Чудеса арифметики от Пьера Симона де Ферма
N = mi + δ1, где δ1 = N− mi (1)
Вполне очевидно, что δ1 должно быть S-числом, поскольку иначе это будет противоречить нашему предположению о числе N. Далее мы поступаем также, как и в нашей пробе с числом 41, т.е. представляем предполагаемое число как N = mi-1 + δ2= mi-2 + δ3; где δ2 = N − mi-1; δ3 = N − mi-2 и т.д. Теперь δ2, δ3 и т.д. также должны быть S-числами. И вот так мы будем двигаться по спуску до самого конца, т.е. до
δi-1 = N − m2 = N − k и δi = N − m1 = N – 1 (2).
Таким образом, в последовательности чисел от δ1 до δi все они должны быть S-числами, в то время как наше предполагаемое число N будет состоять не менее чем из k+1 k-угольных чисел. Из (1) и (2) следует: N−mi =Si (3).
Следовательно, если отнимать от нашего предполагаемого числа N любое меньшее его многоугольное число mi, то согласно нашему предположению, в результате должно получаться только S-число. Конечно, это условие выглядит просто невероятным и создаётся впечатление, что мы уже у цели, но как же тогда доказать, что это невозможно?
Если бы мы дали здесь ответ на этот вопрос, то эта знаменитая теорема Ферма сразу превратилась бы в самую обычную школьную задачку и интерес к ней был бы утрачен. Чтобы этого не произошло, мы пока остановимся на том, что доказательство изложено здесь только на 99%, а остающийся 1% мы предложим найти тем, кому это будет интересно, чтобы оценить истинное великолепие этого научного достижения Ферма особенно в сравнении с доказательством ЗТФ Коши.42
Рис.34. Титульная страница доказательства Коши
Золотой теоремы Ферма
Рис. 35. Одна из 43-х страниц доказательства Коши
Золотой теоремы Ферма
3.4.3. Задача Архимеда-Ферма
Постановка задачи выглядит следующим образом:
Пусть дано любое неквадратное число, требуется найти бесконечное число квадратов, которые при умножении на данное число и увеличении на единицу составят квадрат.
Ферма предложил найти решения для чисел 61, 109, 149, и 433 [36].
Способ, как вычислить требуемые числа, сумел найти английский математик Джон Валлис, применив метод Евклида разложения иррационального числа в бесконечную простую дробь. Своё решение он опубликовал его под названием «Commercium epistolicum» см. рис. 37-38.
Рис. 36. Джон Валлис
Хотя Валлис и не дал полное доказательства правомерности этого метода, Ферма всё же признал, что с задачей он справился. К решению почти вплотную приблизился Эйлер, когда он показал, что эта дробь цикличная, однако и ему не удалось довести доказательство до конца, и в конечном итоге эту задачу всё-таки решил Лагранж. Позже уже своим способом решение нашёл также Гаусс, но для этого была задействована созданная им обширная теория под названием «Арифметика вычетов».
Рис. 37. Титульная страница публикации Валлиса
Commercium epistolicum
И всё было бы хорошо, если бы доказательство Лагранжа не относилось к категории высшей трудности, а решение Гаусса не опиралось на сложнейшую теорию. Ведь сам Ферма явно не мог следовать ни тем, ни другим путем. О том, как он сам решил эту задачу, он сообщает в письме-завещании в августе 1659 г. [36]: «Я признаю, что г-н Френикль дал различные частные решения этого вопроса, а также г-н Валлис, но общее решение будет найдено с помощью метода спуска, примененного умело и надлежащим образом». Однако это решение Ферма так и осталось для всех тайной за семью печатями!
Рис. 38. Страница 64 Commercium epistolicum,
демонстрирующая метод Валлиса
Мы попробуем здесь немножко приоткрыть завесу над этой тайной. Для этого мы рассмотрим простой пример вычислений по методу Валлиса и затем сравним его с тем, как можно было бы сделать эти вычисления по методу Ферма. Итак, нам нужно найти самое маленькие числа x и y, удовлетворяющие уравнению Ax2+1=y2. Пусть A=29, тогда вычисления методом Валлиса выглядят следующим образом [32]:
Из этой последовательности вычислений цепочка подходящих дробей получается обратным ходом, т.е. от a5 до a0 и выглядит как: 5/1; 11/2; 16/3; 27/5. В итоге получаем 70/13. Тогда минимальным решением будет:
X1√29+у1=(13√29+70)2=1820√29+9801; x1=1820; y1=9820
Валлис не сумел доказать, что такой способ вычислений даёт решения для любого неквадратного числа A. Однако он догадался, что цепочка вычислений заканчивается там, где a6 будет вычисляться по той же формуле, что и a1. Чтобы понимать смысл этой цепочки вычислений, нужно изучить очень объёмистую и исключительно трудную теорию [7, 14, 19, 23, 26, 32], которую Ферма в то время не смог бы разработать. Поскольку никаких рабочих рукописей Ферма по арифметики не сохранилось, то возникает естественный вопрос: как же он мог сформулировать такую трудную задачу, о которой до него было очень мало сведений?
Для сегодняшней науки такой вопрос явно выходит за рамки её возможностей, т.к. для неё верхом достижений при решении задач Ферма является любой результат, даже раздутый до таких невероятных размеров, которые мы имеем сегодня. Однако трудно себе представить, как будет удручена эта наша уважаемая наука, когда из этой книжки она узнает, что задача была решена Ферма вовсе не для великих учёных, а … для школьников!!! Но мы здесь не можем позволить себе её так сильно огорчать, поэтому отметим только то, что приводимый в учебниках пример очень неудачный, т.к. он решается совсем просто, а именно: x=2mz, где m Очевидно, что в учебниках было бы гораздо уместнее демонстрировать пример с числом 61, т.е. наименьшим числом, предложенным самим Ферма. Как он сам решил эту задачу, науке неизвестно, но мы-то уже неоднократно демонстрировали, что узнать это для нас не проблема. Нужно всего-то лишь ещё разочек заглянуть в тайник тулузского сенатора и, как только нам это удалось, мы быстро нашли нужный пример, чтобы его можно было сравнить с методом Валлиса. В этом примере можно вычислить x=2mz, где m и z это решения соответствующего уравнения 61m2–z2=1. Тогда цепочка вычислений получается следующим образом: 61m2−z2=1 m=(8m1±z1)/3=(8×722+5639)/3=3805; z2=61×38052−1=297182 61m12−z12=3 m=(8m1±z1)/3=(8×722+5639)/3=3805; z12=61×7222−1=297182 61m22−z22=9 m=(8m1±z1)/3=(8×722+5639)/3=3805; z22=61×1372−1=297182 61m32−z32=27 m3=(8m4±z4)/3=(8×5+38)/3=26; z32=61×262−27=2032 61m42−z42=81 m4=(8m5±z5)/3=(8×2−1)/3=5; z42=61×52−81=382 61m52−z52=243 m5=2; z52=1 Мы не будем раскрывать все нюансы этого метода, иначе всякий интерес к этой задаче был бы утрачен. Мы отметим лишь, что по сравнению с методом Валлиса, где метод спуска не применяется, здесь он присутствует в явном виде. Это выражается в том, что если числа m и z, удовлетворяющие уравнению 61m2–z2=1, существуют, то должны ещё существовать числа m1 x=2mz=2×3805×29718=226153980; y=√(61×2261539802+1)=1766319049 Конечно, знатоки существующей ныне теории быстро заметят в этом примере то, что полученные в нём результаты вычислений в точности совпадут с теми, которые можно получить методом Валлиса. Однако для этого им придётся использовать иррациональное число √61, а наш пример с методом Ферма показал, что можно делать вычисления исключительно в рамках арифметики, т.е. только в натуральных числах. Несомненно также, что знатоки без особых усилий догадаются, как получить формулы, показанные в нашем примере. Однако для них будет совсем непросто объяснить, как применять этот метод Ферма в общем случае, ведь из нашего примера совсем не ясно, как можно определить, что конечной целью является решение уравнения 61m52– z52=243, из которого следует вести вычисления с обратным отсчётом. Было бы просто превосходно, если бы сегодняшняя наука смогла объяснить метод Ферма во всех деталях, однако даже призрачные надежды на это пока не просматриваются. Более реалистично было бы ожидать, что будут предприняты попытки опровержений данного примера как демонстрации неизвестного науке метода решения проблемы. Тем не менее, ей придётся считаться с тем, что этот пример пока остаётся единственным за всю историю (!!!) подтверждением того, о чём Ферма сообщал в своём письме-завещании. Когда эта тайна будет раскрыта полностью, то все скептики будут посрамлены, и им не останется ничего иного, как признать Ферма более великим, чем все остальные величайшие учёные. Ведь их признавали таковыми главным образом потому, что они создавали теории, настолько трудные для понимания нормальных людей, что они могли только вызывать непомерный ужас у студентов, которым приходится теперь отдуваться за такую науку: https://www.youtube.com/watch?v=wFz8W2HsjfQ https://www.youtube.com/watch?v=cUytn2SZ1n4 https://www.youtube.com/watch?v=ZhVNOgaBStY 43 В этом смысле следующий пример решения задачи с применением метода спуска будет особенно любопытен тем, что она была предложена в письме Ферма к Мерсенну в конце 1636 г., т.е. возраст этой задачи составляет уже почти четыре столетия. Доказательство Эйлера [8, 30] было некорректно из-за применения в нём «комплексных чисел». Однако даже исправленная версия Андре Вейля 1983 г. [17] слишком сложна для школьного обучения.
3.4.4. Задача Ферма с возрастом 385 лет
В первоначальном варианте в 1636 г. эта задача была сформулирована так:
Найти два квадрато-квадрата, сумма которых равна квадрато-квадрату, или два куба, сумма которых есть куб.
Эта формулировка была использована оппонентами Ферма как факт того, что Ферма не имел доказательства ВТФ и ограничился только этими двумя частными случаями. Однако само название «Великая теорема Ферма» появилось только после публикации «Арифметики» Диофанта с замечаниями Ферма в 1670 г., т.е. через пять лет после его смерти. Поэтому утверждать, что Ферма заявил о ВТФ в 1637 г., нет никаких оснований.
Первый случай для четвёртой степени мы подробно рассмотрели в Приложении II. Что же касается случая для третьей степени, то представленный нами ниже способ доказательства самого Ферма не оставит никаких шансов решениям этой проблемы Эйлера и Вейля остаться частью науки, поскольку с точки зрения простоты и изящества авторского решения проблемы, они станут просто ненужными.
Чтобы доказать, что не существует два куба, сумма которых есть куб, мы применим простейший подход, основанный на делимости чисел, откуда следует, что в исходном уравнении
a3+b3 = c3 (1)
числа a, b и c могут рассматриваться как взаимно простые, т.е. не имеющие общих делителей, однако в общем случае это не обязательно, поскольку если мы докажем, что уравнение (1) не может иметь решений в любых целых числах, в т.ч. имеющих общие множители, то этим мы докажем, что взаимно простые числа тем более не могут быть решениями исходного уравнения. Тогда мы будем исходить из того, что обе стороны уравнения (1) во всех случаях должны делиться на число c2, тогда уравнение (1) можно представить как
c3 = c2(x+y) = a3+b3 (2)
В этом случае легко убедиться, что существует только одна возможность получить решения уравнения (1), если числа c, x, y, а также x+y будут кубами, т.е.
с = x+y = p3+q3= z3; x = p3; y = q3 (3)
Тогда уравнение (1) должно иметь вид:
(z3)3=(z3)2(p3+q3) (4)
Таким образом, мы выяснили, что если существуют числа a, b и c, удовлетворяющие уравнению (1), то должны существовать числа p p3+q3= z3 Если теперь мы применим тот же подход к решению этого уравнения, который мы применили к решению уравнения (1), то мы получим такое же уравнение, только с меньшими числами. Однако поскольку невозможно бесконечно уменьшать натуральные числа , то из этого следует, что решений в целых числах уравнения (1) не существует. На первый взгляд, мы получили очень простое и вполне убедительное доказательство задачи Ферма методом спуска, которую никто не мог получить таким простым способом в течение 385 лет, и этому можно только радоваться. Однако такой вывод был бы слишком поспешным, т.к. это доказательство на самом деле неверно и может быть опровергнуто самым неожиданным образом. Тем не менее, это опровержение настолько удивительно, что мы не будем здесь его раскрывать, потому что оно открывает путь не только для самого простого доказательства ВТФ, но и автоматически позволяет вывести на самое простое доказательство гипотезы Биэла. Обнародование способа опровержения доказательства, данного выше, вызвало бы настоящую сумятицу в учёном мире, поэтому эту тайну мы включим в число наших загадок (см. Приложение V, п. 41). Итак, мы продемонстрировали здесь решения задач Ферма (только методом спуска!): 1) Доказательство Основной теоремы арифметики. 2) Доказательство теоремы о единственном решении уравнения p3=q2+2. 3) Способ доказательства Золотой теоремы Ферма. 4) Способ решения уравнении Архимеда-Ферма Ax2+1=y2. 5) Способ доказательства невозможности a3+b3= c3. 6) Доказательство грандиозного открытия Ферма о простых числах типа 4n+1=a2+b2, которое мы изложим в другом стиле (Приложение IV, рассказ Год 1680). За прошедшие 350 (!!!) лет после публикации этих задач Ферма, всей существующей науке такой результат не мог даже и присниться!
3.5. Метод чётности
Перед тем как приступить к теме «Великая теорема Ферма», отметим, что эта задача не была решена самим Ферма методом спуска, иначе в его формулировке ВТФ не было бы упоминания о «поистине удивительном доказательстве», которое безусловно относилось к другим методам. Поэтому к изложенным выше примерам применения метода спуска мы добавим наше представление о двух неизвестных сегодняшней науке методах, относящихся к доказательству ВТФ от самого Ферма. Наиболее экстравагантный из них – это метод чётности. Отметим также, что само понятие чётности очень часто используется в логических построениях математиков и в этом смысле оно банально. Но в нашем методе оно принимает особую форму числа.
3.5.1. Определение чётности как числа
Из основной теоремы арифметики следует простая, но очень эффективная идея определения чётности как числа, которое формулируется следующим образом:
Чётность данного числа – это количество делений этого числа на два без остатка до тех пор, пока результат деления станет нечётным.
Введем условное обозначение чётности угловыми скобками. Тогда выражение ‹x› = y будет означать: чётность числа икс равна игрек.
Например, выражение «чётность числа сорок равна трём» можно представить как: ‹40› = 3. Из данного определения чётности следует:
– Чётность нечётного числа равна нулю.
– Чётность нуля равна бесконечно большому числу.
– Любое натуральное число «n» можно представить как:
n = 2w(2N – 1) где N – основание натурального числа,
w – четность.
3.5.2. Закон четности
На основе приведенного выше определения чётности можно констатировать, что равные числа имеют равную чётность. Применительно к какому-либо уравнению это положение относится к его сторонам и безусловно необходимо для того, чтобы оно могло иметь решения в целых числах. Отсюда следует закон чётности для уравнений:
Уравнение может иметь решения в целых числах в том и только в том случае, если чётности обеих его сторон равны.
Математическое выражение закона чётности WL = WR, где WL и WR – соответственно чётности левой и правой сторон уравнения. Отличительная особенность закона чётности заключается в том, что о равенстве чисел нельзя судить по равенству их чётности, но если их чётности не равны, то это безусловно означает и неравенство чисел.
3.5.3. Правила вычисления четности
Чётность суммы или разности двух чисел a и b
Если ‹a› < ‹b› , то ‹a ± b› = ‹a› Отсюда следует, в частности, что сумма или разность чётного и нечётного числа всегда даёт число с нулевой чётностью.
Если ‹a› = ‹b› = x
то либо ‹a + b› = x + 1, при этом ‹a – b› > x + 1,
либо ‹a – b› = x + 1, при этом ‹a + b› > x + 1.
Эти формулы обусловлены тем, что
‹(a + b) + (a – b)› = ‹2a› = ‹a› + 1
Отсюда следует также, что сумма или разность двух чётных или
двух нечётных чисел дает чётное число.
Чётность суммы или разности двух степеней an и bn
Если ‹a› < ‹b› , то ‹an ± bn› = ‹an›.
Если ‹a› = ‹b› = x, то:
только для чётных n:
‹an – bn› = ‹a – b›+ ‹a + b›+ x(n – 2) + ‹n› – 1;
‹an + bn› = xn + 1;
только для нечётных n:
‹an ± bn› = ‹a ± b› + x(n – 1)
При умножении натуральных чисел их чётности
складываются
‹ab› = ‹a› + ‹b›
При делении натуральных чисел их чётности вычитаются
‹a : b› = ‹a› – ‹b›
При возведении натурального числа в степень его чётность
умножается на степень
‹ab› = ‹a› × b
При извлечении корня натурального числа его чётность
делится на степень корня
‹b√a› = ‹a› : b
3.6. Метод ключевой формулы
Для решения уравнений со многими неизвестными в целых числах на практике очень часто применяется подход, когда к исходному уравнению добавляется ещё одно уравнение и решение исходного ищется в системе из двух уравнений. Это второе уравнение мы называем ключевой формулой. До сих пор из-за своей простоты этот метод не выделялся среди других методов, однако мы здесь покажем, насколько он эффективный и явно заслуживает особого внимания. В первую очередь мы отметим важную особенность метода, которая состоит в том, что:
Ключевая формула не может появиться иначе как выведенная из исходного уравнения.
Если эту особенность метода не учитывать, т.е. добавлять к исходному уравнению некоторое другое, то в этом случае вместо решения исходного уравнения мы получим лишь результат, указывающий на совместимость этих двух уравнений. В частности, мы можем получить не все решения исходного уравнения, а только те, которые ограничиваются вторым уравнением. В случае же, когда второе уравнение выведено из исходного, результат будет исчерпывающим, т.е. либо все решения, либо неразрешимость в целых числах исходного уравнения.
Для примера рассмотрим уравнение z3=x2+y2. Чтобы найти все его решения, мы будем исходить из того, что обязательным условием (ключевой формулой) должно быть z=a2+b2, т.к. правая часть исходного уравнения не может быть получена иначе как произведение чисел, каждое из которых является суммой двух квадратов. Этот вывод основан на том, что произведение чисел, состоящих из суммы двух квадратов, во всех случаях даёт число, также состоящее из суммы двух квадратов. Верно и обратное: если дано составное число, состоящее из суммы двух квадратов, то оно не может иметь простые множители, не состоящие из суммы двух квадратов. В этом легко убедиться из тождества
(a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2+(ad−bc)2=(ac−bd)2+(ad+bc)2
Тогда из (a2+b2)(a2+b2)=(aa+bb)2+(ab−ba)2=(a2−b2)2+(ab+ba)2 следует, что квадрат числа, состоящего из суммы двух квадратов, даёт не два разложения на сумму двух квадратов, (как это должно быть в соответствии с тождеством), а только одно, поскольку (ab−ba)2=0, что не является натуральным числом, иначе любое квадратное число после прибавления к нему нуля можно было бы формально считать суммой двух квадратов. Однако это не так, поскольку существуют квадраты, которые не могут состоять из суммы двух квадратов. Как установил Пьер Ферма, таковыми являются все числа, содержащие хотя бы один простой множитель типа 4n−1. Теперь из a2−b2=c; ab+ba=2ab=d; (a2+b2)2=c2+d2 следует итоговое решение:
z3=(a2+b2)3=(a2+b2)(c2+d2)=x2+y2
где a, b любые натуральные числа, а все остальные вычисляются как c=a2−b2; d=2ab; x=ac−bd; y=ad+bc (либо x=ac+bd; y=ad−bc).
Таким образом, мы установили, что исходное уравнение z3=x2+y2 имеет бесчисленное множество решений в целых числах, а для конкретных заданных чисел a, b – два решения.
Из этого примера также понятно, почему одна из теорем Ферма утверждает, что:
Простое число типа 4n+1 и его квадрат только один раз раскладываются на сумму двух квадратов, его куб и биквадрат два раза, его пятая и шестая степени три и т.д. до бесконечности.
4. Великая теорема Ферма
4.1. Тернистый путь к истине
4.1.1. ВТФ до сих пор остаётся недоказанной
Учёный мир впервые узнал о ВТФ после первой публикации в 1670 г. «Арифметики» Диофанта с замечаниями Ферма, (см. рис. 3 и рис. 96 из Приложения V). И с той поры, т.е. в течение трёх с половиной столетий, наука никак справиться с этой задачей не может. Более того, может быть именно поэтому ВТФ и стала объектом беспрецедентной фальсификации в истории математики. В этом очень легко убедиться, поскольку основные доводы «доказательства» ВТФ 1995 г. хорошо известны и выглядят следующим образом.
Если бы ВТФ была неверна, то существовала бы эллиптическая «кривая Фрая» (???) y2=x(x−an)(x+bn), где an+bn=cn. Но Кеннет Рибет (Kenneth Ribet) доказал, что такая кривая не может быть модулярной. Следовательно, достаточно получить доказательство гипотезы Танияма – Симура о том, что все эллиптические кривые должны быть модулярны, чтобы оно стало и доказательством ВТФ. Его предоставил в 1995 году Эндрю Вайлс, который и стал первым учёным, якобы доказавшим ВТФ.
Однако на поверку оказывается, что «кривая Фрая» и вместе с ней работы Рибета и Вайлса вообще никакого отношения к ВТФ не имеют!!!44 А по части «доказательства» Э. Вайлса гипотезы Танияма – Симура, он и сам признал45, что нужно очень много учиться, (естественно, у Вайлса), чтобы понимать все его нюансы, изложенные аж на 130 страницах (!!!) научного журнала «Annals of Mathematics». Вполне естественно, что после появления столь экзотического «доказательства», учёные от такого издевательства над наукой никак не могут прийти в себя, Интернет изобилует всякими опровержениями46, и нет никаких сомнений в том, что какого-либо общепризнанного доказательства ВТФ до сих пор так и не существует.
Особая значимость ВТФ состоит в том, что, по сути, это один из простых случаев сложения степеней, когда только сумма двух квадратов может быть квадратом, а для более высоких степеней такое сложение невозможно. Однако согласно теореме Варинга-Гилберта, любое натуральное число, (в т. ч. и целая степень), может быть суммой одинаковых, (или таких же), степеней47. И вот эта, куда более сложная и не менее фундаментальная теорема была доказана значительно раньше, чем ВТФ.
Отметим также и тот факт, что ВТФ привлекает к себе особое внимание вовсе не потому, что эта задача простая на вид, но очень трудная для решения. Есть и значительно более простые на вид задачи, которые не то, чтобы решить, но и как подступиться к ним никто толком не знает48. ВТФ особенно выделяется среди других задач тем, что попытки найти её решение приводят к бурному росту новых идей, которые становятся импульсами для развития науки. Однако на этом пути было столько всего наворочено, что даже и в очень объёмистых исследованиях всё это не удается систематизировать и объединить49.