического мышления, который наиболее точно соответствует тому, что в чисто количественном мышлении выражается неопределенным. Значение видов в настоящее время дано самим Ньютоном как эквивалент букв, используемых для обозначения количеств, которые либо неизвестны, либо считаются неопределенными. «Когда количество чего-либо неизвестно или считается неопределенным {indeterminate spectatur), так что оно не может быть выражено числами (ita lit per numeros non liceat exprimere), мы имеем обыкновение обозначать его каким-либо видом или буквой (speciem aliquant seu literam). А если мы считаем известные величины неопределенными, то для определенности обозначаем их начальными буквами алфавита, a, b, c, d, а неизвестные величины – его конечными буквами, z, y, x и т. д.[12 - Work cited, p. 3.]
И снова, на стр. 6, a, b и x даны как примеры видов, а ab и abx – как выражения для процесса их умножения друг на друга. Таким образом, два различных вида величин, как и те, которые выражаются просто арифметическими числами, могут рассматриваться совместно с помощью этих двух классов алгебраических символов.
Из этого мы видим, что, по крайней мере, должно подразумеваться под краткими выражениями proceeding a qucesitis tanquam datis и ad datas tanquam qucesitas quantitates. Мы исходим «из искомых величин, как если бы они были величинами данными», когда обозначаем их буквами, которые можем использовать в качестве элементов в процессах вычисления, как если бы они были известными числами; это возможно только потому, что они косвенно даны посредством тех их отношений к другим числам или величинам, которыми они описываются в задачах, касающихся их, и без которых мы не имели бы о них никакого представления. Символы x, y, z и т. д. – это общие термины, описывающие любое число, которое отвечает заданному описанию или принадлежит к заданному классу, и которое, следовательно, в пределах этого класса может быть определено в неограниченном диапазоне. Символы a, b, c, d и т. д. также являются общими терминами, применимыми к классам, но ограничены для обозначения некоторой минимальной величины, которая не меняется в процессе вычисления, хотя конкретная величина остается неопределенной. Неизвестные величины первого класса называются переменными, второго – константами. Именно из соотношений, заданных таким общим образом, и нужно выявить искомые числа или величины. И при этом мы ipso facto переходим «к заданным величинам, как если бы они были искомыми величинами», а именно, когда мы выражаем действительно заданные отношения как результат вычислений, в которых используются буквы, обозначающие неизвестные квезиты.
Данные отношения, о которых мы говорим, между числами или количествами, которые сами по себе не даны, а искомы, отношения, которые подразумеваются в значении букв, обозначающих эти искомые количества, являются в исчислении тем же, чем являются обобщения или общие описания в обычном мышлении, наукой о котором является логика. Они соответствуют тому, что в логике называется «вторыми намерениями», а арифметические числа – ее «первым намерениям». Как если бы в обычном логическом мышлении нам дали отношения, выражаемые сложным общим термином «разумный бесперый двуногий» (для простоты используем старый пример), и потребовали найти индивидуальное существо, соответствующее описанию, а именно человека. Или, опять же, как если бы был дан термин «разумный бесперый четвероногий»; в этом случае требуемое индивидуальное существо, соответствующее описанию, если предположить, что его не удастся найти, будет аналогично либо нулю, либо избыточному или невозможному количеству в числах, количеству, называемому воображаемым, потому что оно не мыслимо, то есть не реализуемо в мысли, но продолжает быть выражением для процесса, неспособного быть доведенным до точного завершения.
Такие процессы от общих понятий к частным случаям плодотворны в чистой математической мысли, потому что ex hypothesi она имеет дело только с чистым количеством, дискретным или непрерывным, а не с какими бы то ни было общими понятиями, которые могут быть порождены воображением intellectus sibi permissus. Ее методы, ограниченные этим объектом-материей, позволяют отличить истинное от ложного, мыслимое от немыслимого. Чистая математика, как и все точные науки, необходимой основой которых она является, имеет дело с объектами (используя этот термин в самом широком смысле) лишь постольку, поскольку они либо поддаются измерению, либо могут быть проверены с точки зрения измеримости. Мы уже видели, что арифметика рассматривает числа как целостные и независимые объекты, имеющие различные значения по отношению друг к другу, как если бы они были множеством атомов, молекул или масс материи, принадлежащих к различным видам химических веществ. Хотя они являются продуктами мысли вне восприятия, но, как мы видели, мысль немедленно возвращает их в перцептивный порядок, представляя каждое число как логически единичное и индивидуальное существо. Более сложные или сложные законы их комбинаций должны быть открыты, как и в случае с реальной материей, путем дальнейших упражнений мысли, то есть концепции и рассуждения. И этим дальнейшим упражнением в случае арифметических чисел, которые являются Реальностями вычисления, является Алгебра, метод, который является обобщением арифметического метода, выводящим явно все то, что в арифметике подразумевается, но не развивается.
Ибо если алгебра обобщает числа или величины арифметики так, как мы только что видели, то она неизбежно приводит к обобщению, или, скорее, расширению применения своих процессов, аналогичным образом. Так, например, он делает, когда использует скобки или vincula для обозначения того, что сложная величина, которую он мог создать для себя из условий какой-либо задачи и значение которой он оставил численно неопределенным, должна рассматриваться как составная, хотя и единая величина; то есть величина, при алгебраическом решении которой, до решения уравнения, в котором она стоит, должен быть учтен каждый отдельный компонент. Например, в выражении (a + b)
заключение a + b в скобки со знаком возведения во вторую (или квадратную) степень указывает на то, что каждый из его компонентов, взятый отдельно, должен быть умножен один раз на себя и один раз на другой компонент; таким образом, мы получаем эквивалентность,
(a + b)
= a
