Метафизика опыта. Книга II. Позитивная наука

§5. Число

Существует еще одна наука, необходимая для точного измерения, и, возможно, самая элементарная из всех, о которой еще предстоит упомянуть, – наука исчисления. Она также берет свое начало в перцептивных данных, хотя и совершенно иным образом, чем геометрия и кинематика. Его корневым восприятием является восприятие числа, восприятие, полученное, конечно, посредством представления, однако полученное в результате простых восприятий, а не обязательно в результате сложного восприятия внешнего или пространственного мира. Как бы ни были очевидны предметы, предлагаемые восприятию по отдельности, как, например, дерево, гора, вспышка молнии, раскат грома, звезды, пять пальцев руки и так далее, все же они распознаются как единицы, то есть подсчитываются, только в результате акта внимания, отмечающего факт их отделения от контекста. Для возникновения восприятия необходимо некоторое перцептивное различие, но оно не должно быть больше, чем такое различие, которое неизбежно связано с самим восприятием. Человек, по сути, должен был научиться считать еще до восприятия таких сложных предметов, как несколько только что перечисленных, то есть в процессе обучения восприятию их как отдельных предметов, что уже было проанализировано в книге I. Число, таким образом, совершенно не зависит от пространственного расширения, насколько это существенно для него; хотя также очевидно, что, когда способ внимания, называемый счетом, стал привычным, нет такого содержания сознания, к которому он не мог бы быть применен.5

Подсчет количества данных эмпирических и дискретных предметов, таких как последовательные звуки колокола, или стадо овец, или куча монет, означает наблюдение за тем, есть или нет для каждого акта подсчета единицы с нашей стороны, в серии или совокупности, подлежащей подсчету, один определенно обозначенный предмет для соответствия. Другими словами, это означает наблюдение за соответствием серии или совокупности, с точки зрения числа, некоторому абстрактному числу, которое известно и записано под именем или символической фигурой, и которое стало частью обстановки памяти, прежде чем быть использованным в качестве стандарта числа для данных дискретных и эмпирических предметов, подсчитываемых с его помощью. Кроме того, следует заметить, что только сходные предметы могут быть сосчитаны вместе таким образом; то есть мы должны абстрагироваться от их различий в роде, прежде чем сможем их сосчитать. Скажем, например, что стадо овец состоит из белых и черных овец. Чтобы сосчитать стадо, мы абстрагируемся от этого различия, так же как при подсчете белых или черных овец мы абстрагируемся от различий, которые отличают одну белую овцу от другой, а одну черную овцу от другой. Так же мы можем считать звуки колокола и овец в стаде вместе; но только при условии, что мы абстрагируемся от их различий и рассматриваем их просто как множество отдельных восприятий или переживаний. Одинаковость вида подсчитываемых предметов, таким образом, является условием того, что они вообще могут быть сосчитаны, то есть что они могут быть сопоставлены, только с точки зрения числа, со схемой или серией абстрактных чисел, которые мы берем с собой, когда считаем их. Поэтому первый вопрос, касающийся числа, заключается в том, как первоначально, или в первом случае, мы получаем идею числа или чисел в абстрактном смысле; каково значение слова один; или каково происхождение счета или нумерации, прежде чем применять его для подсчета данных эмпирических и дискретных объектов, о которых мы заранее знаем, что они существуют в том или ином количестве. Ибо именно число в этом строгом и абстрактном смысле, а не число в примере данных эмпирических и дискретных объектов, будь то во времени в отдельности или во времени и пространстве вместе, является предметом исчисления. Ничто не дано нам в первоначальном опыте готовым к подсчету. Различия в восприятии изначально даны и являются конечными данными восприятия и опыта; но нам приходится считать их для себя, и считать их после того, как мы наблюдали их как различия, а восприятия как различия. В чем же, в таком случае, состоит счет изначально и по существу? Как мы впервые произносим слова «один», «два», «три» и т. д. со значением, или, как можно выразиться, замечаем факт числа в восприятии?

Теперь, помимо только что упомянутого источника, а именно различий в восприятии, есть еще один положительно известный источник, из которого может возникнуть счет или нумерация. Это акт или акты внимания к различиям в восприятии, или к восприятию как к различию, с целью узнать о них больше, чем говорит нам простое восприятие их как различий. Это акт того же рода, что и тот, в котором берут начало концепция и логическое мышление, а именно акт избирательного внимания с целью узнать нечто большее о происходящем содержании сознания (хотя, конечно, ни акт, ни его цель не осознаются как то, чем они являются, в самых ранних случаях их совершения). Поэтому он подчиняется тому же высшему закону мысли, что и акт, в котором зарождается мысль; а именно, закону, выражением которого являются так называемые постулаты логики – тождество, противоречие и исключенное среднее. Разница заключается в том, что в акте счета или нумерации внимание направлено не на продолжение вообще, каким бы оно ни было, не на сходства или несходства всех или многих видов в содержании, которое предстоит пережить, а исключительно на один-единственный вид обстоятельств в этом содержании, а именно на место во временном потоке сознания, которое займут различные содержания, абстрагируясь как от конкретной природы, так и от конкретной продолжительности этих содержаний.

Поэтому акт, порождающий нумерацию, хотя и тождественен по виду акту, порождающему представление и мышление, но не является со-вечным этому акту, а, напротив, предполагает его. Акты представления и мышления, с их содержанием, но в их простейшей форме, являются его объектом-материей, являются переживаниями, в которых он впервые замечает особенность или факт, что они являются делениями потока времени и изменяют его течение; или, другими словами, это переживания, в которых он впервые ясно замечает, что они содержат (ненаблюдаемые сами по себе) отличие одной части потока времени от другой и фактически идеально разбивают его на различные части, независимо от вида или качества содержания, принадлежащего к этим различным частям. Это внимание к актам мысли в их простейшей форме, с сознательным абстрагированием от качеств их содержания, есть акт счета или нумерации в его простейшей форме; это акт, в котором и посредством которого счет или нумерация возникают, а слова один, два, три и т. д. впервые произносятся как выражение значения. Сам по себе он является актом мышления, но не является актом мышления в его простейшей форме. Это акт, надстраивающийся над актами мысли в их простейшей форме, акт внимания, воспринимающего их как абстрактные разделения потока времени, помимо различий в качестве содержания, которое они тем самым также разделяют. В нумерации, таким образом, акты разделения временного потока сознания, абстрагируясь от всех конкретных различий в его содержании, являются тем, на что мы обращаем внимание, или, другими словами, являются тем, что подсчитывается; и, таким образом, эти акты и порядок, в котором они происходят, сами становятся единицами, с которыми изначально и по существу связано исчисление. Эти акты, следует отметить, не являются актами внимания просто к различиям между отдельными дискретными восприятиями, или между любыми из них и сериями или совокупностями таких восприятий, или между различными сериями или совокупностями таких восприятий, как они даны только в восприятии с интервалами между ними. Я имею в виду такие различия, как, например, между звуком колокола, слышимым в одиночку, и двумя звуками колокола или любым другим большим числом, слышимым в близкой последовательности друг за другом, или, скажем, между четырьмя и пятью такими звуками, слышимыми одинаково. Подобные действия, взятые сами по себе, то есть в отличие от действий по применению уже приобретенных чисел для подсчета определенных серий или совокупностей, о чем говорилось выше, не являются актами подсчета. Это акты регистрации и наименования отдельных дискретных восприятий, или серий, или совокупностей дискретных восприятий, по мгновенному впечатлению одинаковости, производимому ими; так что серия или совокупность, которую мы назвали четыре в одном случае, мы можем назвать пять в другом, без всякой уверенности, что четыре и пять не являются именами, одинаково применимыми к одной и той же серии или совокупности и, следовательно, идентичными друг другу по смыслу. Подобные акты никогда не могут стать основой точной науки, поскольку они не дают единого неизменного восприятия, на основе которого можно было бы выработать универсально применимое определение.

Единственный истинный и порождающий акт счета – это акт внимания, но не просто к восприятиям, а к предыдущему акту внимания, который уже выделил то или иное восприятие с целью дальнейшего опыта и тем самым внес в поток времени разделение, которое без него не было бы воспринято в потоке времени. Таким образом, избирательное внимание к потоку времени – это первый и основополагающий акт счета, просто акт мысли; избирательное внимание к этому акту, исключительно как к разделению потока времени, – это второй и характерный акт, наложением которого на первый является собственно акт счета или нумерации; существование порядка или последовательности в отмеченных разделениях обусловлено не актами внимания, посредством которых они отмечаются, а тем конечным фактом сознания, соединением длительности с изменением, который заставляет нас характеризовать сознание как поток времени.

Но абстрагируясь таким образом от всего, кроме актов деления потока времени и места этих актов в порядке последовательности относительно друг друга, второй акт избирательного внимания, который завершает первоначальное восприятие числовых единиц и является первым актом собственно счета, также, и ipso facto, возвращает их, так сказать, в перцептивный порядок, или порядок во времени, из концептуального или логического порядка, в который их на мгновение поместил первый акт избирательного внимания, позволяя им быть познанными как подобия, подпадающие под общий заголовок делений временного потока, или числовых единиц. Каждый такой акт или единица является в дальнейшем единственным или индивидуальным перцептивным представлением, или репрезентированным перцептом, отличающимся только своим местом относительно других такого же рода в репрезентированном временном потоке, названным или иным образом отмеченным только по месту, которое он занимает в репрезентированном ряду, к которому он принадлежит, и имеющим значение, зависящее только от этого места, то есть от количества единиц (в остальном неотличимых друг от друга), которые должны быть сначала представлены или мыслиться как представленные, чтобы прийти к нему. Мы не можем первоначально или в первом случае сосчитать 2, не помня об акте счета 1 и не соотнося второй акт с первым, который один только и придает значение 2; то же самое верно в отношении 3 по отношению к 2, в отношении 4 по отношению к 3 и так далее, до тех пор, пока мы можем идти в счете.

Таким образом, акты счета, будучи объективированы, сами являются сосчитанными единицами, – что возможно только потому, что сознание рефлектирует, а также направлено вперед, – и поэтому каждое число имеет двойной характер, один как счет, другой как сосчитанная единица. Объективированное как счетная единица, оно ipso facto6, по причине, которая сейчас будет указана, берется как количество, то есть полный предмет представления, непрерывный ad intra, в котором сосуществуют форма и материя восприятия, хотя и без какого-либо уточнения способа ощущения или качества этого количества, кроме факта его отличия от других единиц или групп единиц, посредством акта или актов счета, то есть его места в ряду. Объективированный как акт счета, он есть не что иное, как сама операция, единая по виду, посредством которой осуществляется вся нумерация, то есть операция, взятая в абстракции от места в ряду или значения количества, которое подсчитывается с ее помощью.

Этот факт двойного характера, присущего каждому числу, когда каждый из символов различим и объективируем отдельно от другого, факт, который помогает объяснить многие кажущиеся несоответствия, мы можем увидеть на примере сравнения фундаментальных операций арифметики. При сложении и вычитании мы рассматриваем единицы как уже подсчитанные, как имеющие свое место и соответствующее значение в ряду единиц, о которых идет речь, но абстрагируясь от актов счета, с помощью которых им было отведено это место. В умножении и делении, с другой стороны, подсчитываемые единицы либо берутся таким же образом, и в этом случае умножение и деление являются просто сокращением процессов сложения и вычитания; либо они берутся как идентичные с актами подсчета, актами, которые первоначально назначают им их место и значение в ряду.

Например, при умножении 1 x 1 x 1 x 1 x и т. д. всегда и навсегда равно 1; это означает, что число раз, которое мы считаем 1, никогда не делает его ничем иным, кроме как единицей; или что единица 1 и акт счета 1 одинаковы по виду, природе или значению; такой способ рассмотрения отвечает A есть A, или постулату тождества, в логике. И то же самое в делении, где 1, деленное на 1, или 1/1, всегда равно 1; процесс, имеющий то же самое значение. Любое число, скажем 1000, посчитанное один раз, то есть умноженное на 1, всегда равно 1000, сколько бы раз вы его ни считали. Опять же, умножьте его на 0, и оно аннигилируется; 0, или ноль, здесь означает, что акт подсчета отрицается, и таким образом оно сводится к небытию как количество. Так и при делении: любое число, скажем 1000, сравниваемое один раз с самим собой, то есть деленное на 1, всегда остается 1000, сколько бы раз вы ни повторяли сравнение. Делить же его на 0 – значит, напротив, придавать ему бесконечную величину, поскольку оно отличается от того, что как величина принимается за свою меру, на всю разницу между бытием и небытием. Например, при умножении 1 x 1 x 1 x 1 x и т. д. всегда и навсегда равно 1; это означает, что число раз, которое мы считаем 1, никогда не делает его ничем иным, кроме как единицей; или что единица 1 и акт подсчета 1 одинаковы по виду, природе или значению; что соответствует A есть A, или постулату тождества, в логике. И то же самое в делении, где 1, деленное на 1, или 1/1, всегда равно 1; процесс, имеющий то же самое значение. Любое число, скажем 1000, сосчитанное один раз, то есть умноженное на 1, всегда равно 1000, сколько бы раз вы его ни считали. Опять же, умножьте его на 0, и оно аннигилируется; 0, или ноль, здесь означает, что акт подсчета отрицается, и таким образом оно сводится к небытию как количество. Так и при делении: любое число, скажем 1000, сравниваемое один раз с самим собой, то есть деленное на 1, всегда остается 1000, сколько бы раз вы ни повторяли сравнение. Делить же его на 0 – значит, напротив, придавать ему бесконечную величину, поскольку оно отличается от того, что как величина принимается за свою меру, на всю разницу между бытием и небытием.

Если же, с другой стороны, мы воспринимаем время или акты счета или иного обращения с данными числами как сами являющиеся или состоящие из уже сосчитанных единиц, то процессы умножения и деления становятся, как уже говорилось, просто более сложными методами сложения и вычитания. Умножить 1 на 6 – значит просто прибавить 1 к другому 1 шесть раз, или переместить 1 с первого на шестое место и значение в ряду уже сосчитанных единиц. И наоборот, разделить 1 на 6 – значит разделить 1 на 6 частей, или меньших единиц, равных друг другу, и вычесть пять из этих частей, то есть все, кроме одной, из полученного числа, которое таким образом становится одной шестой частью, или дробью, от первоначально данной единицы. Дробные числа – это, по сути, единицы, только более низкого порядка, чем те, с которых мы начинаем, а именно целые числа. При их получении целое число рассматривается как делимое, а значит (хотя оно может быть и единицей) как континуум. И здесь нас снова встречает тот же феномен; я имею в виду, что акт деления исходной единицы или целого числа, рассматриваемого как единица, на дробные части, скажем 6, включает в себя сначала равное число актов счета, то есть 6, а затем акт признания их как вместе составляющих делимую единицу. Каждая из шести шестых является единицей (хотя и более низкого порядка), поскольку она соответствует и изначально является существом одного акта счета. Каждая исходная единица, взятая как счетное число, делится, таким образом, на неопределенно большое число меньших единиц, называемых дробями, число которых увеличивается, а величина, взятая по отдельности, уменьшается, пропорционально тому, как большие значения придаются их знаменателям.

Отсюда следует, что только когда единицы воспринимаются как тождественные актам счета, которые занимают разные места в потоке времени, как это имеет место при первом счете или построении ряда целых чисел, 1, 2, 3, 4, … и т. д., 2 означает два последовательных акта счета, 3 – три последовательных акта и так далее, что можно сказать, что они равны друг другу; дело в том, что тогда они берутся с абстрагированием от всех различий, кроме различия места в ряду, из которого вытекает все различие в величине, то есть в величине как квантов. В этом, по-видимому, и заключается истинное решение той сентенции, которой Кант озадачил своих современников, что выражение 7+5=12 является выражением синтетического, а не аналитического процесса. Дело в том, что мы строим ряд чисел в анализе, то есть, в данном случае, в делении, потока времени. Акты счета, будучи актами мысли, являются, как и все акты мысли, одновременно аналитическими и синтетическими; аналитическими в отношении времени – потока сознания, который они воспринимают в ретроспекции, и моменты которого они подсчитывают и называют по мере его удаления; синтетическими как последовательные моменты в психологических поступательных процессах, принадлежащих самому потоку времени, который постоянно добавляет новые содержания к уже воспринятым. Таким образом, совершенно верно, что вы не можете проанализировать 12 на 7 +5, пока вы сначала не досчитаете до 12, пройдя по пути через 5 и 7. Первоначальный процесс счета, который является одновременно аналитическим и синтетическим для временного потока, является чисто синтетическим для числа 12. Только в дополнительном акте ретроспекции мы осознаем его анализ на 12 последовательных моментов процесса счета, который, тем не менее, является аналитическим, а также синтетическим процессом потока времени, и чисто аналитическим, поскольку в нем присутствует элемент мысли. Если числа являются порождением мысли из восприятия, то первоначально они получаются путем анализа восприятия, но не путем анализа чисел. Их анализ как чисел происходит, когда мы видим каждое последовательно сосчитанное число в ретроспективе. Ибо числа, то есть единицы или структуры единиц, произведенные и подсчитанные таким образом, взятые в качестве данных или объектов мысли, полученных в результате этого двойного процесса, сами могут быть вспомнены в мысли, а их числовые отношения друг к другу, как такие данные, исследованы и установлены. Таким образом, они распадаются на различные порядки, как мы видели выше в случае с дробью, полученной делением целого числа. Установление отношений чисел всех возможных порядков или видов друг к другу, взятых в качестве данных или реальностей, имеющих свои собственные законы, – вот в чем заключается вся суть исчисления как чистой науки о числах, не считая ее применения к измерению величин, отличных от числа или самих чисел. Фактически число само по себе является отношением. Любое целое число может быть выражено в виде дроби, знаменатель которой равен 1. Смысл этого числа как целого заключается в его отношении к 1; или, другими словами, его место в ряду целых чисел, а значит, и его ценность, заключается в его отношении к единице. Таким образом, единство является, так сказать, стержнем, на котором держится вся наука исчисления, поскольку оно есть тот акт или то число, в котором акт подсчета и подсчитываемая вещь совпадают или тождественны.