Начиная с таких простых начал, как эти, все мыслимые конфигурации пространства, направления, движения, скорости и их изменения могут быть введены в диапазон чистого вычисления. Вся аналитическая геометрия состоит в применении ее к посторонней предметной материи пространственных фигур. И благодаря чрезвычайной общности ее символов и методов в сочетании с минимальностью того, что мы можем назвать ее прожектором – исчисления, мы можем быть уверены, что ни одна часть пространства, времени или возможного движения не должна быть оставлена непредставленной в ее результатах.
Из этого, однако, отнюдь не следует, что все результаты в форме алгебраических или символических выражений, к которым приходит чистое исчисление или которые выводятся из его процессов в ходе такого применения, должны иметь корреляты, представленные ими в объектной материи, к которой применяется исчисление. По сравнению с общими понятиями и процессами чистого вычисления, объект-материя, который мы знаем как поддающееся измерению пространство, время и движение, – это данный и конкретный объект-материя. Ее явления, хотя и весьма абстрактные, не допускают обобщения так же, как это делает простое арифметическое число, благодаря приему обращения с неизвестными числами, как если бы они были известны, и несуществующими или отрицательными числами, как если бы они существовали для целей вычисления. Следовательно, никогда нельзя избежать вопроса, могут ли символические выражения, к которым мы приходим или которые участвуют в вычислении, быть или не быть истолкованы как указывающие или представляющие какие-либо позитивно мыслимые особенности или отношения в данном объекте-материи; ибо этот объект-материя имеет свою собственную природу и законы, полностью независимые от тех процессов чистого вычисления, которые действительно используются для их открытия, но сами по себе не ограничиваются этим открытием и никоим образом не являются творческими в отношении природы и законов, которые они используются для открытия. Акты целенаправленного внимания к временному потоку сознания порождают число и исчисление, но ни число, ни исчисление не порождают восприятия пространственной протяженности или того движения, которое ее предполагает. Именно из актов целенаправленного внимания к восприятию пространственной протяженности и движения возникает Геометрия; и именно этим объектом-материей определяется ее цель и определение как науки. Каким бы необходимым ни было чистое вычисление для должного изучения пространственных явлений, оно никогда не сможет изменить ни их природу, вытекающую из пространственного протяжения, ни природу самого пространственного протяжения как непосредственной данности опыта. Эти замечания еще более очевидно применимы к тому более конкретному объекту-веществу чистого вычисления, который состоит из физических масс, сил и энергий Они также, включая их интенсивности, направления и изменения, вводятся в область вычисления теми же средствами, а именно, путем принятия единиц измерения, выраженных численно. При условии, как и прежде, что они рассматриваются исключительно как существующие и происходящие во времени и пространстве, то есть как величины, абстрагируясь от их реальных условий и последствий, отличных от тех, которые могут быть выражены как величины самих сил. Качественные изменения, такие как те, которые происходят вследствие химического сродства между веществами, хотя они могут быть результатом количественных изменений, таких как изменения конфигурации, в веществах, которые объединяются, таким образом, как качественные, исключены даже из этого вторичного объекта-материи чистого вычисления; хотя они также таким образом ipso facto классифицируются как принадлежащие к третьему и еще более отдаленному объекту-материи его, я имею в виду в силу их зависимости от чисто количественных физических изменений, относящихся ко второй главе, насколько законы этих изменений могут быть количественно установлены.
Таким образом, чистое исчисление можно рассматривать как априорную количественную обработку явлений всего физического мира, – априорную, конечно, не в трансцендентальном смысле этого слова, но в том смысле, что она основана на необходимости (вследствие того, что время и пространство являются нераздельными элементами в конечных данных опыта) представлять их как явления, существующие во времени и пространстве и занимающие их, и ограничиваться обработкой их только в этом характере. Она разрабатывает, с одной стороны, мыслимые возможности, с другой – неизбежные необходимости, связанные с этими явлениями. Таким образом, в этих пределах он может как предложить физику, химику или биологу новые гипотезы, так и проверить уже предложенные гипотезы, проработав количественные последствия, которые они влекут за собой.
Однако чистое вычисление, хотя и основано на делениях только времени (а не пространства), не является наукой о времени в том смысле, в каком чистая геометрия может быть названа наукой о пространстве, а именно как наука о его конфигурациях, или о фигурном пространстве, или о фигурном пространстве и его границах, точках, линиях и поверхностях, вместе взятых. Длины времени не являются объектом вычисления в том же непосредственном смысле, в каком протяженности и фигуры являются объектом геометрии, хотя вычисление, конечно, может быть применено для их определения. Длины времени не являются содержанием чисел, как пространственные протяженности являются содержанием пространственных границ. Числа возникают первоначально из последовательных актов деления временного континуума, но равенство всех единичных числовых единиц само по себе не вытекает из какого-либо воспринимаемого равенства в нескольких интервалах между этими последовательными актами деления. Длительность этих интервалов имеет не больше отношения к числовому значению единиц, чем длительность времени, психологически необходимого для выполнения каждого акта деления в мысли. Никакой единицы измерения времени таким образом не создается. Поэтому то обстоятельство, что время является единственным континуумом, необходимым для совершения актов счета, то есть для создания единиц, не делает эти акты мерами временной длины и не возводит измерение абстрактного времени в единственную или даже главную цель вычисления. Геометрия – это наука об измерении пространственной протяженности, делимой или делителями; исчисление – это наука о самом делении, каким бы ни был континуум, который оно измеряет.
Акты счета являются первым условием или ингредиентом установления единиц измерения; а установление единицы или фиксированного стандарта, всегда равного самому себе, в свою очередь, является первым и необходимым шагом в измерении явлений любого рода. Таким образом, вычисление во всем своем развитии непосредственно применимо к делениям или границам пространства, а именно, путем разбиения их на единицы равной длины, или части, измеряемые друг другом. Следовательно, фигуры в пространстве могут быть выражены числами; единицы длины, ширины и объема, будучи однажды взятыми. Измерение длины времени с помощью постоянных и общеприменимых единиц зависит от измерения длины пространства как одного из условий и поэтому возможно лишь косвенно.[17 - См. доклад покойного Эдварда Хоксли Родса «Научная концепция измерения времени», прочитанный в Аристотелевском обществе 1 июня 1885 г. и опубликованный в журнале «Mind», том X., стр. 347, первая серия. Возможно, мне следует также упомянуть о моей работе «Измерение времени в его отношении к философии», опубликованной в «Трудах Аристотелевского общества», том II, Я пользуюсь этой возможностью, чтобы с благодарностью отметить помощь, которую я получил от бесед с моим другом мистером Э. Хоксли Родсом в последние годы его жизни, а также от переписки с моим другом (и постоянным учителем математики во время его пребывания в Англии), мистером Эдуардом Мерлье, по теме настоящего раздела. Я ни в коей мере не хочу возлагать на них ответственность за ошибки, вызванные моим собственным несовершенным пониманием математической науки, и тем более за ход моих метафизических спекуляций относительно нее.]
Таким образом, время, хотя (или скорее потому, что) оно является наиболее фундаментальным условием науки вообще, по своему характеру как единственный необходимый формальный элемент сознания, избегает быть предметом какой-либо специальной науки о нем. Ибо для того, чтобы вообще быть понятым как объект, оно должно быть взято вместе с некоторыми определениями или различиями, принадлежащими к его неотделимому содержанию, или со-элементу, ощущению, поскольку время в чистом виде есть абстракция, неспособная быть даже приведенной в сознание без некоторой ссылки на то, от чего она абстрагирована мыслью. Более того, чтобы его рассматривать как объект особой отрасли науки, посвященной только ему, эти определения могут быть взяты только из того неотъемлемого соэлемента чувства, который является исключительно его собственным, то есть из чувств, которые занимают только время, а не время и пространство вместе. Но эти ощущения сами по себе, как мы видели, не являются постоянной единицей, применимой для измерения последовательных временных интервалов.
В этом отношении время отличается от пространства, неотъемлемое содержание или сопутствующий элемент которого, я имею в виду элемент зрительных и осязательных ощущений, богат различиями направления и величины, которые могут быть приведены в сопоставление и измерены один против другого. И эти пространственные измерения на самом деле являются конечными средствами, которыми мы располагаем для измерения временных интервалов, хотя и только косвенно. В идеале, конечно, мы можем представить себе время, разделенное на точно равные друг другу длительности, и сделать из этого идеальный стандарт, к которому, по идее, должны приближаться фактические косвенные измерения. И это фактически то самое, что делает Ньютон, когда говорит об «абсолютном времени», что оно «течет равномерно», ибо это эквивалентно представлению о нем, разделенном на единицы равной продолжительности. В этой концепции «абсолютного времени» наука о времени, можно сказать, одновременно и начинается, и заканчивается. Как доктрина она не существует. Однако на практике ее место занимает наука о делениях времени, то есть исчисление, или наука о чистом числе. Чистое исчисление и чистая геометрия, основанные соответственно на двух формальных элементах всего сознания – длительности времени и протяженности пространства, – это две науки, которые стоят у истоков всех позитивных и точных наук. Из вышеизложенного рассказа о применимости абстрактного или чистого числа к измерению конкретных содержаний или частей того конкретного временного потока сознания, из которого, благодаря вниманию и абстракции, оно возникает, мы видим не только происхождение концепции количества в целом, но и происхождение двух видов или классов, на которые количество обычно рассматривается как делимое, а именно: (1) непрерывное, (2) дискретное количество. Число – это дискретное количество в смысле представления результата идеального деления непрерывного количества на множество частей, или меньших континуумов, хотя следует помнить, что только путем деления первоначально нерасчлененный континуум становится или может мыслиться как количество вообще. Число – это название одной или нескольких частей, возникающих в результате такого деления. Если рассматривать числа как состоящие из одного или нескольких единиц, а непрерывные величины сводить к измерению путем деления их на единичные континуумы, то фактическое измерение непрерывной величины можно рассматривать как ответ на вопрос Сколько, а фактическое измерение дискретной величины – как ответ на вопрос Сколько? И применение последнего к первому, когда оно может быть осуществлено, всегда говорит нам, сколько единиц непрерывной величины можно найти в континууме, который измеряется. Таким образом, непрерывное и дискретное количество – это, строго говоря, не два отдельных класса количества, а два различных, хотя и неразделимых способа, с помощью которых количество может рассматриваться. Без непрерывности никакое количество не могло бы существовать; без дискретности оно не могло бы быть признано количеством. Сама идея количества возникает из целенаправленного введения идеального деления в данный репрезентативный континуум.
§6. Понятие бесконечности
От этих кратких рассуждений о математических науках – геометрии, кинематике и исчислении – я предлагаю теперь вернуться к вопросу об отношении, которое явления абстрактного пространства, времени и числа, когда они так рассматриваются, имеют к объективированной панораме реального внешнего мира, как он представляется нам в результате метафизического анализа опыта. И прежде всего, замечания, сделанные сейчас по поводу числа, позволяют нам вкратце изложить, как мы приходим к тому, чтобы приписать бесконечность пространству и вечность времени, как они выглядят в этой объективированной панораме, и это в обоих направлениях, (1) делимость, (2) растяжимость, in infinitum. В природе и происхождении числа у нас есть нечто, с чем можно контрастировать и посредством контраста сделать понятной бесконечность времени и пространства в обоих направлениях. Число есть для времени, как объективированный континуум, что геометрическая фигура есть для пространства, как объективированный континуум; оба являются ограничениями, введенные мыслью в заранее предположенные содержания восприятия, которые без них были бы абстрактными континуумами; восприятие фактических различий в содержании, в обоих случаях, является обстоятельством, которое мысль повторяет в представлении, и возводит в идеальное ограничение пространства и времени как абстрактных восприятий. Ряд чисел, скажем, от 1 до 100, или по ту сторону нуля от – 1 до -100, соответствует замкнутой геометрической фигуре, скажем, кубу или сфере. Процесс подсчета, то есть называния цифрами или символами, любого ограниченного количества единиц только во времени, с абстрагированием от пространства, – это то, чем является процесс воображения замкнутой твердой геометрической фигуры в пространстве и времени вместе. Как неотъемлемые элементы восприятия, их существенный характер – непрерывность; и этот перцептивный характер является основой их бесконечности, когда они воспринимаются как абстрактные представления. Таким образом, восприятие того, что они выходят за пределы любого ограничения, когда бы мы ни подвергали их испытанию либо представлением, либо репрезентацией, является фактом, который, когда мы сознательно обращаем на него внимание, становится концепцией их бесконечности; бесконечность времени, в направлении растяжимости, называется конкретным именем вечности. Бесконечными считаются те и только те вещи, которые не имеют возможных или мыслимых конечных пределов. Ничто, для чего мы можем представить себе конечный предел, не может быть представлено как обязательно или по своей природе бесконечное, хотя оно может быть представлено как неопределенное, то есть как становящееся либо бесконечно большим, либо бесконечно малым. Время и пространство мы не в состоянии представить себе как имеющие такой конечный предел. Мы представляем их как неограниченную и неоформленную непрерывность. Предполагать, что время или пространство, когда они представляются бесконечными, представляются завершенными тотальностями (что означало бы представлять их eo ipso как конечные), – простая логическая ошибка на том основании, что всякое представление есть ограничение. Тот перцептивный факт, что время и пространство избегают ограничения или выходят за его пределы посредством концепции, а не восприятие времени и пространства как тотальностей, действительно сам по себе является ограничением; однако не тем ограничением, которое концепция накладывает на время и пространство, а тем, которое они, как перцептивно данные, накладывают на нашу способность к восприятию. Тот факт, что они избегают ограничения концепцией, является тем самым фактом, благодаря которому наше представление о них как о бесконечных само конституируется, или благодаря которому оно становится определенным представлением.
С замкнутыми фигурами и числами, с другой стороны, дело обстоит иначе. Они образованы ограничением, ограничением сознательного внимания и мысли. Их природа и бытие заключаются в том, чтобы иметь предел или границу. Следовательно, хотя мы можем представить их как величины, способные к неограниченному расширению или неограниченному сжатию, мы не можем представить их как неограниченные по величине в любом направлении, не представляя их полностью упраздненными как замкнутые фигуры или как con- tinua, выраженные числами. Нет такой вещи, как бесконечно большая или бесконечно малая замкнутая фигура; нет такой вещи, как бесконечно большой или бесконечно малый континуум времени, выраженный числом. Изменения в их величине способны лишь на неопределенную прогрессию.
Время и пространство, как формальный элемент восприятия, будучи континуумами, занятыми ощущениями, материальным элементом, и разделенные на части различиями в ощущениях, являются конечной основой любого представления о количестве или величине. Точно так же материальный элемент, с его бесчисленными различиями, является конечной основой любого представления о качестве. Количество и качество перцептивно противоположны, но не являются логическими противоположностями. Это вытекает из их природы как представлений, оформленных мыслью, о том, что, будучи данными, является конечными и неотделимыми элементами всех эмпирических представлений. Логическими противоположностями количества и качества в целом являются не-количество и не-качество, любое из которых, если бы утверждалось о чем-либо конкретном, было бы эквивалентно утверждению его небытия, то есть отрицанию его существования; поскольку оба они являются представлениями об элементах, которые являются существенными, а также нераздельными в составе перцептивных реальностей.
Количество, опять же, если брать его так, как мы его сейчас берем, в связи с анализом сознания, а не только в связи с его местом в математической теории, исчерпывающе делится на логические противоположности, конечное и бесконечное количество. Каждое количество, которое достигается или описывается числовым или геометрическим ограничением, является конечным количеством; каждое количество, которое продолжается за пределы каждого такого ограничения и в силу этого продолжения, является бесконечным количеством. Но это продолжение бывает двух видов. Если последовательные ограничения идут в направлении деления или уменьшения, ???? ?????????, то бесконечность количества, которое их избегает, выражается тем, что оно бесконечно делимо, или делимо in infinitum, не переставая существовать как количество. Если ограничения направлены в сторону прибавления или увеличения, ???? ?????????, то количество, которое их избегает, называется просто бесконечным, или, в случае времени, вечным. Мы можем, пожалуй, табулировать количество, взятое в этом смысле, следующим образом:
Никакое накопление конечных количеств, никакой процесс in indefinitum никогда не может привести к бесконечному количеству, ибо бесконечное количество по сути своей является продолжением за любым мыслимым пределом. Таково наше представление о времени и пространстве, обусловленное их перцептивным происхождением, как о формальном элементе восприятия, в котором они предстают в качестве длительных и протяженных элементов с ощущениями любого и каждого вида. Таково наше представление о них, когда они составляют часть единого реального мира, объективной панорамы реального существования, обязательно придавая ему свою собственную бесконечность и как бы объединяя позитивно познаваемый мир с бесконечной вселенной, частью которой он является. Представить себе время, пространство и вселенную как бесконечные – значит представить себе тот факт, что, будучи восприятиями, они выходят за пределы концепции.[18 - Для более полного обсуждения этого вопроса я бы отослал вас к моей «Философии размышления», глава VIII. (Vol. II., pp. 67—121), а также к моему Аристотелевскому обращению за ноябрь 1893 г., «Концепция бесконечности», опубликованному в. Proceedings of the Aristotelian Society, Vol. II., No. 3, 1894, хотя в последнем есть некоторые утверждения, которых я теперь, пожалуй, не склонен придерживаться.]
Теперь я перехожу к другому разделу этой темы. В предыдущем разделе мы видели, что не существует науки об абсолютном времени, взятом отдельно, но что любое измерение времени, которое является общеприменимым, зависит от некоторого предыдущего измерения объектов или движений во времени и пространстве вместе. Таким образом, в определенном смысле измерение пространства является предшествующим условием измерения времени, и именно об этом я должен сейчас рассказать.
Обычное геометрическое представление о реальном, но абстрактном пространстве – это представление о нем как о безграничном пространстве, или протяженности во всех направлениях, абстракции, которая позитивно воспринимается только при сохранении в мысли некоторой определенности, взятой из ее материального со элемента в восприятии, чтобы противопоставить ее полной пустоте одного лишь формального элемента. Минимальным определением, или sine qua non восприятия абстрактного пространства, является мысль о математической точке в нем, как о центре расходящихся линий, или направлений, в которых может происходить движение, без ограничений или отклонений, возникающих из пустоты, в которую оно направлено.
Наше первоначальное комплексное восприятие конкретного мира пространства включало в себя восприятие его как окружающего единственного постоянного центра; но этот центр был занят конкретным объектом, телом воспринимающего, как показал анализ, приведенный в книге I. Но когда мы абстрагируем формальный элемент, называемый пространством, от этого конкретного мира и объективируем его как абстрактный объект, мы не только абстрагируемся от любого конкретного объекта в качестве его центра, но и обнаруживаем, что математическая точка, которую мы затем сохраняем в мысли как минимальное условие ее представления, не имеет в ней никакого конкретного положения; при этом в мысли не сохраняется никакой другой точки или точек, по отношению к которым ей можно было бы приписать конкретное положение. На самом деле мы имеем полную свободу действий, вводя определения и фигуры в наше представление реального, но абстрактного пространства, при одном лишь условии, что они не будут противоречить тому представлению о нем, которое вытекает из опыта, а именно как об абстрактной и безграничной Необъятности, простирающейся во всех направлениях от любой точки, которую мы можем принять за центр. Из этого следует, что все направления, определения или фигуры, которые мы можем ввести в него, будут идеальными делениями одного бесконечного и непрерывного пространства, подобно тому, как в предыдущем разделе мы видели, что все производство чисел состоит в актах деления временного континуума. Теперь, чтобы создать геометрию, или научную систему, всех возможных определений или фигураций пространства, которая будет адекватна этому представлению о нем как о безграничной пустоте и в то же время применима для измерения конкретных физических явлений космического мира, первым и наиболее существенным шагом является приведение к некоторому порядку того неопределенно большого числа направлений, о которых говорят как о «всех возможных направлениях», из одной точки пространства, взятой в качестве центра. Для этого используется система трех прямоугольных осей координат, введенная Декартом и положенная им в основу применения алгебры к геометрии, известной как алгебраическая или аналитическая геометрия.
Чтобы понять, что имеется в виду, представьте себе три прямые линии, каждая из которых может быть продлена в любом направлении до бесконечности и пересекаться под прямым углом в любой точке пространства. Одна из этих линий представляет собой направление или направления вверх и вниз от точки пересечения, другая – направления вправо и влево, а третья – направления вперед и назад от той же точки. Очевидно, что мы можем заменить эти три прямые линии тремя плоскостями, пересекающимися под прямым углом и встречающимися в одной точке; одна из этих плоскостей будет лежать посередине между направлениями вверх и вниз из этой точки, другая – посередине между направлениями вправо и влево от нее и под прямым углом к ним, третья – посередине между направлениями вперед и назад от нее и под прямым углом к ним. Очевидно также, что все остальные точки пространства, кроме этой центральной, должны лежать либо на самих этих линиях или плоскостях, либо в восьми областях, на которые они делят все пространство, в остальном не разделенное на части.[19 - Эти восемь областей – восемь пирамид, каждая из которых состоит из трех сторон и основания (основание находится в бесконечности) и имеет общую вершину. Чтобы представить себе это в воображении, возьмите, скажем, апельсин и разделите его на две половины по горизонтали, причем горизонтальное деление обозначает первую из трех плоскостей, о которых говорилось выше. Затем разделите его на две половины по вертикали, сделав разрез под прямым углом к направлениям Q’iyht и left; и снова на две половины, сделав разрез под прямым углом к направлениям forward и backwards. Если взять верхнюю половину апельсина, образованную первым или горизонтальным разрезом, то очевидно, что теперь она состоит из четырех цельных четвертей или квадрантов, отделенных друг от друга двумя вертикальными разрезами, о которых уже говорилось, и от нижней половины апельсина первым или горизонтальным разрезом. Нижняя половина также состоит из четырех точно таких же четвертей; всего их восемь; таким образом, получается весь апельсин. Наконец, представьте, что поверхность, или поверхностная граница, апельсина удалена, в результате чего восемь его четвертей открыты в направлении их оснований и от их общей вершины в центре апельсина, и вы получите образ бесконечного или безграничного пространства, исчерпывающе отображенного тремя измерениями.]
Из этого следует, что три декартовы оси координат позволяют определить положение любой точки в пространстве, измерив ее расстояние по прямой линии от каждой из трех прямых, называемых осями, или от плоскостей, которыми они могут быть заменены. Эти три оси или направления известны как три измерения Пространства, потому что эти направления и их число, а именно три, одновременно необходимы и достаточны для того, чтобы наметить и обеспечить средства измерения фигур внутри всей этой бесконечной пустоты, которая носит название Пространства. Все остальные направления, или измерения, как средства измерения, а также все фигурации или определения должны лежать где-то внутри областей пространства, выделенных этими тремя. Они делят его исчерпывающим образом, поскольку разделяют его бесконечность.
Менее точным языком будет говорить о длине, ширине и глубине как о трех измерениях пространства или о фигурах в пространстве. Измерение означает направление, по которому можно производить измерения. Широта включает в себя два таких направления, представленных в простейшей форме для целей измерения двумя прямыми линиями в одной плоскости под прямым углом друг к другу. Глубина включает в себя третье направление, представленное по той же причине прямой линией под прямым углом к обеим. Таким образом, ширина и глубина – это не размеры пространства, а свойства его фигуры, определяемые размерами; ширина – двумя, глубина – тремя, начиная с первого, то есть с направления, в котором в конечном счете измеряется только длина и которое представлено прямой линией, поскольку прямая линия тождественна расстоянию между любыми двумя точками.[20 - Что касается того, что расстояние между любыми двумя точками всегда уникально и может быть представлено только прямой линией, и вытекающей отсюда необходимости, которой подчиняется вся геометрия, принимать прямую линию в качестве одного из своих конечных оснований или аксиом, см. замечательную работу «Априори в геометрии» достопочтенного Бертрана Рассела, прочитанную в Аристотелевском обществе 30 марта 1896 года и напечатанную в его Трудах, том III, Я хотел бы также обратить внимание на «Эссе об основаниях геометрии» г-на Рассела, Кембридж, 1897 г., работу, которая попала мне в руки только тогда, когда настоящий раздел уже находился в печати.]
Тем не менее, линии, поверхности и твердые фигуры не могут быть названы измерениями пространства. Линии – это общий класс, содержащий два вида: прямые и кривые линии. Поверхности – это общий класс, содержащий плоские и кривые поверхности. Твердые фигуры – общий класс, содержащий бесчисленное множество подклассов, в зависимости от природы поверхностей, которые являются их границами. Правда, кривая линия, как и прямая, взятая сама по себе, не имеет ширины и в этом смысле может рассматриваться как имеющая только одно измерение. Но это означает лишь то, что ее следует рассматривать как разделение или деление пространства, границу между поверхностями, а не то, что она может служить конечным средством измерения, то есть сама быть измерением пространства или использоваться как таковое, пока не будет установлено ее собственное направление, то есть ее кривизна. Аналогичное замечание справедливо и для кривых поверхностей, и для твердых тел. Только прямые линии могут служить конечными измерениями пространства или фигур внутри пространства, потому что только они являются конечными определениями расстояния между любой точкой и другой.
Принимая таким образом три декартовы оси координат за три измерения, мы возвращаемся к той самой концепции пространства, которая, как мы видели, обоснована метафизическим анализом опыта, в котором она была первоначально приобретена, и которая, будучи объективирована сама по себе как абстрактный объект, как это происходит в чистой геометрии, идентифицируется с концепцией Ньютона «истинного, математического и абсолютного пространства» (гомалоидного пространства, как оно теперь называется), данной в уже цитированном Scholium. Ньютон говорит: «Spatium absolutum, natura sua sine relatione ad externum quodvis, semper manet similare» [гомалоидное] «и неподвижное». Таким образом, концепция Ньютона, метафизическая концепция, обычная концепция здравого смысла и, смею думать, строго геометрическая концепция пространства также совпадают в существенных обстоятельствах представления его как (1) непрерывного протяжения, (2) трех и только трех измерений, (3) бесконечного, а потому (4) только одного пространства, а не многих.
Но эта концепция пространства очевидно и prima facie противоречит некоторым новым событиям, частично обусловленным новыми концепциями в области собственно геометрии, а частично – применением к ней алгебраических методов, которые в последнее время широко признаются в качестве установленных истин. Я говорю, во-первых, о том, что известно как неевклидова геометрия, и, во-вторых, о том, что тесно с ней связано, а именно о гипергеометрической геометрии, или геометрии четырех и более измерений, или, кратко, n-мерного пространства. Необходимо сказать несколько слов по обеим этим темам, чтобы показать, (1) что неевклидовы геометрии неадекватны как геометрии бесконечного пространства, но в то же время не противоречат этой концепции, и (2) что концепция n-мерного пространства самопротиворечива и немыслима; результат, который исключает даже предположение, что такое пространство или пространства могут существовать, хотя и недоступны для существ, наделенных только человеческими способностями восприятия. Логическое противоречие – это причина для отрицания реального существования, значительно отличающаяся от любой причины для его отрицания, возникающей только из-за ограниченности человеческих способностей. Пространство n измерений, как я попытаюсь показать, столь же логически немыслимо, как и утверждение в арифметике, что 2 +2 равно 5, или что в геометрии квадрат и круг могут быть одинаковыми. Если n-мерное пространство влечет за собой логическое противоречие, то мысль о его существовании в других мирах, кроме нашего, не может даже возникнуть.
В предыдущем разделе мы видели, что в науке исчисления определение величин осуществлялось с помощью символов, которые имели значение и использовались в расчетах, совершенно независимо от того, были ли символизируемые величины реальными, или воображаемыми, или даже противоречивыми. Мы увидели, что символы, обозначающие ничто, 0, и бесконечность, co, могут иметь различные значения в зависимости от того, какое место они занимают в конкретном вычислении, в котором они встречаются; что co может иметь различные степени, одна двойная (скажем) другой; и что 0 не обязательно подразумевает полное исчезновение количества. Короче говоря, мы увидели, что концепция количества в целом была вовлечена в процесс, акт целенаправленного внимания, от которого зависела вся наука вычисления или определения конкретных количеств. Теперь точно такое же положение, какое занимает концепция количества в целом в науке исчисления, занимает концепция «абсолютного пространства», или фигуративной Вакуиты, в науке геометрии, как науке об определениях или фигурациях пространства. Именно на основе этой концепции строится вся геометрия, или, другими словами, «абсолютное пространство» предполагается как существо, в которое геометр может идеально ввести деления, направления, величины, способы измерения, конфигурации, отношения и системы конфигураций, при соблюдении лишь условий, (1) что аксиомы, с которых он начинает, должны быть утверждениями самоочевидных фактов восприятия, и (2) что системы, к которым он приходит, должны быть логически последовательными внутри себя и с теми аксиомами, с которых он начинает. Очевидное невыполнение первого из этих условий одиннадцатой аксиомой Евклида (я имею в виду ту, которая гласит, что две прямые линии в одной плоскости, будучи продолжены, должны рано или поздно встретиться, если другая прямая, пересекающая их, делает внутренние углы, по ту же сторону пересекающей линии, в совокупности меньше двух прямых углов), было, в сущности, тем обстоятельством, из которого возникли те исследования, которые в конце концов, в руках Лобачевского, Гаусса, Бельтрами, Римана, фон Гельмгольца и других, привели к установлению возможности самосогласованной, но неевклидовой геометрии. Утверждалось, что геометрия Евклида – это не то же самое, что геометрия «абсолютного пространства», как предполагалось ранее, а лишь одна из трех систем геометрии, каждая из которых, исходя из своих собственных предпосылок, но только из них, представляет собой совершенно самосогласованную систему геометрических истин.
Вы ознакомились с фрагментом книги.
Для бесплатного чтения открыта только часть текста.
Приобретайте полный текст книги у нашего партнера:
